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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.4第2课时正方形的判定第一章特殊平行四边形1.4第2课时正方形的判定（精讲讲义）上一课时我们学习了正方形的全部性质，本节课反向掌握正方形的判定方法。正方形是矩形和菱形的结合体，因此正方形的判定=矩形条件+菱形条件。本节是特殊四边形综合证明题的终极考点，常作为几何大题压轴考查，需熟练掌握各类判定思路，灵活择优解题。一、判定核心逻辑（总口诀）想要证正方形，只需满足：既是矩形，又是菱形。通俗理解：1.矩形（直角、对角线相等）+邻边相等/对角线垂直=正方形；2.菱形（四边相等、对角线垂直）+一个直角/对角线相等=正方形。二、正方形四大判定方法（必考、全覆盖）判定1：定义法（基础万能法）内容：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。解题三步：①先证四边形是平行四边形；②证一组邻边相等（菱形特征）；③证一个内角为直角（矩形特征）。适用场景：题干有平行、边长相等、垂直、直角条件时优先使用。判定2：矩形基础上证正方形内容：1.有一组邻边相等的矩形是正方形；2.对角线互相垂直的矩形是正方形。核心逻辑：矩形已有直角、对角线相等，只需补充菱形独有条件，即可升级为正方形。判定3：菱形基础上证正方形内容：1.有一个角是直角的菱形是正方形；2.对角线相等的菱形是正方形。核心逻辑：菱形已有四边相等、对角线垂直，只需补充矩形独有条件，即可升级为正方形。判定4：直接四边形判定（无需证平行）内容：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。适用场景：简单判断题、基础填空题，大题极少使用，步骤繁琐。三、判定方法择优技巧（做题提速）1.题干已知是平行四边形：补「邻边相等+一个直角」；2.题干已知是矩形：优先补「邻边相等」或「对角线垂直」；3.题干已知是菱形：优先补「一个直角」或「对角线相等」；4.对角线条件充足：对角线相等且垂直且平分的四边形是正方形。四、经典例题精讲（考试满分步骤）例1矩形变正方形（高频大题）已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC。求证：ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角为直角，对边相等，又∵ AB=BC（一组邻边相等），∴矩形ABCD是正方形。（邻边相等的矩形是正方形）例2菱形变正方形已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边相等，对边平行，又∵ ∠A=90°，∴菱形ABCD是正方形。（有一个直角的菱形是正方形）例3对角线综合判定已知：平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD。求证：ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），又∵ AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形（对角线垂直的矩形是正方形）。五、特殊四边形判定终极汇总（考前必背）1.平行四边形：对边平行/相等、对角相等、对角线互相平分；2.矩形：平行四边形+直角/平行四边形+对角线相等/三角为直角；3.菱形：平行四边形+邻边相等/平行四边形+对角线垂直/四边相等；4.正方形：矩形+菱形任意一组专属条件叠加。六、本节高频易错扣分点1.误区：对角线垂直且相等的四边形是正方形（ 缺少「互相平分」，不是平行四边形不成立）；2.步骤缺失：大题未先证矩形/菱形，直接判定正方形，步骤不完整扣分；3.条件混淆：误将“对角线相等的菱形是矩形”等错误结论混用；4.忽略前提：所有叠加判定，必须依托平行四边形、矩形、菱形的基础图形。七、同步专项习题（含答案）1.矩形ABCD添加条件____，可判定为正方形。答案：AB=AD（或AC⊥BD，答案不唯一）2.菱形ABCD添加条件____，可判定为正方形。答案：∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一）3.下列能直接判定四边形是正方形的是（）A.对角线互相平分B.对角线垂直C.对角线相等且垂直平分D.对角线相等答案：C4.平行四边形对角线互相垂直且相等，则该四边形是____。答案：正方形1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.
2. 探究并证明正方形的判定定理.(重点)
3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.(难点)
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
O
正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等；
③对角线相等且互相垂直平分.
问题2 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
探究点1: 正方形的判定
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
【证一证】
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
探究点1: 正方形的判定
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
探究点1: 正方形的判定
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
【证一证】
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
探究点1: 正方形的判定
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
【归纳总结】
探究点: 正方形的判定
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
【归纳总结】
探究点1: 正方形的判定
1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
C
A
B
C
D
O
【练一练】
探究点1: 正方形的判定
例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形 BECF 是正方形.
F
A
B
E
C
D
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
探究点1: 正方形的判定
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.
∴□ BECF 是菱形(菱形的定义).
在△EBC 中，
∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB
= 180° - 2×45° = 90°。
∴菱形 BECF 是正方形
(有一个角是直角的菱形是正方形)。
又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
F
A
B
E
C
D
探究点1: 正方形的判定
探究点1: 正方形的判定
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
【练一练】2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
【做一做】
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
C
A
B
D
E
F
G
H
EH∥AC
EH = AC
三角形
中位线定理
E，H 分别是 AB，BC 中点
同理，
FG∥AC，
FG = AC
EH = FG，EH∥FG
四边形 EHGF 是平行四边形
探究点2: 中点四边形问题
【做一做】如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
原四边形 中点四边形
一般四边形 平行四边形
平行四边形 ？
矩形 ？
菱形 ？
正方形 ？
探究点2: 中点四边形问题
A
B
C
D
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC、BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
E
F
G
H
探究点2: 中点四边形问题
H
G
F
E
D
C
B
A
解：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = GH = FG = EH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
探究点2: 中点四边形问题
解：连接 AC，BD.
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD，
∴∠AOB = 90°. ∴∠HEF = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
A
B
C
D
O
E
F
G
H
探究点2: 中点四边形问题
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可证 HG∥AC 且 HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
A
B
C
D
O
H
G
F
E
拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
探究点2: 中点四边形问题
又∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC⊥BD.
∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°.
∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°.
∴四边形 EFGH 为正方形.
A
B
C
D
O
H
G
F
E
探究点2: 中点四边形问题
原四边形 中点四边形
一般四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
【归纳总结】
菱形
矩形
正方形
平行四边形
平行四边形
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
探究点2: 中点四边形问题
【归纳总结】
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线相等
菱形
对角线垂直
矩形
对角线相等且垂直
正方形
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系.
探究点2: 中点四边形问题
知识点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形
（第1题）
1. 如图，在菱形 中，对角线
，交于点 ，添加下列一个条
件，能使菱形 成为正方形的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.如图,在中, ，与 的平分线交
于点，于点,于点,则四边形 的形
状为________.
正方形
（第2题）
返回
3. 已知：如图，在中， ，
，垂足为点，是外角 的平分线，
，垂足为点 .
（1）证明：四边形 为矩形；
【证明】 在中，， ，
.
是的平分线， .
又， ，
.
四边形 为矩形.
（2）当 满足____________________
_______________时（添加一个条件），四
边形 是正方形，并证明.
（答案不唯一）
证明如下：， ,
.
， . .
四边形为矩形， 矩形 是正方形.
返回
知识点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形
4. 如图，已知的对角线，交于点 ，添加条件
后， 不一定是正方形的选项为( )
B
（第4题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第5题）
5. 如图，菱形 的
对角线,相交于点,点, 同时
从点出发在线段上以 的
速度反向运动（点,分别到达,
两点时停止运动），设运动时间为
3
.连接,,,,已知是边长为 的等边三角
形，当___时，四边形 为正方形.
知识点3 中点四边形
6. 如图，在任意四边形中，，，，
分别是边，，，的中点，连接， ，对于四
边形 的形状，下列说法错误的是( )
（第6题）
A. 四边形 一定是平行四边形
B. 若，则四边形 为菱形
C. 若，则四边形 为矩形
D. 若与互相平分，且 ，
则四边形 是正方形
√
返回
7. 如图，正方形的边长为2，是对角线 上一动点，
于点，于点，连接， .则下列结论
错误的是( )
D
（第7题）
A.
B. 若，则
C. 若为的中点，则四边形 是正方形
D. 若，则
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结

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