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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.3一元二次方程的根与系数的关系第二章一元二次方程2.3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数$$a、b、c$$求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。一、韦达定理核心公式（必背）对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$$，当$$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$时有两个实数根$$x_1、x_2$$，则：$$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$$$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$重要前提：必须保证方程有实数根，即$$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。二、两种特殊情况1.简化方程：$$x^2+px+q=0$$$$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$2.常数项为0：$$ax^2+bx=0$$两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$三、常见代数式变形（考试必考）不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点：1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$四、经典例题精讲例1基础求值已知方程$$x^2-4x+2=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1+x_2、x_1x_2$$。解：$$a=1,b=-4,c=2$$$$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$例2代数式整体代换（高频）同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$例3已知一根求参数已知方程$$x^2+kx-6=0$$有一个根为2，求另一根和$$k$$的值。解：设另一根为$$x_2$$由$$x_1x_2=-6$$得：$$2\cdot x_2=-6$$，得$$x_2=-3$$由$$x_1+x_2=-k$$得：$$2+(-3)=-k$$，得$$k=1$$例4构造一元二次方程已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$方程：$$x^2-x-6=0$$五、考试满分解题步骤1.写出$$a、b、c$$；2.计算$$\Delta$$，验证有实数根；3.代入韦达定理求出$$x_1+x_2、x_1x_2$$；4.对所求式子变形，整体代入计算结果。六、本节致命易错点1.两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号；2.不判断$$\Delta$$直接用公式，无实根时题目无解；3.代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方；4.参数题最后一定要回代检验判别式。七、同步专项练习题（含答案）1.方程$$x^2-5x+3=0$$，则$$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。答案：5，32.已知$$x^2-3x-1=0$$，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。答案：$$-3$$3.方程$$2x^2+mx-4=0$$一根为1，求另一根与$$m$$。答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$4.两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。答案：$$x^2-3x-4=0$$1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，方程无实数根.
由前面的学习我们知道，如果
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)，
那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根，
x = x1，x = x2。
反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
(1) 2x - 3x + 1 = 0 的两根为 x1 = ，x2 = 1，那么
2x - 3x + 1 和 2(x - )(x - 1) 相等吗？
换几个一元二次方程再试一试。
2(x - )(x - 1) = 2(x - x - x + ) = 2(x - x + )
= 2x - 3x + 1
相等。
【合作探究】
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论.
①方程 x - 5x + 6 = 0；
②方程 3x - 7x + 2 = 0.
求根：x1 = 2，x2 = 3.
因式分解：
(x 2)(x 3) = x - 5x + 6，
与原多项式相等。
求根：x1 = ，x2 = 2.
因式分解：
3(x )(x 2) = 3x - 7x + 2，与原多项式相等。
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
(2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)是否一定成立？与同伴进行交流。
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)。
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
思考 · 交流
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。
事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，而a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ，
所以
b = - a(x1 + x2)，
c = ax1x2
能证明它们为什么成立吗？
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
所以 x1＋x2＝
因为 x1＝ ，x2＝ .
x1·x2＝
＝ .
于是
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个实数根 x1，x2 ，那么
由此我们可以得到一元二次方程的根与系数的关系：
【归纳总结】
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 + 7x + 6 = 0；
解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 .
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25＞0.
所以方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6.
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
(2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
x1 + x2 = ， x1 x2 = -1.
解：这里 a = 2，b = –3， c = -2.
Δ = b2 4ac = ( 3)2 – 4×2×( 2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k + 120，则 k 是任意数. 设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【知识拓展】常见的求值式子如下：
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) (x1 - x2)2 = .
4
1
14
12
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
【练一练】
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( )
A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 2025
A
x12-x1-2026=0
x12 -2026= x1
x13-2026x1+x22
x1(x12-2026)+x22
x12+x22
(x1+x2)2-2x1x2
x2-x-2026=0
x1+x2=1，x1x2 =-2026
4053
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1. 若一元二次方程的两个实数根为， ，
则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 关于的方程（ 为常数）的根的
情况，下列结论中正确的是( )
C
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
【点拨】化简关于的方程
（为常数），得 ，
， 方程有两个不
相等的实数根.根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为
， 方程有一个正根，一个负根，故选C.
返回
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
3. [2025河北] 若一元二次方程 的两根之和
与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位
于( )
C
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
返回
4.[2025泸州] 若一元二次方程的两根为 ,
，则 的值为____.
10
【点拨】 一元二次方程的两根为 , ，
， .
返回
5.已知 ， 是方程 的两根，不解方程，求
下列代数式的值：
【解】 ， 是方程 的两根，
， .
（1） ；
.
（2） ；
.
（3） .
,
或 .
返回
知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值
6. 若关于的一元二次方程的两根为, ，
且，则 的值为( )
A
A. B. C. D. 6
返回
7.已知关于的一元二次方程 有两个实
数根， .
（1）求 的取值范围；
【解】 关于的一元二次方程 有两个
实数根， ，
，解得 .
（2）若，求 的值.
,
.
, ，
，解得 .
返回
8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次
方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的
两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因
而得到方程的两个根是和 ，则原来的方程是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】设原来的方程为 ，由题
知，,， ，
原来的方程为.当 时，
方程为 .故选B.
返回
9. 已知关于的一元二次方程 .下列
说法中正确的有( )
①若，则方程 有一个根是1；
②若方程的两根为和2，则有 成立；
③若是方程的一个根，则有
成立；
④若方程的两根为， ，且满足
，则方程，必有实根， .
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】当时，， 方程
有一个根是1，正确，故①符合要求； 方
程的两根为和2，，即 ，正确，故
②符合要求；是方程 的一个根，
，即 ，
，， ，正确，故③符合要求；
方程的两根为， ，且满足
，， ，
， ，即可得出方程
，必有实根， ，故④符合要求.故选D.
返回
10. 若，，则 的值等
于________.
2或
一元二次方程的根与系数的关系
内 容
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 ，那么
应 用
……

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