资源简介

(共31张PPT)
北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题第二章一元二次方程2.3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数$$a、b、c$$求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。一、韦达定理核心公式（必背）对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$$，当$$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$时有两个实数根$$x_1、x_2$$，则：$$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$$$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$重要前提：必须保证方程有实数根，即$$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。二、两种特殊情况1.简化方程：$$x^2+px+q=0$$$$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$2.常数项为0：$$ax^2+bx=0$$两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$三、常见代数式变形（考试必考）不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点：1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$四、经典例题精讲例1基础求值已知方程$$x^2-4x+2=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1+x_2、x_1x_2$$。解：$$a=1,b=-4,c=2$$$$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$例2代数式整体代换（高频）同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$例3已知一根求参数已知方程$$x^2+kx-6=0$$有一个根为2，求另一根和$$k$$的值。解：设另一根为$$x_2$$由$$x_1x_2=-6$$得：$$2\cdot x_2=-6$$，得$$x_2=-3$$由$$x_1+x_2=-k$$得：$$2+(-3)=-k$$，得$$k=1$$例4构造一元二次方程已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$方程：$$x^2-x-6=0$$五、考试满分解题步骤1.写出$$a、b、c$$；2.计算$$\Delta$$，验证有实数根；3.代入韦达定理求出$$x_1+x_2、x_1x_2$$；4.对所求式子变形，整体代入计算结果。六、本节致命易错点1.两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号；2.不判断$$\Delta$$直接用公式，无实根时题目无解；3.代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方；4.参数题最后一定要回代检验判别式。七、同步专项练习题（含答案）1.方程$$x^2-5x+3=0$$，则$$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。答案：5，32.已知$$x^2-3x-1=0$$，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。答案：$$-3$$3.方程$$2x^2+mx-4=0$$一根为1，求另一根与$$m$$。答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$4.两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。答案：$$x^2-3x-4=0$$2.4.1一元二次方程综合应用：行程（动点）问题及平均变化率问题本节是一元二次方程最难、最压轴的应用题型，分为两大模块：几何动点行程问题、平均变化率（增长/降低）问题。两类题型均需结合题意列方程、取舍根，是单元测试、期中期末必考压轴题。一、模块一平均变化率问题（必考公式模型）1.核心通用公式（直接背诵）设：初始量为$$a$$，变化率（增长率/降低率）为$$x$$，变化次数为2，最终量为$$b$$。连续两次增长：$$\boldsymbol{a(1+x)^2=b}$$连续两次降低：$$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$2.关键易错点①变化率$$x$$为正数，求出负根直接舍去；②看清题意：是“两次相同变化”，不可分开列式；③区分：一次变化用$$a(1\pm x)$$，两次变化必须平方。3.经典例题某商店进价商品原价100元，经过两次连续涨价后售价为121元，若两次涨价百分率相同，求涨价百分率。解：设每次涨价百分率为$$x$$。列方程：$$100(1+x)^2=121$$解得：$$(1+x)^2=1.21$$，$$1+x=\pm1.1$$$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（舍去）答：涨价百分率为10%。4.专项练习题某口罩厂二月份产量50万只，四月份产量72万只，二、四月月平均增长率相同，求月平均增长率。答案：20%二、模块二几何动点行程问题（压轴难点）1.题型核心思路点在图形边上匀速运动，设运动时间为$$t$$（秒），用含$$t$$的代数式表示动点移动的路程、图形边长，结合面积、勾股定理列一元二次方程求解。2.万能解题步骤①设：运动时间为$$t\ \mathrm{s}(t>0)$$；②表：用速度×时间，表示动点线段长度；③列：根据面积公式或勾股定理列方程；④解：解一元二次方程；⑤验：根据点的运动范围取舍根（超时长、负数舍去）。3.经典面积动点例题（高频）如图，在Rt△ABC中，$$\angle B=90^\circ$$，$$AB=8\mathrm{cm}$$，$$BC=6\mathrm{cm}$$。点P从A向B以1cm/s运动，点Q从B向C以2cm/s运动，两点同时出发，求几秒后，△PBQ的面积为5cm ？解：设$$t$$秒后面积为5cm 。$$AP=t,\ PB=8-t,\ BQ=2t$$三角形面积：$$\dfrac12(8-t)\cdot2t=5$$整理得：$$t^2-8t+5=0$$解得：$$t_1=4-\sqrt{11},\ t_2=4+\sqrt{11}$$（超出运动范围，舍去）答：$$(4-\sqrt{11})$$秒后面积为5cm 。4.勾股定理动点例题（距离问题）承接上图，求几秒后P、Q两点距离为$$2\sqrt5\ \mathrm{cm}$$？解：由勾股定理：$$PB^2+BQ^2=PQ^2$$$$(8-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt5)^2$$整理：$$5t^2-16t+44=0$$，验证$$\Delta<0$$，无实数根。答：不存在这样的时间。三、本节核心总结与取舍规则1.平均变化率：认准两次平方模型，负根一律舍去；2.动点问题：所有边长必须为正数，时间$$t>0$$，且不能超过点的最大运动时间；3.无解情况：$$\Delta<0$$，说明题目条件无法实现；4.答题必写检验步骤，否则压轴题扣分。四、综合真题练习某小区房价2023年均价4000元/㎡，2025年均价4840元/㎡，求两年平均增长率。答案：10%直角三角形两直角边为6、8，动点分别从直角顶点出发，速度1、2单位/s，求几秒后围成小三角形面积为原面积的四分之一。答案：2s1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（重点、难点）
2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．（难点）
解得 x1 = ， x2 = .
(x + 6)2 + 72 = 102.
（舍）
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
10 m
8 m
1 m
x m
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
10 m
8 m
x m
x m
(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得
(8 - x)2 + (6 + x)2 = 102
解得 x1 = 0 ， x2 = 2.
（舍）
答：梯子顶端下滑 2 m.
x2 - 2x = 0
(2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？
解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得
(12 - x)2 + (5 + x)2 = 132，
解得 x1 = 0 (舍)，x2 = 7.
13 m
12 m
x m
x m
x2 - 7x = 0
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰
沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一
艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向
匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
东
北
A
B
C
D
F
E
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
小岛 D 与小岛 F 相距多少海里？
解：连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，
∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = AB，
∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile，
∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile.
东
北
A
B
C
D
F
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 n mile)？
E
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile.
东
北
A
B
C
D
F
E
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300 - 2x)2.
解这个方程得 ，
(不合题意，舍去).
整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0，
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为 64 cm2？
A
B
C
D
Q
P
(6 - t)
2t
【针对训练】
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
解：设所需时间为 t s，根据题意，得
2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64.
整理得 t2 - 6t + 8 = 0.
解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 .
答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2.
A
B
C
D
Q
P
(6 - t)
2t
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元.
下降率 x
第一次降低前的量
5000(1 - x)
5000
下降率 x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1 - x)(1 - x)
5000(1 - x)2
5000(1 - x)
5000(1 - x)2
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
×100％
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.
解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得
5 000 (1 - x)2 = 4050，
解方程，得
x1 = 0.1，x2 = 1.9.
根据问题的实际意义，取 x = 0.1，
即甲种药品成本的年平均下降率为 10％.
注意
下降率不可为负，且不大于1.
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？
解：设平均增长率为 x. 根据题意，得
答：平均增长率为 50％.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％.
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？
若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n = b (其中增长取“+”，下降取“-”).
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率.
解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得
6000(1 y)2 = 3600
解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，取 y≈0.225，
即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％.
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
类型1 几何图形问题
1. [2026深圳期中] 一个面积为 的长方形场地一边利用
现有的墙（墙长），另三边用 的铁丝网围成，则这
个长方形场地的周长是( )
B
A. B.
C. 或 D. 不能确定
【点拨】如图，设与墙垂直的边长为 ，则与墙平行的边
长为，由题意得, ，解得
，.当时， ；当
时， ，不合题意舍去.
所以周长为 .所以这个长方形场地的周长
为 .
返回
（第2题）
2.如图所示的是一张长、宽 的
矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和
两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）
可制成底面积是 的有盖的长方体铁
盒.则剪去的正方形的边长为___ .
2
返回
（第3题）
3. 如图，一块正方形地砖的图案是由4个全
等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正
方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线
段的长度为 ，则这块地砖的面积为
____.
40
【点拨】如图，连接小正方形的两条对角线，
设与交于点.根据题意易知，点 为正
方形、正方形 的中心，
，即 ，
，.设正方形的边长为 ，
则 ，
,解得
.， 或
，
，
.
返回
4. 某科研单位准备将院内一块长、宽 的矩形空
地 ，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平
行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段
小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草.
（1）如图①，要使种植花草的面积为 ，求小道进出
口的宽度.
【解】设小道进出口的宽度为 ，
依题意，得 ，
整理，得，解得, .
，不符合题意，舍去， .
故小道进出口的宽度应为 .
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图②所
示，,,, 均为全等的直角三角形，
其中，设 ，
竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为 ，且竖向
道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于 和
之间.
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有 的代数式表示）；
剩余的种植花草区域的面积 .
②若种植花草区域的建造成本是100元/ ，建造花草区域的
总成本为42 000元，求 的值.
根据题意，得 ，解得
， （不符合题意，舍去）.
故 的值为14.
平移法是列一元二次方程解面积类应用题常用的方
法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一
个规则的图形，通过面积关系列一元二次方程求解.
返回
利用一元二
次方程
解决行程问题
列方程步骤：
应用类型
行程问题
平均变化率
问题
面积问题
动点问题
审
设
列
解
检
答

展开更多......

收起↑