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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.2.2配方法(2)第二章一元二次方程2.1第1课时一元二次方程精讲讲义（含知识点+例题+习题）本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。一、一元二次方程的定义（核心考点）1.严格定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。2.定义三要素（缺一不可，考试判断依据）①一元：只含1个未知数（常见为x）；②二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x；③整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。3.常见排除易错方程（快速辨析） $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。二、一元二次方程的一般形式（必考）1.标准一般形式$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$$2.各项名称与系数定义①$$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数；②$$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数；③$$c$$：常数项。3.关键限制条件a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。4.三种特殊形式（仍属于一元二次方程）①$$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$）②$$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$）③$$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0）三、方程化为一般形式步骤（满分模板）1.去分母、去括号；2.移项：将所有项移至等式左边，右边化为0；3.合并同类项；4.整理为$$x^2$$在前、$$x$$居中、常数项最后的标准形式。例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！四、一元二次方程的解（根）1.定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。2.考点题型已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。五、根据实际问题列一元二次方程1.列方程步骤①审题，设未知数；②找等量关系；③列整式方程；④整理为一般形式。2.基础例题一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。解：原边长5，新边长$$5+x$$，得$$(x+5)^2=36$$，整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。六、本节高频易错点汇总1.判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0；2.系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号；3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a\neq0$$；4.分式、根式方程一定不是一元二次方程。七、同步基础习题（含答案）1.下列是一元二次方程的是（）A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$答案：B2.方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。答案：3、-4、13.将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。答案：$$x^2-3x+5=0$$4.已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。答案：-32.1.2一元二次方程的解及其估算本课时承接一元二次方程的基础定义，核心掌握一元二次方程解的概念、根的代入应用、整体代换求值，重点掌握**夹值法估算方程近似解**，是中考基础填空、选择、探究题型的高频考点，为后续精准解方程、方程应用奠定基础。一、一元二次方程的解（根）进阶知识点1.核心定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。重要区别：一元方程的解也可称为根；多元方程只能叫解，不能叫根。2.一元二次方程根的个数特征一元二次方程在实数范围内：可能有两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根（后续判别式详细讲解）。区别于一元一次方程：一元一次方程有且只有一个解。3.根的核心用法（必考）若$$x=m$$是方程$$ax^2+bx+c=0$$的根，则直接代入得：$$\boldsymbol{am^2+bm+c=0}$$，用于求参数、代数式求值。经典例题1（参数求值）已知$$x=-1$$是一元二次方程$$x^2+kx-2=0$$的根，求$$k$$的值。解：将$$x=-1$$代入方程：$$(-1)^2+k\cdot(-1)-2=0$$$$1-k-2=0$$，解得$$k=-1$$。经典例题2（代数式整体求值拔高）已知$$m$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的根，求$$m^2-2m+3$$的值。解：由题意得：$$m^2-2m-1=0$$，即$$m^2-2m=1$$。整体代入：原式$$=1+3=4$$。解题技巧：遇根不求未知数，优先整体代换，简化计算。二、一元二次方程的近似解（夹值估算法）1.估算原理对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，设代数式$$y=ax^2+bx+c$$。当$$y$$的值由正变负或由负变正时，正负之间对应的x取值范围内，一定存在方程的实数根。2.标准估算步骤（满分模板）①列表取值：选取合适的整数x，计算对应代数式y的值；②锁定区间：找到$$y$$正负切换的两个相邻整数，确定根的取值范围；③逼近精确：在区间内继续取值，无限靠近$$y=0$$，得到近似解。3.经典例题（夹值法实操）利用估算方法，确定方程$$x^2-2x-2=0$$的正数根的大致范围。解：设$$y=x^2-2x-2$$当$$x=2$$时，$$y=4-4-2=-2<0$$当$$x=3$$时，$$y=9-6-2=1>0$$∴方程的正数根在$$\boldsymbol{2\sim3}$$之间。进一步估算：当$$x=2.7$$，$$y=-0.11$$；当$$x=2.8$$，$$y=0.24$$∴方程近似解约为$$2.7$$。三、本节核心易错点汇总1.代入根计算时，负数代入必须加括号，避免平方、符号出错；2.一元二次方程一定是最多两个实数根，不可能三个及以上；3.夹值估算核心：正负异号之间必有根，同号区间无根；4.代数式求值优先整体代换，不强行解出未知数。四、同步课时习题（含答案解析）1.已知$$x=3$$是方程$$x^2-ax+3=0$$的根，则$$a=$$____。答案：4解析：代入得$$9-3a+3=0$$，解得$$a=4$$。2.已知$$n$$是方程$$x^2+3x-1=0$$的根，则$$n^2+3n=$$____。答案：1解析：整体代换，直接得$$n^2+3n=1$$。3.根据表格判断方程$$x^2+3x-5=0$$的一个近似根的范围是（）$$x=1，y=-1；\ x=2，y=5$$A. $$x<1$$ B. $$1<x<2$$ C. $$x>2$$ D.无解答案：B4.方程$$x^2-4x+1=0$$的根的范围大致在____和____之间。答案：0和1或3和4（写出一组即可）2.2直接开平方法与配方法(1)本课时是一元二次方程第一种核心解法，重点掌握直接开平方法的适用题型、解题步骤，循序渐进推导配方法的核心原理，是后续公式法、解方程综合题型的基础，必考基础计算题。一、直接开平方法1.适用方程形式（核心判定）可化为$$\boldsymbol{x^2=p}$$或$$\boldsymbol{(mx+n)^2=p\ (m\neq0)}$$的一元二次方程，无需展开整理，直接开平方求解。2.根的判定规则（必背）①当$$\boldsymbol{p&gt;0}$$时，方程有两个不相等的实数根：$$x=\pm\sqrt{p}$$；②当$$\boldsymbol{p=0}$$时，方程有两个相等的实数根：$$x_1=x_2=0$$；③当$$\boldsymbol{p<0}$$时，方程无实数根（平方数非负）。3.标准解题步骤（满分模板）①移项整理：将方程化为完全平方式等于常数的标准形式；②两边开平方：切记右边必须加正负号；③解出两个一元一次方程，得到两个实数根；④整理化简根的结果。4.基础例题精讲例1解方程：$$x^2-9=0$$解：移项得：$$x^2=9$$开平方得：$$x=\pm3$$∴ $$x_1=3,\ x_2=-3$$例2解方程：$$(x-2)^2=16$$解：开平方得：$$x-2=\pm4$$$$x-2=4$$或$$x-2=-4$$∴ $$x_1=6,\ x_2=-2$$例3无解题型：解方程$$(x+1)^2=-2$$解：∵平方数恒非负，$$-2<0$$，∴方程无实数根。二、配方法（第一课时：基础配方）1.配方核心原理利用完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，将二次二项式补成完全平方式。2.二次项系数为1的配方口诀（必考）一次项系数一半方，加上即可配平方对于$$x^2+bx$$，只需加上$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$，即可配方：$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$$3.纯代数式配方例题例4对$$x^2-6x$$配方解：一次项系数$$-6$$，一半为$$-3$$，平方为9$$x^2-6x=(x^2-6x+9)-9=(x-3)^2-9$$例5对$$x^2+4x+1$$配方解：$$x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2)^2-3$$三、简单方程配方法求解（基础入门）本课时只要求掌握：二次项系数为1的一元二次方程配方求解。1.解题步骤①移项：常数项移到等式右边；②配方：左边加一次项系数一半的平方，右边同步加（等式性质）；③左边写成完全平方，右边合并常数；④直接开平方法求解。2.完整例题例6用配方法解方程：$$x^2-4x-5=0$$解：移项：$$x^2-4x=5$$配方：两边加$$2^2=4$$$$x^2-4x+4=5+4$$整理：$$(x-2)^2=9$$开方：$$x-2=\pm3$$解得：$$x_1=5,\ x_2=-1$$四、本节高频易错点1.直接开平方法勿忘正负号，只写一个根直接扣分；2.平方等于负数，直接判定无实数根；3.配方时等式两边必须同时加，只加左边、不加右边是最常见错误；4.配方只针对二次项系数为1的式子，系数不为1需先提系数（下课时讲解）。五、同步基础习题（含答案）1.解方程$$x^2-25=0$$答案：$$x_1=5,\ x_2=-5$$2.解方程$$(x+3)^2=4$$答案：$$x_1=-1,\ x_2=-5$$3.对$$x^2-8x$$配方需加的常数是____。答案：164.配方法解方程$$x^2+2x-3=0$$答案：$$x_1=1,\ x_2=-3$$2.2直接开平方法与配方法(2)进阶配方法本课时为配方法进阶核心内容，专门攻克二次项系数不为1的一元二次方程配方求解，是考试必考计算题型，也是后续推导求根公式的基础。承接上课时二次项系数为1的基础配方，完善配方法完整解题体系。一、进阶配方核心前提上课时：仅适用于$$x^2+bx+c=0$$（二次项系数为1）本课时：适用于$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq1,a\neq0)$$核心口诀：系数不为1，先提再配方二、二次项系数不为1标准满分步骤1.化系数为1：方程两边同时除以二次项系数$$a$$；2.移项：常数项移到等式右侧；3.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方；4.整理平方：左边写成完全平方式，右侧合并常数；5.开方求解：直接开平方法解出两根。三、经典例题精讲（必考题型）例题1用配方法解方程：$$2x^2-4x-6=0$$解：①二次项系数化为1，两边同除以2：$$x^2-2x-3=0$$②移项：$$x^2-2x=3$$③配方：两边加$$1^2=1$$$$x^2-2x+1=3+1$$④整理：$$(x-1)^2=4$$⑤开方：$$x-1=\pm2$$解得：$$x_1=3,\ x_2=-1$$例题2用配方法解方程：$$3x^2+6x-9=0$$解：同除以3：$$x^2+2x-3=0$$移项：$$x^2+2x=3$$配方：$$x^2+2x+1=3+1$$整理：$$(x+1)^2=4$$开方求解：$$x_1=1,\ x_2=-3$$拔高例题（系数非整数、易错）例题3用配方法解方程：$$2x^2+5x+1=0$$解：两边同除以2：$$x^2+\frac52x+\frac12=0$$移项：$$x^2+\frac52x=-\frac12$$配方：一次项系数$$\frac52$$，一半为$$\frac54$$，平方$$\frac{25}{16}$$$$x^2+\frac52x+\frac{25}{16}=-\frac12+\frac{25}{16}$$整理：$$\left(x+\frac54\right)^2=\frac{17}{16}$$开方：$$x+\frac54=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$$最终根：$$x_1=\frac{-5+\sqrt{17}}{4},\quad x_2=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$$四、配方法完整通用公式（所有方程适用）对任意$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$口诀：除系数、移常数、半方配、同加减、开方解五、本节致命易错点（考试高频扣分点）1.忘记先除二次项系数：系数不为1直接配方，全盘错误；2.除以系数时，常数项一定要除尽，漏除常数是高频错误；3.分数系数配方时，一次项系数一半必须算对，平方通分无误；4.配方必须左右两边同时加常数，严格遵守等式性质。六、同步进阶习题（含答案）1.用配方法解方程$$2x^2-8x+2=0$$答案：$$x_1=2+\sqrt3,\ x_2=2-\sqrt3$$2.用配方法解方程$$3x^2-6x=0$$答案：$$x_1=0,\ x_2=2$$3.配方法解方程$$2x^2+3x-2=0$$答案：$$x_1=\frac12,\ x_2=-2$$4.方程$$4x^2-4x-1=0$$配方后完全平方式为____。答案：$$\left(x-\frac12\right)^2=\frac12$$1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程；（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
(1) 9x2 = 1 ；
(2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 + 6x + 9 = 5；
(2) x2 + 3x - 4 = 0.
把两题转化成
(x + m)2 = n(n≥0)的
形式，再利用开平方
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8，
配方，得 (x + 3)2 = 1.
开平方，得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 ， x2 = -4.
想一想怎么来解3x2 + 8x - 3 = 0.
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
试一试：解方程： 3x2 + 8x - 3 = 0.
可以先将二次项系数化为 1.
解：两边同除以 3，得
开方，得 即
所以 x1 = ，x2 = -3.
配方，得
即
移项，得
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2 - 3x = -1.
即
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢
例1 解下列方程：
(1) 2x2 + 1 = 3x；
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，
∴ x 取任何实数时，上式都不成立．
∴ 原方程无实数根．
解：移项，得 3x2 - 6x = -4.
二次项系数化为 1，得
为什么方程两边都加 12？
即
(2) 3x2 - 6x + 4 = 0.
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为 1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方式；
④降次；
⑤解一次方程.
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + m)2 = n.
①当 n＞0 时，则 ，方程的两个根为
②当 n = 0 时，则(x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.
③当 n＜0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
【归纳总结】
探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
【思考·交流】
一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系： h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以 -5，得 t2 - 3t = -2.
配方，得 t2 - 3t + = - 2.
探究点2：配方法的应用
即
移项，得 =
即 t - = 或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
探究点2：配方法的应用
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ）
A. 1 B.1
C.1 或 2 D.1 或 -2
C
【练一练】
探究点2：配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或证
代数式的值恒正（或负）
将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
2.完全平方式中的配方
如：已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16，即 m2 = 16，m = ±4.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为 0，再根据非负式大于等于 0，则各式均为 0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4 = 0，即 a2＋(b－2)2 = 0，则 a = 0，b = 2.
探究点2：配方法的应用
例2 读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
探究点2：配方法的应用
解：设个位数字为 x，则十位数字为 (x - 3).
x1 = 6，x2 = 5
x2 - 11x = -30
x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52
(x - 5.5)2 = 0.25
x - 5.5 = 0.5 或 x - 5.5 = -0.5
依题列方程 x2 = 10(x - 3) + x
∴这个两位数为 36 或 25.
∴周瑜去世的年龄为 36 岁.
∵周瑜 30 岁还攻打过东吴，
探究点2：配方法的应用
知识点1 二次三项式的配方（二次项系数不为1）
1. 将二次三项式 进行配方正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2.若把代数式化为的形式，其中 ,
为常数，则 的值为___.
5
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知识点2 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
3. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
B
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
返回
4. 在解方程 时，对方程进行配
方，①是嘉嘉的做法，②是琪琪的做法，对于两人的做法，
说法正确的是( )
①
②
A. 两人都正确 B. 嘉嘉正确，琪琪不正确
C. 嘉嘉不正确，琪琪正确 D. 两人都不正确
A
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5.若代数式与的值互为相反数，则 的值为
_____.
3或
返回
6.用配方法解下列方程：
（1） ；
【解】, .
. .
, .
（2） .
整理,得 .
., .
（3） ；
,. .
, .
（4） .
, .
原方程无实数根.
返回
7. 以初速度竖直上抛的物体的高度 和时
间满足关系式（为重力加速度， 按
计算）.某种爆竹在地面点燃后以初速度
上升，则经过多少秒爆竹离地面 ？
【解】根据题意可得 ，
当这种爆竹离地面的高度为时， ，整
理，得 ，
配方，得,解得， .
故经过或爆竹离地面 .
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8. 已知实数，，满足 ，
，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】 ,
.
， .
. .
返回
9.已知是完全平方式，则常数 的值
是_______.
【点拨】 原式
,
,即, ,则
,即, ,
.
返回
10. 已知点，，在数轴上的位置如图所示，
为原点，且为的中点，为的中点.若点 表示的数为
，点表示的数为，则 的值是_ ______.
返回
11. 新定义：关于 的一元二次方程
与 称为“同族二次方
程”.如与 是“同族二次方
程”.现有关于的一元二次方程 与
是“同族二次方程”，那么代数
式 的最小值是_______.
2 021
配方法
定义
步骤
一 移常数项且二次项系数化为 1；
二 配方[配上 ]；
三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四 开平方解方程
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式.
在方程两边都配上

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