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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.2.3公式法第二章一元二次方程2.1第1课时一元二次方程精讲讲义（含知识点+例题+习题）本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。一、一元二次方程的定义（核心考点）1.严格定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。2.定义三要素（缺一不可，考试判断依据）①一元：只含1个未知数（常见为x）；②二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x；③整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。3.常见排除易错方程（快速辨析） $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。二、一元二次方程的一般形式（必考）1.标准一般形式$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$$2.各项名称与系数定义①$$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数；②$$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数；③$$c$$：常数项。3.关键限制条件a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。4.三种特殊形式（仍属于一元二次方程）①$$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$）②$$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$）③$$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0）三、方程化为一般形式步骤（满分模板）1.去分母、去括号；2.移项：将所有项移至等式左边，右边化为0；3.合并同类项；4.整理为$$x^2$$在前、$$x$$居中、常数项最后的标准形式。例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！四、一元二次方程的解（根）1.定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。2.考点题型已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。五、根据实际问题列一元二次方程1.列方程步骤①审题，设未知数；②找等量关系；③列整式方程；④整理为一般形式。2.基础例题一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。解：原边长5，新边长$$5+x$$，得$$(x+5)^2=36$$，整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。六、本节高频易错点汇总1.判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0；2.系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号；3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a\neq0$$；4.分式、根式方程一定不是一元二次方程。七、同步基础习题（含答案）1.下列是一元二次方程的是（）A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$答案：B2.方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。答案：3、-4、13.将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。答案：$$x^2-3x+5=0$$4.已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。答案：-32.1.2一元二次方程的解及其估算本课时承接一元二次方程的基础定义，核心掌握一元二次方程解的概念、根的代入应用、整体代换求值，重点掌握**夹值法估算方程近似解**，是中考基础填空、选择、探究题型的高频考点，为后续精准解方程、方程应用奠定基础。一、一元二次方程的解（根）进阶知识点1.核心定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。重要区别：一元方程的解也可称为根；多元方程只能叫解，不能叫根。2.一元二次方程根的个数特征一元二次方程在实数范围内：可能有两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根（后续判别式详细讲解）。区别于一元一次方程：一元一次方程有且只有一个解。3.根的核心用法（必考）若$$x=m$$是方程$$ax^2+bx+c=0$$的根，则直接代入得：$$\boldsymbol{am^2+bm+c=0}$$，用于求参数、代数式求值。经典例题1（参数求值）已知$$x=-1$$是一元二次方程$$x^2+kx-2=0$$的根，求$$k$$的值。解：将$$x=-1$$代入方程：$$(-1)^2+k\cdot(-1)-2=0$$$$1-k-2=0$$，解得$$k=-1$$。经典例题2（代数式整体求值拔高）已知$$m$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的根，求$$m^2-2m+3$$的值。解：由题意得：$$m^2-2m-1=0$$，即$$m^2-2m=1$$。整体代入：原式$$=1+3=4$$。解题技巧：遇根不求未知数，优先整体代换，简化计算。二、一元二次方程的近似解（夹值估算法）1.估算原理对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，设代数式$$y=ax^2+bx+c$$。当$$y$$的值由正变负或由负变正时，正负之间对应的x取值范围内，一定存在方程的实数根。2.标准估算步骤（满分模板）①列表取值：选取合适的整数x，计算对应代数式y的值；②锁定区间：找到$$y$$正负切换的两个相邻整数，确定根的取值范围；③逼近精确：在区间内继续取值，无限靠近$$y=0$$，得到近似解。3.经典例题（夹值法实操）利用估算方法，确定方程$$x^2-2x-2=0$$的正数根的大致范围。解：设$$y=x^2-2x-2$$当$$x=2$$时，$$y=4-4-2=-2<0$$当$$x=3$$时，$$y=9-6-2=1>0$$∴方程的正数根在$$\boldsymbol{2\sim3}$$之间。进一步估算：当$$x=2.7$$，$$y=-0.11$$；当$$x=2.8$$，$$y=0.24$$∴方程近似解约为$$2.7$$。三、本节核心易错点汇总1.代入根计算时，负数代入必须加括号，避免平方、符号出错；2.一元二次方程一定是最多两个实数根，不可能三个及以上；3.夹值估算核心：正负异号之间必有根，同号区间无根；4.代数式求值优先整体代换，不强行解出未知数。四、同步课时习题（含答案解析）1.已知$$x=3$$是方程$$x^2-ax+3=0$$的根，则$$a=$$____。答案：4解析：代入得$$9-3a+3=0$$，解得$$a=4$$。2.已知$$n$$是方程$$x^2+3x-1=0$$的根，则$$n^2+3n=$$____。答案：1解析：整体代换，直接得$$n^2+3n=1$$。3.根据表格判断方程$$x^2+3x-5=0$$的一个近似根的范围是（）$$x=1，y=-1；\ x=2，y=5$$A. $$x<1$$ B. $$1<x<2$$ C. $$x>2$$ D.无解答案：B4.方程$$x^2-4x+1=0$$的根的范围大致在____和____之间。答案：0和1或3和4（写出一组即可）2.2直接开平方法与配方法(1)本课时是一元二次方程第一种核心解法，重点掌握直接开平方法的适用题型、解题步骤，循序渐进推导配方法的核心原理，是后续公式法、解方程综合题型的基础，必考基础计算题。一、直接开平方法1.适用方程形式（核心判定）可化为$$\boldsymbol{x^2=p}$$或$$\boldsymbol{(mx+n)^2=p\ (m\neq0)}$$的一元二次方程，无需展开整理，直接开平方求解。2.根的判定规则（必背）①当$$\boldsymbol{p&gt;0}$$时，方程有两个不相等的实数根：$$x=\pm\sqrt{p}$$；②当$$\boldsymbol{p=0}$$时，方程有两个相等的实数根：$$x_1=x_2=0$$；③当$$\boldsymbol{p<0}$$时，方程无实数根（平方数非负）。3.标准解题步骤（满分模板）①移项整理：将方程化为完全平方式等于常数的标准形式；②两边开平方：切记右边必须加正负号；③解出两个一元一次方程，得到两个实数根；④整理化简根的结果。4.基础例题精讲例1解方程：$$x^2-9=0$$解：移项得：$$x^2=9$$开平方得：$$x=\pm3$$∴ $$x_1=3,\ x_2=-3$$例2解方程：$$(x-2)^2=16$$解：开平方得：$$x-2=\pm4$$$$x-2=4$$或$$x-2=-4$$∴ $$x_1=6,\ x_2=-2$$例3无解题型：解方程$$(x+1)^2=-2$$解：∵平方数恒非负，$$-2<0$$，∴方程无实数根。二、配方法（第一课时：基础配方）1.配方核心原理利用完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，将二次二项式补成完全平方式。2.二次项系数为1的配方口诀（必考）一次项系数一半方，加上即可配平方对于$$x^2+bx$$，只需加上$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$，即可配方：$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$$3.纯代数式配方例题例4对$$x^2-6x$$配方解：一次项系数$$-6$$，一半为$$-3$$，平方为9$$x^2-6x=(x^2-6x+9)-9=(x-3)^2-9$$例5对$$x^2+4x+1$$配方解：$$x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2)^2-3$$三、简单方程配方法求解（基础入门）本课时只要求掌握：二次项系数为1的一元二次方程配方求解。1.解题步骤①移项：常数项移到等式右边；②配方：左边加一次项系数一半的平方，右边同步加（等式性质）；③左边写成完全平方，右边合并常数；④直接开平方法求解。2.完整例题例6用配方法解方程：$$x^2-4x-5=0$$解：移项：$$x^2-4x=5$$配方：两边加$$2^2=4$$$$x^2-4x+4=5+4$$整理：$$(x-2)^2=9$$开方：$$x-2=\pm3$$解得：$$x_1=5,\ x_2=-1$$四、本节高频易错点1.直接开平方法勿忘正负号，只写一个根直接扣分；2.平方等于负数，直接判定无实数根；3.配方时等式两边必须同时加，只加左边、不加右边是最常见错误；4.配方只针对二次项系数为1的式子，系数不为1需先提系数（下课时讲解）。五、同步基础习题（含答案）1.解方程$$x^2-25=0$$答案：$$x_1=5,\ x_2=-5$$2.解方程$$(x+3)^2=4$$答案：$$x_1=-1,\ x_2=-5$$3.对$$x^2-8x$$配方需加的常数是____。答案：164.配方法解方程$$x^2+2x-3=0$$答案：$$x_1=1,\ x_2=-3$$2.2直接开平方法与配方法(2)进阶配方法本课时为配方法进阶核心内容，专门攻克二次项系数不为1的一元二次方程配方求解，是考试必考计算题型，也是后续推导求根公式的基础。承接上课时二次项系数为1的基础配方，完善配方法完整解题体系。一、进阶配方核心前提上课时：仅适用于$$x^2+bx+c=0$$（二次项系数为1）本课时：适用于$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq1,a\neq0)$$核心口诀：系数不为1，先提再配方二、二次项系数不为1标准满分步骤1.化系数为1：方程两边同时除以二次项系数$$a$$；2.移项：常数项移到等式右侧；3.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方；4.整理平方：左边写成完全平方式，右侧合并常数；5.开方求解：直接开平方法解出两根。三、经典例题精讲（必考题型）例题1用配方法解方程：$$2x^2-4x-6=0$$解：①二次项系数化为1，两边同除以2：$$x^2-2x-3=0$$②移项：$$x^2-2x=3$$③配方：两边加$$1^2=1$$$$x^2-2x+1=3+1$$④整理：$$(x-1)^2=4$$⑤开方：$$x-1=\pm2$$解得：$$x_1=3,\ x_2=-1$$例题2用配方法解方程：$$3x^2+6x-9=0$$解：同除以3：$$x^2+2x-3=0$$移项：$$x^2+2x=3$$配方：$$x^2+2x+1=3+1$$整理：$$(x+1)^2=4$$开方求解：$$x_1=1,\ x_2=-3$$拔高例题（系数非整数、易错）例题3用配方法解方程：$$2x^2+5x+1=0$$解：两边同除以2：$$x^2+\frac52x+\frac12=0$$移项：$$x^2+\frac52x=-\frac12$$配方：一次项系数$$\frac52$$，一半为$$\frac54$$，平方$$\frac{25}{16}$$$$x^2+\frac52x+\frac{25}{16}=-\frac12+\frac{25}{16}$$整理：$$\left(x+\frac54\right)^2=\frac{17}{16}$$开方：$$x+\frac54=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$$最终根：$$x_1=\frac{-5+\sqrt{17}}{4},\quad x_2=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$$四、配方法完整通用公式（所有方程适用）对任意$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$口诀：除系数、移常数、半方配、同加减、开方解五、本节致命易错点（考试高频扣分点）1.忘记先除二次项系数：系数不为1直接配方，全盘错误；2.除以系数时，常数项一定要除尽，漏除常数是高频错误；3.分数系数配方时，一次项系数一半必须算对，平方通分无误；4.配方必须左右两边同时加常数，严格遵守等式性质。六、同步进阶习题（含答案）1.用配方法解方程$$2x^2-8x+2=0$$答案：$$x_1=2+\sqrt3,\ x_2=2-\sqrt3$$2.用配方法解方程$$3x^2-6x=0$$答案：$$x_1=0,\ x_2=2$$3.配方法解方程$$2x^2+3x-2=0$$答案：$$x_1=\frac12,\ x_2=-2$$4.方程$$4x^2-4x-1=0$$配方后完全平方式为____。答案：$$\left(x-\frac12\right)^2=\frac12$$2.2.3公式法本节课基于配方法推导一元二次方程求根公式，是解一元二次方程的万能通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程。重点掌握根的判别式、求根公式、标准解题步骤，是中考计算题、根的情况判断题的核心必考考点。一、求根公式推导（由配方法得出）对一元二次方程一般形式：$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$$推导过程：1.二次项系数化为1：$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$2.移项：$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$3.配方：两边加一次项系数一半的平方$$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$4.左边配方、右边通分整理：$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$5.开平方可得最终公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac\ge0)$$二、根的判别式（核心必考）1.判别式定义记$$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$$，叫做一元二次方程的根的判别式。2.判别式三种情况（必背）①$$\boldsymbol{\Delta>0}$$：方程有两个不相等的实数根；②$$\boldsymbol{\Delta=0}$$：方程有两个相等的实数根$$x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$$；③$$\boldsymbol{\Delta<0}$$：方程无实数根。三、求根公式（万能公式）当$$\Delta\ge0$$时：$$\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$四、公式法标准满分解题步骤1.化一般式：整理为$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$；2.找系数：准确找出$$a、b、c$$（带正负号）；3.算判别式：计算$$\Delta=b^2-4ac$$，判断根的情况；4.代入公式：将$$a,b,\Delta$$代入求根公式；5.化简结果：约分、化简二次根式，写出两根。五、经典例题精讲1. a、b、c必须带符号，负数系数直接代入极易错；2. $$-b$$不要漏负号，b为负数时整体变正；3.未算$$\Delta$$直接代入公式，若$$\Delta<0$$无实根；4.分母是$$2a$$，不要漏写2；5.结果能约分必须约分，根式必须化为最简二次根式。七、同步课时习题（含答案）1.解方程$$x^2+2x-3=0$$答案：$$x_1=1,\ x_2=-3$$2.解方程$$2x^2-7x+3=0$$答案：$$x_1=3,\ x_2=\frac12$$3.方程$$x^2-2x+2=0$$根的情况？答案：$$\Delta=-4<0$$，无实数根4.解方程$$3x^2-2x-1=0$$答案：$$x_1=1,\ x_2=-\frac13$$八、四大解法择优总结（考试提速必背）①能开平方→直接开平方法；②能因式分解→因式分解法（下节课）（最快）；③复杂、不能分解→公式法（万能通用）；④题目指定配方→必须用配方法。1. 经历求根公式的推导过程.（难点）
2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3. 理解并会求一元二次方程根的判别式.
4. 会用判别式判断一元二次方程根的情况.
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
一、移常数项；
二、配方[配上 ]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = .
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？
探究点1：用公式法解一元二次方程
【合作探究】
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多.
解：方程两边都除以 a，得
移项，得
配方，得
问题：接下来能用直接开平方解吗？
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？
探究点1：用公式法解一元二次方程
因为 a ≠ 0，所以 4a2＞0.
当 b2 - 4ac≥0 时， 是一个非负数，
此时两边开平方，得
即
探究点1：用公式法解一元二次方程
求根公式：
【归纳总结】
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的前提是：
注意：
1. 必须是一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
探究点1：用公式法解一元二次方程
例1 解方程.
（1）x2 - 7x - 18 = 0
解：这里 a = 1，b = -7，c = -18，
因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121＞0.
即 x1 = 9，x2 = -2.
所以
探究点1：用公式法解一元二次方程
解：将原方程化为一般式：
4x2 - 4x + 1 = 0.
即
这里 a、b、c 的值分别是什么？
（2）4x2 + 1 = 4x.
这里 a = 4，b = -4，c = 1，
因为 b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0.
所以
探究点1：用公式法解一元二次方程
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根.
【要点归纳】
探究点1：用公式法解一元二次方程
(1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
原方程无实数根.
(x - 1)2 = -2
当 b2 - 4ac＜0 时，
∴ 此时方程无实数根.
探究点2：一元二次方程根的判别式
尝试·思考
两个不等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 4ac 来判定。我们把 b2 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。
b2 4ac ＞ 0
b2 4ac = 0
b2 4ac ＜ 0
Δ ≥ 0
【归纳总结】
判别式的情况
Δ ＞ 0
Δ = 0
Δ ＜ 0
根的情况
探究点2：一元二次方程根的判别式
根的情况
0
5
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不等的实数根
Δ
【填一填】
根的判别式使用方法
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定 a，b，c 的值.
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
探究点2：一元二次方程根的判别式
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0
C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0
解析：由题知，方程有两个不相等的实数根，
则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0，
即 (-2) + 4k > 0，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B.
B
探究点2：一元二次方程根的判别式
【练一练】1.不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) 3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1) 这里 a = 3，b = 4，c = -3。
(2) 将原方程化为一般形式，得 4x2 - 12x + 9 = 0，
因为 b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
因为 b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 = 0，
所以方程有两个相等的实数根．
探究点2：一元二次方程根的判别式
(3) 7y = 5(y2 + 1).
(3) 将原方程化为一般形式，得
5y2 - 7y + 5 = 0。
因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0.
所以方程无实数根．
探究点2：一元二次方程根的判别式
2.用公式法解下列方程：
(1) x2 4x 7 = 0；
所以
解：这里 a = 1，b = 4，c = 7。
因为 b2－4ac = ( 4)2－4×1×( 7) = 44＞0.
即
探究点2：一元二次方程根的判别式
(2) 2x2 x + 1 = 0；
解：这里 a = 2，b = ，c = 1。
因为 b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0，
所以
即 x1 = x2 = 。
探究点2：一元二次方程根的判别式
(3) 5x2－3x = x + 1；
这里 a = 5，b = －4，c = －1。
因为 b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
解： 将原方程化为一般形式，得
5x2－4x－1 = 0。
即
所以
探究点2：一元二次方程根的判别式
(4) x2 + 17 = 8x.
所以方程没有实数根。
这里 a = 1，b = 8，c = 17。
因为 b2 4ac = ( 8)2 4×1×17 = 4＜0。
解：将原方程化为一般形式，得
x2－8x + 17 = 0。
探究点2：一元二次方程根的判别式
知识点1 一元二次方程的求根公式
1. 一元二次方程 在用求根公式
求解时,,, 的值分别是( )
D
A. 3,, B. ,,3 C. ,3,1 D. ,3,
2. 下列一元二次方程的根是
的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
知识点2 用公式法解一元二次方程
3. 用公式法解方程 ，得到方程的两根为
，，且，则 的值是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 有一个正数，与1的和乘与1的差仍得，则 ( )
B
A. B.
C. D. 或
【点拨】由题意，得 ，整理得
，
.又， .
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5. 用公式法解下列方程：
（1） ；
【解】这里,, .
，
.
， .
（2） ；
整理，得 .
这里,, .
，
.
， .
（3） ；
整理，得 .
这里，， .
，
.
， .
（4） .
整理,得 .
这里,, .
，
.
, .
返回
知识点3 一元二次方程的根的判别式
6. [2025安徽] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是
( )
D
A. B.
C. D.
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7. 若关于的方程 有两个实
数根，则 的化简结果是( )
B
A. 1 B. C. D.
解题支架
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8. 已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数
的值可以是____________________（写出一个符合条件的
值即可）.
2（答案不唯一）
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9. 已知关于 的一元二次方程
（1）求证：不论 为何值时，方程总有实数根；
【证明】 ，
不论 为何值时，方程总有实数根.
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，则当该平行四
边形是菱形时，求菱形的边长.
【解】 菱形的一组邻边相等，
由题意，方程有两个相等的实数根，
.
，此时方程为，解得 ，
菱形的边长为2.
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10. 若一元二次方程 的两个实数根中较小的
一个根是，则 ( )
D
A. B. C. D.
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公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
根的判别式 b2 - 4ac

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