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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.2.4因式分解法第二章一元二次方程2.2.4因式分解法专项练习题（北师大版九年级）因式分解法是解一元二次方程最快、最常用的解题方法，核心原理：若$$ab=0$$，则$$a=0$$或$$b=0$$。常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式，适用于可快速因式分解的一元二次方程，是中考计算高频考点。以下为分层专项练习，涵盖基础计算题、易错题、提升题型，配套完整答案解析。一、基础过关练习（直接因式分解）利用提公因式法解方程，适合含公因式的方程，是最基础的必考题型。1. $$x^2-4x=0$$ 2. $$3x^2+6x=0$$ 3. $$x(x-2)=3(x-2)$$答案解析：1.提公因式得$$x(x-4)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$；2.提公因式得$$3x(x+2)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=-2$$；3.移项整理$$(x-2)(x-3)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$。易错提醒：切忌直接两边约分$$(x-2)$$，会丢失根$$x=2$$。二、公式法因式分解（平方差、完全平方）熟练运用两大公式：平方差$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$、完全平方$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$。1. $$x^2-9=0$$ 2. $$x^2-6x+9=0$$ 3. $$4x^2-1=0$$答案解析：1.平方差分解$$(x+3)(x-3)=0$$，根为$$x_1=3，x_2=-3$$；2.完全平方分解$$(x-3)^2=0$$，方程有两个相等实数根$$x_1=x_2=3$$；3.平方差分解$$(2x+1)(2x-1)=0$$，根为$$x_1=\frac12，x_2=-\frac12$$。三、中档提升题型（需整理一般形式）此类题目需先整理为标准形式，再因式分解，是考试主流题型，重点考察综合运算能力。1. $$x^2-3x+2=0$$ 2. $$2x^2-5x+2=0$$ 3. $$(x+1)^2=2x+2$$答案解析：1.十字相乘分解$$(x-1)(x-2)=0$$，解得$$x_1=1，x_2=2$$；2.十字相乘分解$$(2x-1)(x-2)=0$$，解得$$x_1=\frac12，x_2=2$$；3.整理得$$(x+1)(x-1)=0$$，解得$$x_1=-1，x_2=1$$。四、核心解题总结与易错点因式分解法解题通用步骤：先移项（右边化为0）、再分解（提公因式/公式/十字相乘）、后求解（令每个因式为0）。相较于配方法、公式法，计算量最小、速度最快，优先用于可分解的方程。高频易错点：随意约分丢根、分解不彻底、未整理一般形式直接分解，做题需严格按步骤运算，规避扣分点。1. 理解用因式分解解方程的依据.
2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．
你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t - 5t 。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？
设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，
于是可得方程 15t - 5t = 0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t = 15t，
所以 t = 3。
两边都约去 5t，得
他们做得对吗？为什么？
小颖
小明
√
×
t = 0
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
小亮
即 5t(t - 3) = 0，
于是 t = 0，或 t - 3 = 0。
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
因式分解
两个因式乘积为 0，说明什么？
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
他做得对吗 为什么
你是怎么做的
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
例1 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2.
解：(1) 原方程可变形为
x = 0 或 5x - 4 = 0.
∴ x1 = 0，x2 = .
x(5x - 4) = 0.
5x2 - 4x = 0，
(2) 原方程可变形为
x - 2 = 0 或 x - 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 1.
(x - 2)(x - 1) = 0.
x(x - 2) - (x - 2) = 0.
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
【练一练】1. 解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
即 x1 = 1，x2 = 4．
解：(1) 移项，得 (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
左边分解因式，得 (x + 1)(x 4) = 0.
于是 x + 1 = 0，或 x 4 = 0，
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
(2) x2 6x + 9 = (5 2x)2．
解：方程整理，得 (x 3)2 (5 2x)2 = 0，
左边分解因式，得
[(x 3) + (5 2x)][(x 3) (5 2x)] = 0，
于是 2 x = 0，或 3x 8 = 0，
即 x1 = 2，x2 = .
即 (2 x)(3x 8) = 0.
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法因式分解
运算法则：
x2 + (p + q)x + pq
= (x + p)(x + q)
条件：
1. 多项式为二次三项式；
2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的___等于一次项系数.
和
【拓展】
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
例2 解方程：x2 5x + 6 = 0.
x2 5x + 6 ；
解：分解因式，得 (x 2)(x 3) = 0 .
·
×
-2
-3
2x + ( 3)x = -5x
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
即 x1 = 2，x2 = 3.
于是 x 2 = 0，或 x 3 = 0，
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
x2 + 4x 5 = 0.
用因式分解的十字相乘法解题较快.
解：分解因式，得 (x + 5)(x 1) = 0，
即 x1 = 5，x2 = 1．
2. 解方程：
【练一练】
于是 x + 5 = 0，或 x 1 = 0，
探究点1：用因式分解法解一元二次方程
操作·思考
解下列方程： x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0，
x2 + 2x - 3 = 0，x2 - 6x + 8 = 0。
因式分解法解 x2 - 4 = 0
解： x2 - 4 = 0 可变形为
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0.
∴ x1 = -2，x2 = 2 .
(x + 2)(x - 2) = 0.
直接开方法解 x2 - 4 = 0
解：移项，得
x2 = 4
直接开平方，得
x = ±2
∴ x1 = -2，x2 = 2.
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
∴ x1 = -6，x2 = 4.
(x + 6)(x - 4) = 0.
解：分解因式，得
[(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0.
(x + 1)2 - 25 = 0
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0.
因式分解法
直接开方法
解：移项，得
(x + 1)2 = 25
直接开平方，得
x + 1 = ±5
∴ x1 = -6，x2 = 4.
x + 1 = -5或x + 1 = 5
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
x2 + 2x - 3 = 0
∴ x1 = -3，x2 = 1.
解：分解因式，得
(x + 3)(x - 1) = 0.
x + 3 = 0 或 x - 1 = 0.
因式分解法
配方法
解：移项，得 x2 + 2x = 3.
配方，得 (x + 1)2 = 4.
由此可得
x + 1 = ±2，
∴ x1 = -3，x2 = 1.
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
x2 - 6x + 8 = 0
∴ x1 = 2，x2 = 4.
解：分解因式，得
(x - 2)(x - 4) = 0.
x - 2 = 0 或 x - 4 = 0.
因式分解法
公式法
解：这里 a = 1，b = 6，c = 1.
∵ b2-4ac = ( 6)2 -4×1×8 = 4.
∴ x1 = 2，x2 = 4.
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边含公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0，x2 =
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
解：配方，得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，
x2 =
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法.
解：整理成一般形式，得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵b2 - 4ac = 28 > 0，
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
一元二次方程的解法选择基本思路：
化成一般形式
ax2 + bx + c = 0
直接开平方法
因式分解法
b＝0，ax2 + c = 0
是
容易因式分解
c＝0，ax2 + bx = 0
否
公式法或配方法
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据
1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( )
A
A. 化为或
B. 化为或
C. 化为或
D. 化为
返回
2. 若的两根分别是 与5,则多
项式 可以分解为( )
C
A. B.
C. D.
返回
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
3. 方程 的解是( )
D
A. B.
C. , D. ,
4. 用因式分解法解方程 ,若将左边分解后有一
个因式是,则 的值是( )
B
A. B. 1 C. D. 5
返回
5. 已知，，则 的值为
___.
3
当题目中出现两个方程（含两个未知数）时，优先
用“代入消元”法将方程转化为只含一个未知数的方程，再求
解.注意本题中由，可得，隐含了 的限
制，解出结果后需验证是否符合隐含条件.
. .
返回
6.用因式分解法解下列方程：
（1） ；
【解】原方程可变形为 ，
，
即 ，
, .
（2） .
原方程可变形为 .
.
或 ，
解得， .
返回
知识点3 用适当的方法解一元二次方程
7. 解下列方程：; ;
; .用较简便的
方法依次是( )
A
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法
D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
返回
8.用合适的方法解下列方程：
（1） ；
【解】, ,
.
（2） ；
， ，
， ，
， .
（3） ；
，， ，
.
，
， .
（4） .
， ，
，
或 ，
， .
解一元二次方程时，通常根据方程的特征选择简便
的方法.一般情况下，我们选择解法的顺序为：直接开平方法
因式分解法 公式法 配方法.
返回
因式分解
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).

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