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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.2.1直接开平方法与配方法(1)第二章一元二次方程2.1第1课时一元二次方程精讲讲义（含知识点+例题+习题）本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。一、一元二次方程的定义（核心考点）1.严格定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。2.定义三要素（缺一不可，考试判断依据）①一元：只含1个未知数（常见为x）；②二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x；③整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。3.常见排除易错方程（快速辨析） $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。二、一元二次方程的一般形式（必考）1.标准一般形式$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$$2.各项名称与系数定义①$$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数；②$$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数；③$$c$$：常数项。3.关键限制条件a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。4.三种特殊形式（仍属于一元二次方程）①$$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$）②$$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$）③$$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0）三、方程化为一般形式步骤（满分模板）1.去分母、去括号；2.移项：将所有项移至等式左边，右边化为0；3.合并同类项；4.整理为$$x^2$$在前、$$x$$居中、常数项最后的标准形式。例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！四、一元二次方程的解（根）1.定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。2.考点题型已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。五、根据实际问题列一元二次方程1.列方程步骤①审题，设未知数；②找等量关系；③列整式方程；④整理为一般形式。2.基础例题一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。解：原边长5，新边长$$5+x$$，得$$(x+5)^2=36$$，整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。六、本节高频易错点汇总1.判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0；2.系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号；3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a\neq0$$；4.分式、根式方程一定不是一元二次方程。七、同步基础习题（含答案）1.下列是一元二次方程的是（）A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$答案：B2.方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。答案：3、-4、13.将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。答案：$$x^2-3x+5=0$$4.已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。答案：-32.1.2一元二次方程的解及其估算本课时承接一元二次方程的基础定义，核心掌握一元二次方程解的概念、根的代入应用、整体代换求值，重点掌握**夹值法估算方程近似解**，是中考基础填空、选择、探究题型的高频考点，为后续精准解方程、方程应用奠定基础。一、一元二次方程的解（根）进阶知识点1.核心定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。重要区别：一元方程的解也可称为根；多元方程只能叫解，不能叫根。2.一元二次方程根的个数特征一元二次方程在实数范围内：可能有两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根（后续判别式详细讲解）。区别于一元一次方程：一元一次方程有且只有一个解。3.根的核心用法（必考）若$$x=m$$是方程$$ax^2+bx+c=0$$的根，则直接代入得：$$\boldsymbol{am^2+bm+c=0}$$，用于求参数、代数式求值。经典例题1（参数求值）已知$$x=-1$$是一元二次方程$$x^2+kx-2=0$$的根，求$$k$$的值。解：将$$x=-1$$代入方程：$$(-1)^2+k\cdot(-1)-2=0$$$$1-k-2=0$$，解得$$k=-1$$。经典例题2（代数式整体求值拔高）已知$$m$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的根，求$$m^2-2m+3$$的值。解：由题意得：$$m^2-2m-1=0$$，即$$m^2-2m=1$$。整体代入：原式$$=1+3=4$$。解题技巧：遇根不求未知数，优先整体代换，简化计算。二、一元二次方程的近似解（夹值估算法）1.估算原理对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，设代数式$$y=ax^2+bx+c$$。当$$y$$的值由正变负或由负变正时，正负之间对应的x取值范围内，一定存在方程的实数根。2.标准估算步骤（满分模板）①列表取值：选取合适的整数x，计算对应代数式y的值；②锁定区间：找到$$y$$正负切换的两个相邻整数，确定根的取值范围；③逼近精确：在区间内继续取值，无限靠近$$y=0$$，得到近似解。3.经典例题（夹值法实操）利用估算方法，确定方程$$x^2-2x-2=0$$的正数根的大致范围。解：设$$y=x^2-2x-2$$当$$x=2$$时，$$y=4-4-2=-2<0$$当$$x=3$$时，$$y=9-6-2=1>0$$∴方程的正数根在$$\boldsymbol{2\sim3}$$之间。进一步估算：当$$x=2.7$$，$$y=-0.11$$；当$$x=2.8$$，$$y=0.24$$∴方程近似解约为$$2.7$$。三、本节核心易错点汇总1.代入根计算时，负数代入必须加括号，避免平方、符号出错；2.一元二次方程一定是最多两个实数根，不可能三个及以上；3.夹值估算核心：正负异号之间必有根，同号区间无根；4.代数式求值优先整体代换，不强行解出未知数。四、同步课时习题（含答案解析）1.已知$$x=3$$是方程$$x^2-ax+3=0$$的根，则$$a=$$____。答案：4解析：代入得$$9-3a+3=0$$，解得$$a=4$$。2.已知$$n$$是方程$$x^2+3x-1=0$$的根，则$$n^2+3n=$$____。答案：1解析：整体代换，直接得$$n^2+3n=1$$。3.根据表格判断方程$$x^2+3x-5=0$$的一个近似根的范围是（）$$x=1，y=-1；\ x=2，y=5$$A. $$x<1$$ B. $$1<x<2$$ C. $$x>2$$ D.无解答案：B4.方程$$x^2-4x+1=0$$的根的范围大致在____和____之间。答案：0和1或3和4（写出一组即可）2.2直接开平方法与配方法(1)本课时是一元二次方程第一种核心解法，重点掌握直接开平方法的适用题型、解题步骤，循序渐进推导配方法的核心原理，是后续公式法、解方程综合题型的基础，必考基础计算题。一、直接开平方法1.适用方程形式（核心判定）可化为$$\boldsymbol{x^2=p}$$或$$\boldsymbol{(mx+n)^2=p\ (m\neq0)}$$的一元二次方程，无需展开整理，直接开平方求解。2.根的判定规则（必背）①当$$\boldsymbol{p&gt;0}$$时，方程有两个不相等的实数根：$$x=\pm\sqrt{p}$$；②当$$\boldsymbol{p=0}$$时，方程有两个相等的实数根：$$x_1=x_2=0$$；③当$$\boldsymbol{p<0}$$时，方程无实数根（平方数非负）。3.标准解题步骤（满分模板）①移项整理：将方程化为完全平方式等于常数的标准形式；②两边开平方：切记右边必须加正负号；③解出两个一元一次方程，得到两个实数根；④整理化简根的结果。4.基础例题精讲例1解方程：$$x^2-9=0$$解：移项得：$$x^2=9$$开平方得：$$x=\pm3$$∴ $$x_1=3,\ x_2=-3$$例2解方程：$$(x-2)^2=16$$解：开平方得：$$x-2=\pm4$$$$x-2=4$$或$$x-2=-4$$∴ $$x_1=6,\ x_2=-2$$例3无解题型：解方程$$(x+1)^2=-2$$解：∵平方数恒非负，$$-2<0$$，∴方程无实数根。二、配方法（第一课时：基础配方）1.配方核心原理利用完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，将二次二项式补成完全平方式。2.二次项系数为1的配方口诀（必考）一次项系数一半方，加上即可配平方对于$$x^2+bx$$，只需加上$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$，即可配方：$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$$3.纯代数式配方例题例4对$$x^2-6x$$配方解：一次项系数$$-6$$，一半为$$-3$$，平方为9$$x^2-6x=(x^2-6x+9)-9=(x-3)^2-9$$例5对$$x^2+4x+1$$配方解：$$x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2)^2-3$$三、简单方程配方法求解（基础入门）本课时只要求掌握：二次项系数为1的一元二次方程配方求解。1.解题步骤①移项：常数项移到等式右边；②配方：左边加一次项系数一半的平方，右边同步加（等式性质）；③左边写成完全平方，右边合并常数；④直接开平方法求解。2.完整例题例6用配方法解方程：$$x^2-4x-5=0$$解：移项：$$x^2-4x=5$$配方：两边加$$2^2=4$$$$x^2-4x+4=5+4$$整理：$$(x-2)^2=9$$开方：$$x-2=\pm3$$解得：$$x_1=5,\ x_2=-1$$四、本节高频易错点1.直接开平方法勿忘正负号，只写一个根直接扣分；2.平方等于负数，直接判定无实数根；3.配方时等式两边必须同时加，只加左边、不加右边是最常见错误；4.配方只针对二次项系数为1的式子，系数不为1需先提系数（下课时讲解）。五、同步基础习题（含答案）1.解方程$$x^2-25=0$$答案：$$x_1=5,\ x_2=-5$$2.解方程$$(x+3)^2=4$$答案：$$x_1=-1,\ x_2=-5$$3.对$$x^2-8x$$配方需加的常数是____。答案：164.配方法解方程$$x^2+2x-3=0$$答案：$$x_1=1,\ x_2=-3$$1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程.（重点）
2. 理解配方法的基本思路.（难点）
3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程.
（重点）
在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了
x 的近似值，你能设法求出它的精
确值吗？
10 m
8 m
1 m
x m
(1) 你能解哪些特殊的一元二次方程
x2 = 4；
x2 = 0；
x2 + 1 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2.
解：移项，得 x2 = -1．
∵ 负数没有平方根，
∴ 原方程无解.
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0.
思考·交流
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
(2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程，
(1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
(2) 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 = 5， 2x2 + 3 = 5，
解：
直接开平方，得
解：移项，得
2x2 = 2.
直接开平方，得
x = ± 1，
∴ x1 = 1，x2 = -1.
系数化为 1，得
x2 = 1.
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
解析：先将 72 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解.
解：移项，得 (x + 6)2 = 51.
(x + 6)2 + 72 = 102，
两边开平方，得 x + 6 = ，
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = ， x2 = .
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
x2 + 2x + 1 = 5.
解：在解方程时，由方程 x2 = 5 得 .
由此想到： (x + 1)2 = 5 ，
于是，原方程的两个根为
看成是一个整体，可以用直接开平方法求解.
实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
【探究交流】
探究点1：用直接开平方法解一元二次方程
下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填.
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a - b
【探究交流】
【思考·交流】(3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流.
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15 ，
x1，x2 都符合原问题的要求吗？
（舍）
将方程转化为 (x + m)2 = n 的形式.
当 n≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根.
完全平方式
常数
两边都加 62，得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62，
即 (x + 6)2 = 51 .
两边开平方，得 x + 6 = ，
因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根
x1 = ， x2 = .
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(1) 填上适当的数或式，使下列各等式成立：
x2 + 12x + = ( x + 6)2；
x2 4x + = ( x )2；
x2 + 8x + = ( x + )2；
62
22
2
42
4
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
操作·思考
(2) 观察 (1) 中三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
二次项系数为 1 的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填：
x2 + px + ( )2 = ( x + )2
配方的方法
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即 (x + 4)2 = 25 .
两边开平方，得
x + 4 = ± 5 ，
即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5.
所以 x1 = 1 ， x2 = -9.
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法的定义
【知识要点】
配方法解方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
【练一练】1. 解方程：
(1) x2 - 2x - 5 = 0； (2) x2 - 8x + 1 = 0.
解：
(1) x2 - 2x -5 = 0，
移项，得 x2 - 2x = 5.
配方，得 (x - 1)2 = 6.
(2) x2 - 8x + 1 = 0，
移项，得 x2 - 8x = -1.
配方，得 (x - 4)2 = 15.
由此可得
x - 1 = ±，
x1=1+， x2= 1.
由此可得
x1=4+， x2= 4.
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
2. 解下列方程：
(1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12；
解：(1)移项，得
x2 + 2x + 2 = 0，
配方，得 (x + 1)2 = -1.
∴ 此方程无解.
(2) 整理移项，得
x2 - 4x - 12 = 0，
配方，得 (x - 2)2 = 16.
由此可得 x - 2 = ±4，
∴x1 = 6， x2 = -2.
探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
知识点1 直接开平方法
1. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答
案：甲：；乙：;丙： ；丁：
, .下列判断正确的是( )
D
A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确
2. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求
解，那么 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.若一元二次方程的两根分别是 和
，则 的值为___.
【点拨】 一元二次方程的两根分别是 和
，，解得 ，
．
返回
知识点2 二次三项式的配方（二次项系数为1）
4. 用配方法将代数式 变形，结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5. 将下列各式配方：
（1）_ __（__） ；
（2）__（__） .
返回
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
6. 把关于的一元二次方程 配方，得
，则 的值为( )
A
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
【点拨】解法一：,移项，得 ,配
方，得,即 ,由题意，
得,,解得, .解法
二：由,得 ，
，由题意，得 ,
,解得, ,
.
返回
7.若代数式与的值相等，则 的值为______.
1或5
8.[2026盐城期末] 已知方程 的两根为
，，则方程
的两根为________________________.
，
【点拨】 ，则
， ，
返回
9.用配方法解方程：
（1） ；
【解】移项，得 .
配方，得 ，
即 .
两边开平方，得 .
， .
（2） .
移项、合并同类项，得 .
配方，得 ，
即 .
两边开平方，得 .
， .
返回
10.将长为，宽为 的长方形的长和宽增加相同的长度，
增加后长方形的面积增加了 .求增加后长方形的长和宽.
【解】设长和宽都增加 ，则增加后长方形的长为
，宽为 .
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得， （不合题意，舍去），
， ，
答：增加后长方形的长为，宽为 .
返回
11. 若方程，则
( )
B
A. 5或 B. 5 C. D. 4
12. 若方程 用配方法可配成
的形式，则直线 不经过( )
C
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
13. 若， ，则
， 的大小关系为( )
C
A. B. C. D.
返回
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤
形如 (x + m)2 = n (n≥0)
将方程转化为(x + m)2 = n
(n≥0)的形式，在用直接开平
方法，直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方

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