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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.1.2一元二次方程的解及其估算第二章一元二次方程2.1第1课时一元二次方程精讲讲义（含知识点+例题+习题）本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。一、一元二次方程的定义（核心考点）1.严格定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。2.定义三要素（缺一不可，考试判断依据）①一元：只含1个未知数（常见为x）；②二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x；③整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。3.常见排除易错方程（快速辨析） $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。二、一元二次方程的一般形式（必考）1.标准一般形式$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$$2.各项名称与系数定义①$$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数；②$$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数；③$$c$$：常数项。3.关键限制条件a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。4.三种特殊形式（仍属于一元二次方程）①$$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$）②$$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$）③$$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0）三、方程化为一般形式步骤（满分模板）1.去分母、去括号；2.移项：将所有项移至等式左边，右边化为0；3.合并同类项；4.整理为$$x^2$$在前、$$x$$居中、常数项最后的标准形式。例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！四、一元二次方程的解（根）1.定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。2.考点题型已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。五、根据实际问题列一元二次方程1.列方程步骤①审题，设未知数；②找等量关系；③列整式方程；④整理为一般形式。2.基础例题一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。解：原边长5，新边长$$5+x$$，得$$(x+5)^2=36$$，整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。六、本节高频易错点汇总1.判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0；2.系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号；3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a\neq0$$；4.分式、根式方程一定不是一元二次方程。七、同步基础习题（含答案）1.下列是一元二次方程的是（）A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$答案：B2.方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。答案：3、-4、13.将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。答案：$$x^2-3x+5=0$$4.已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。答案：-32.1.2一元二次方程的解及其估算本课时承接一元二次方程的基础定义，核心掌握一元二次方程解的概念、根的代入应用、整体代换求值，重点掌握**夹值法估算方程近似解**，是中考基础填空、选择、探究题型的高频考点，为后续精准解方程、方程应用奠定基础。一、一元二次方程的解（根）进阶知识点1.核心定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。重要区别：一元方程的解也可称为根；多元方程只能叫解，不能叫根。2.一元二次方程根的个数特征一元二次方程在实数范围内：可能有两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根（后续判别式详细讲解）。区别于一元一次方程：一元一次方程有且只有一个解。3.根的核心用法（必考）若$$x=m$$是方程$$ax^2+bx+c=0$$的根，则直接代入得：$$\boldsymbol{am^2+bm+c=0}$$，用于求参数、代数式求值。经典例题1（参数求值）已知$$x=-1$$是一元二次方程$$x^2+kx-2=0$$的根，求$$k$$的值。解：将$$x=-1$$代入方程：$$(-1)^2+k\cdot(-1)-2=0$$$$1-k-2=0$$，解得$$k=-1$$。经典例题2（代数式整体求值拔高）已知$$m$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的根，求$$m^2-2m+3$$的值。解：由题意得：$$m^2-2m-1=0$$，即$$m^2-2m=1$$。整体代入：原式$$=1+3=4$$。解题技巧：遇根不求未知数，优先整体代换，简化计算。二、一元二次方程的近似解（夹值估算法）1.估算原理对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，设代数式$$y=ax^2+bx+c$$。当$$y$$的值由正变负或由负变正时，正负之间对应的x取值范围内，一定存在方程的实数根。2.标准估算步骤（满分模板）①列表取值：选取合适的整数x，计算对应代数式y的值；②锁定区间：找到$$y$$正负切换的两个相邻整数，确定根的取值范围；③逼近精确：在区间内继续取值，无限靠近$$y=0$$，得到近似解。3.经典例题（夹值法实操）利用估算方法，确定方程$$x^2-2x-2=0$$的正数根的大致范围。解：设$$y=x^2-2x-2$$当$$x=2$$时，$$y=4-4-2=-2<0$$当$$x=3$$时，$$y=9-6-2=1>0$$∴方程的正数根在$$\boldsymbol{2\sim3}$$之间。进一步估算：当$$x=2.7$$，$$y=-0.11$$；当$$x=2.8$$，$$y=0.24$$∴方程近似解约为$$2.7$$。三、本节核心易错点汇总1.代入根计算时，负数代入必须加括号，避免平方、符号出错；2.一元二次方程一定是最多两个实数根，不可能三个及以上；3.夹值估算核心：正负异号之间必有根，同号区间无根；4.代数式求值优先整体代换，不强行解出未知数。四、同步课时习题（含答案解析）1.已知$$x=3$$是方程$$x^2-ax+3=0$$的根，则$$a=$$____。答案：4解析：代入得$$9-3a+3=0$$，解得$$a=4$$。2.已知$$n$$是方程$$x^2+3x-1=0$$的根，则$$n^2+3n=$$____。答案：1解析：整体代换，直接得$$n^2+3n=1$$。3.根据表格判断方程$$x^2+3x-5=0$$的一个近似根的范围是（）$$x=1，y=-1；\ x=2，y=5$$A. $$x<1$$ B. $$1<x<2$$ C. $$x>2$$ D.无解答案：B4.方程$$x^2-4x+1=0$$的根的范围大致在____和____之间。答案：0和1或3和4（写出一组即可）1. 理解方程的解的概念.
2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3. 会估算一元二次方程的解.（难点）
问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数；
②未知数的最高次数是 2；
③整式方程
问2：一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0)
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根
– 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
14
6
0
– 4
– 6
– 6
– 4
0
6
总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
探究点1：一元二次方程的根
例1 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
总结: 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值.
∴ a = .
探究点1：一元二次方程的根
变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026 的值.
解：由题意得 a2 + 2a - 2 = 0，即 a2 + 2a = 2.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解
∴ 2a2 + 4a + 2026 = 2(a2 + 2a) + 2026
= 2×2 + 2026
= 2030
探究点1：一元二次方程的根
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由.
不能，因为 x 代表宽度，小于 0 不符合实际.
x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？
说说你的理由.
8 - 2x
5 - 2x
当 x > 4，不可能，5 - 2x < 0，边长无意义；
当 x > 2.5，不可能，5 - 2x < 0，地毯宽为负.
探究点2：一元二次方程解的估算
（3）填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8 - 2x)(5 - 2x)
（4）你知道地毯花边的宽 x (单位：m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．
4
10
18
28
（2）你能确定 x 的大致范围吗？
8 - 2x＞0，5 - 2x＞0，
解得 x＜4，x＜2.5，
所以 0＜x＜2.5
x = 1
探究点2：一元二次方程解的估算
(1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？
可能是 3 m 吗？为什么？
【尝试·思考】在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是
x2 + 12x - 15 = 0.
10 m
8 m
1 m
x m
12 + 12×1 - 15 = -2
22 + 12×2 - 15 = 13
32 + 12×3 - 15 = 30
探究点2：一元二次方程解的估算
10 m
8 m
1 m
x m
(3) 你能猜出滑动距离 x (单位：m) 的大致范围吗？
x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0；
x 1 2 3
x2 + 12x - 15 -2 13 30
x 1 2 3
(x + 6)2 + 72 98 113 130
1＜x＜2
(4) x 的整数部分是几？十分位是几？
探究点2：一元二次方程解的估算
小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下：
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13
可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5.
【思考·交流】
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76
探究点2：一元二次方程解的估算
所以 1.1＜x＜1.2，
因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1．
(1) 你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。
1. 先通过较大步长确定根所在的大致区间 1< x <1.5；
2. 再在该区间内缩小步长，进一步精确根所在的更小区间 1.1< x <1.2；
3. 重复此过程，逐步逼近方程的精确解，从而确定解的整数部分、十分位等。
探究点2：一元二次方程解的估算
(2) 如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。
在区间 1.1< x <1.2 内，以 0.01 为步长计算函数值，找到符号变化的区间 (如 1.14< x <1.15)，取区间内更接近零点的值作为近似解，即可精确到百分位(近似为 x≈1.14)。
探究点2：一元二次方程解的估算
用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
规律方法 上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想
【归纳总结】
探究点2：一元二次方程解的估算
例2 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）.
解：（1）列表. 依次取 x = 0，1，2，3…
x 0 1 2 3 …
x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 …
由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
探究点2：一元二次方程解的估算
（2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…
由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25；
x 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 …
（3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025.
∴2.4＜x＜2.45.
∴x ≈ 2.4.
探究点2：一元二次方程解的估算
【练一练】1.根据题意，列出方程，并估算方程的解：
一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意，得
120 m2
(x + 2) m
x m
根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
x · (x + 2) = 120.
即 x2 + 2x - 120 = 0.
探究点2：一元二次方程解的估算
由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
解方程 x2 + 2x - 120 = 0.
完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近):
x … …
x2 + 2x – 120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米.
探究点2：一元二次方程解的估算
知识点1 一元二次方程的解
1. 关于的一元二次方程 有一个根为0，
则 的值是( )
B
A. B. 1 C. D. 0
返回
2. 是方程 的一个根，则式子
的值为( )
A
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027
解题支架
返回
3. 若方程中,, 满足
和 ,则该方程的根是( )
D
A. 1,0 B. 1, C. ,0 D. 2,
返回
知识点2 用估算法求一元二次方程的近似解
4. 观察下表，一元二次方程 的
正数解的范围是( )
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
C
A. B.
C. D.
返回
5. 根据关于的一元二次方程 ，可列表如下，
则方程 的正数根满足( )
0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
D
A. 解的整数部分是0，十分位是5
B. 解的整数部分是0，十分位是8
C. 解的整数部分是1，十分位是1
D. 解的整数部分是1，十分位是2
返回
6. 若是方程 的一个根，
设，，则与 的大小关系为
( )
B
A. B. C. D. 不确定
【点拨】是方程 的一个根，
,即 .故选B.
返回
7. 已知是方程 的一个根，则
的值为( )
C
A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026
【点拨】是方程 的一个根，
，即 ，
.解法一： .
解法二：由可得 ，
.
返回
8. 关于的方程的解是 ，
，均为常数， .
（1）关于的方程 的根是_______
_________；
,
【点拨】 方程的解是 ，
， 在方程中，
或，解得, .
（2）关于的方程 的根是_______
__________；
,
方程的解是， ，
在方程中， 或
，解得, .
（3）关于的方程 的根为______
_________.
,
方程的解是， ，
在方程中， 或
，解得, .
解一元二次方程
“区间逐步缩小”
方法
确定其解的大致范围
列表、计算
区间逐步缩小
……
求得近似解

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