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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.1第1课时一元二次方程第二章一元二次方程2.1第1课时一元二次方程精讲讲义（含知识点+例题+习题）本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。一、一元二次方程的定义（核心考点）1.严格定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。2.定义三要素（缺一不可，考试判断依据）①一元：只含1个未知数（常见为x）；②二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x；③整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。3.常见排除易错方程（快速辨析） $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。二、一元二次方程的一般形式（必考）1.标准一般形式$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$$2.各项名称与系数定义①$$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数；②$$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数；③$$c$$：常数项。3.关键限制条件a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。4.三种特殊形式（仍属于一元二次方程）①$$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$）②$$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$）③$$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0）三、方程化为一般形式步骤（满分模板）1.去分母、去括号；2.移项：将所有项移至等式左边，右边化为0；3.合并同类项；4.整理为$$x^2$$在前、$$x$$居中、常数项最后的标准形式。例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！四、一元二次方程的解（根）1.定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。2.考点题型已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。五、根据实际问题列一元二次方程1.列方程步骤①审题，设未知数；②找等量关系；③列整式方程；④整理为一般形式。2.基础例题一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。解：原边长5，新边长$$5+x$$，得$$(x+5)^2=36$$，整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。六、本节高频易错点汇总1.判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0；2.系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号；3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a\neq0$$；4.分式、根式方程一定不是一元二次方程。七、同步基础习题（含答案）1.下列是一元二次方程的是（）A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$答案：B2.方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。答案：3、-4、13.将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。答案：$$x^2-3x+5=0$$4.已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。答案：-31. 理解一元二次方程的概念.（重点）
2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点）
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫作方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程.
想一想：什么是一元二次方程呢？
探究点：一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
思考：问题中有哪些等量关系？
地毯的长×宽 = 18m2
地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m
地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程：
(8 - 2x)
(5 - 2x)
x
x
(8 – 2x)
x
x
(5 – 2x)
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.①
探究点：一元二次方程的相关概念
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x，那么后面四个数依次可表示为：
， ， ， .　
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x + 1
x + 2
x + 3
x + 4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ②
探究点：一元二次方程的相关概念
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m，
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子顶端下滑
1 m，那么梯子底端滑动多少米？
6
(x + 6)
(x + 6)2 + 72 = 102. ③
10 m
8 m
1 m
x m
探究点：一元二次方程的相关概念
2x2 - 13x + 11 = 0 ①
x2 - 8x - 20＝0 ②
x2 + 12 x - 15 = 0 ③
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是 2；
3.整式方程．
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点：
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ①
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ②
(x + 6)2 + 72 = 102 ③
【议一议】
探究点：一元二次方程的相关概念
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
探究点：一元二次方程的相关概念
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
探究点：一元二次方程的相关概念
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 -1 = 12x + 9
探究点：一元二次方程的相关概念
是否为整式方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
不是一元二次方程
是否满足“一元”和“二次”
是一元二次方程
不是一元二次方程
是
否
识别一元二次方程的方法：
是
否
探究点：一元二次方程的相关概念
(8) 2 - - 6 = 0.
1.判断下列方程是否为一元二次方程：

×
×
×
×

×
×
(1) x + x = 36；
(3) x + 3y =36；
(5) x + 1 = 0；
(7) ax + bx + c = 0；
(2) x3 + x = 36；
(4) - = 0；
(6) = 6；
【练一练】
探究点：一元二次方程的相关概念
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2；
(2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0.
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法总结：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
探究点：一元二次方程的相关概念
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax + b = 0 (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数最高次数是 1
未知数最高次数是 2
探究点：一元二次方程的相关概念
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
探究点：一元二次方程的相关概念
一元二次方程一般式
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探究点：一元二次方程的相关概念
知识点1 一元二次方程的定义
1. 下列方程中，①；② ；③
；④；⑤ ，
是一元二次方程的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知关于的方程当
______时，是一元二次方程；当 ______时，是一元一次方程.
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知识点2 一元二次方程的一般形式
3. 把方程 化成一般式，
则 的值是( )
D
A. B. C. 2 D. 5
4. 若关于的一元二次方程 化为
一般形式后不含一次项，则 的值为( )
D
A. 0 B. C. 3 D.
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知识点3 建立一元二次方程模型
5. [2026杭州期中] 某足球训练基地，组织了一次单循环的足
球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，
设该基地这次有 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为
( )
A
A. B.
C. D.
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6. 一个两位数比它的十位上的数字与个位上的
数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，设
个位数字为 ，依题意可列方程为_______________________
______.
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7. 如图所示，在一幅长
，宽 的矩形风景画的四
周镶一条金色纸边，制成一幅矩形
挂图，如果要使整个挂图的面积是
，设金色纸边的宽为 ，
求满足 的方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系
数和常数项.
【解】由题意得挂图长为
，宽为 ，
所以 ，
即
，
所以 ，
其中二次项系数为1，一次项系数为
65，常数项为 .
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8. 若关于的方程 是一
元二次方程，则 的值是( )
B
A. 3 B. C. 3或 D.
解题支架
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9. 《算法统宗》是中国古代数学
名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了
一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一
尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素
好奇，算出索长有几？”这道题的意思是:“秋千静止的时候，
踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步 尺）时，此时
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件

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