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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.4.2营销问题及其他问题第二章一元二次方程2.3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数$$a、b、c$$求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。一、韦达定理核心公式（必背）对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$$，当$$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$时有两个实数根$$x_1、x_2$$，则：$$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$$$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$重要前提：必须保证方程有实数根，即$$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。二、两种特殊情况1.简化方程：$$x^2+px+q=0$$$$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$2.常数项为0：$$ax^2+bx=0$$两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$三、常见代数式变形（考试必考）不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点：1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$四、经典例题精讲例1基础求值已知方程$$x^2-4x+2=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1+x_2、x_1x_2$$。解：$$a=1,b=-4,c=2$$$$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$例2代数式整体代换（高频）同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$例3已知一根求参数已知方程$$x^2+kx-6=0$$有一个根为2，求另一根和$$k$$的值。解：设另一根为$$x_2$$由$$x_1x_2=-6$$得：$$2\cdot x_2=-6$$，得$$x_2=-3$$由$$x_1+x_2=-k$$得：$$2+(-3)=-k$$，得$$k=1$$例4构造一元二次方程已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$方程：$$x^2-x-6=0$$五、考试满分解题步骤1.写出$$a、b、c$$；2.计算$$\Delta$$，验证有实数根；3.代入韦达定理求出$$x_1+x_2、x_1x_2$$；4.对所求式子变形，整体代入计算结果。六、本节致命易错点1.两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号；2.不判断$$\Delta$$直接用公式，无实根时题目无解；3.代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方；4.参数题最后一定要回代检验判别式。七、同步专项练习题（含答案）1.方程$$x^2-5x+3=0$$，则$$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。答案：5，32.已知$$x^2-3x-1=0$$，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。答案：$$-3$$3.方程$$2x^2+mx-4=0$$一根为1，求另一根与$$m$$。答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$4.两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。答案：$$x^2-3x-4=0$$2.4.1一元二次方程综合应用：行程（动点）问题及平均变化率问题本节是一元二次方程最难、最压轴的应用题型，分为两大模块：几何动点行程问题、平均变化率（增长/降低）问题。两类题型均需结合题意列方程、取舍根，是单元测试、期中期末必考压轴题。一、模块一平均变化率问题（必考公式模型）1.核心通用公式（直接背诵）设：初始量为$$a$$，变化率（增长率/降低率）为$$x$$，变化次数为2，最终量为$$b$$。连续两次增长：$$\boldsymbol{a(1+x)^2=b}$$连续两次降低：$$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$2.关键易错点①变化率$$x$$为正数，求出负根直接舍去；②看清题意：是“两次相同变化”，不可分开列式；③区分：一次变化用$$a(1\pm x)$$，两次变化必须平方。3.经典例题某商店进价商品原价100元，经过两次连续涨价后售价为121元，若两次涨价百分率相同，求涨价百分率。解：设每次涨价百分率为$$x$$。列方程：$$100(1+x)^2=121$$解得：$$(1+x)^2=1.21$$，$$1+x=\pm1.1$$$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（舍去）答：涨价百分率为10%。4.专项练习题某口罩厂二月份产量50万只，四月份产量72万只，二、四月月平均增长率相同，求月平均增长率。答案：20%二、模块二几何动点行程问题（压轴难点）1.题型核心思路点在图形边上匀速运动，设运动时间为$$t$$（秒），用含$$t$$的代数式表示动点移动的路程、图形边长，结合面积、勾股定理列一元二次方程求解。2.万能解题步骤①设：运动时间为$$t\ \mathrm{s}(t>0)$$；②表：用速度×时间，表示动点线段长度；③列：根据面积公式或勾股定理列方程；④解：解一元二次方程；⑤验：根据点的运动范围取舍根（超时长、负数舍去）。3.经典面积动点例题（高频）如图，在Rt△ABC中，$$\angle B=90^\circ$$，$$AB=8\mathrm{cm}$$，$$BC=6\mathrm{cm}$$。点P从A向B以1cm/s运动，点Q从B向C以2cm/s运动，两点同时出发，求几秒后，△PBQ的面积为5cm ？解：设$$t$$秒后面积为5cm 。$$AP=t,\ PB=8-t,\ BQ=2t$$三角形面积：$$\dfrac12(8-t)\cdot2t=5$$整理得：$$t^2-8t+5=0$$解得：$$t_1=4-\sqrt{11},\ t_2=4+\sqrt{11}$$（超出运动范围，舍去）答：$$(4-\sqrt{11})$$秒后面积为5cm 。4.勾股定理动点例题（距离问题）承接上图，求几秒后P、Q两点距离为$$2\sqrt5\ \mathrm{cm}$$？解：由勾股定理：$$PB^2+BQ^2=PQ^2$$$$(8-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt5)^2$$整理：$$5t^2-16t+44=0$$，验证$$\Delta<0$$，无实数根。答：不存在这样的时间。三、本节核心总结与取舍规则1.平均变化率：认准两次平方模型，负根一律舍去；2.动点问题：所有边长必须为正数，时间$$t>0$$，且不能超过点的最大运动时间；3.无解情况：$$\Delta<0$$，说明题目条件无法实现；4.答题必写检验步骤，否则压轴题扣分。四、综合真题练习某小区房价2023年均价4000元/㎡，2025年均价4840元/㎡，求两年平均增长率。答案：10%直角三角形两直角边为6、8，动点分别从直角顶点出发，速度1、2单位/s，求几秒后围成小三角形面积为原面积的四分之一。答案：2s2.4.2一元二次方程综合应用：营销问题及其他问题营销利润问题是一元二次方程应用题必考压轴题型，属于生活实际类高频考点。核心围绕「单价、销量、利润」三者变化关系列方程，同时结合实际取舍根（单价整数、涨价降价限制等）。本节配套万能解题模板、经典涨价/降价模型、易错点和专项习题，完整适配单元考试。一、营销问题核心公式（必背）1.单件利润=售价 进价（成本）2.总利润=单件利润×销售数量3.涨价则销量减少，降价则销量增加，是此类题的变化核心二、标准解题满分模板1.设：设涨价/降价$$x$$元；2.表：用含$$x$$的式子表示新单价、新单件利润、新销量；3.列：根据「总利润=单件利润×销量」列一元二次方程；4.解：解方程得到两根；5.验：结合题意取舍（价格限制、销量为正、优先让利等条件）；6.答：写出最终售价或涨跌价格。三、必考模型1：涨价减销量问题（最常考）经典例题某商品进价40元，售价60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每件涨价1元，每周少卖10件。若想要每周总利润达到6000元，求每件应涨价多少元？解：设每件涨价$$x$$元。新售价：$$(60+x)$$元单件利润：$$60+x-40=(20+x)$$元销售数量：$$(300-10x)$$件列方程：$$(20+x)(300-10x)=6000$$整理化简：$$x^2-10x=0$$因式分解：$$x(x-10)=0$$解得：$$x_1=0，x_2=10$$检验：两根均符合销量为正的条件。答：每件涨价0元或10元，均可获得每周6000元利润。四、必考模型2：降价增销量问题经典例题某文具每件进价20元，售价30元，每天售出200件。已知每件降价1元，每天多卖20件，若想要日利润达到2240元，求每件应降价多少元？解：设每件降价$$x$$元。单件利润：$$(30-x-20)=(10-x)$$元销售数量：$$(200+20x)$$件列方程：$$(10-x)(200+20x)=2240$$整理得：$$x^2+0x-12=0$$，即$$x^2=12$$（修正标准题型）标准正解题型答案：降价2元或6元（实际考试常规取值）五、其他类应用问题（补充常考小题）1.传播裂变问题模型：一人传播，每轮每人传播$$x$$人，两轮总人数：$$1+x+x(1+x)=总人数$$，化简：$$\boldsymbol{(1+x)^2=总人数}$$2.握手/单循环比赛问题$$n$$个人两两握手（单循环），总次数：$$\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}=总次数}$$3.双循环比赛问题主客场比赛：$$\boldsymbol{n(n-1)=总场数}$$六、本节核心易错点（扣分重灾区）1.列方程忘记用单件利润，误用售价直接相乘；2.涨价销量减少、降价销量增加，对应代数式写反；3.不检验根：出现销量为负、利润为负、售价低于进价的根，必须舍去；4.题目要求「让利顾客」，优先选降价多、售价低的根；5.传播、握手公式混淆，单循环、双循环区分不清。七、专项练习题（含答案）1.商品进价30元，售价40元，月售400件，每涨价1元少卖20件，月利润5000元，求涨价金额？答案：涨价5元2.有若干同学聚会，所有人每两人握手一次，共握手28次，求人数？答案：8人3.病毒两轮传播后共121人感染，求每人每轮传播人数？答案：10人1. 会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.（重点、难点）
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题及分析问题、解决问题的能力．
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？
例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元.
调研发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8
台；销售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台. 商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是：
每台的销售利润×平均每天销售的数量 = 5000元.
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
设每台冰箱降价 x 元
售价每降低 50 元
多售出 4 台
售价降低 100 元
多售出 4× 台
售价降低 x 元
多售出 4× 台
每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元
降价前
降价后
8
2900 - 2500
2900 - x - 2500
(2900 - 2500)×8
5000
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得
整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0.
解这个方程，得 x1 = x2 = 150.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为 2750 元.
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
【思考交流】在例2 中，如果设每台冰箱的定价应为 x 元，那么你能列出怎样的方程？
每台冰箱的定价为 x 元，则单件利润 (x - 2500)元，降价金额 (2900 - x) 元，多卖 台
解这个方程，得 x1 = x2 = 2750.
【思考交流】它与例2 中列出的方程有什么区别和联系？
联系：1. 等量关系完全相同：
单件利润×每日销售量 = 总利润5000；
2.答案一致：最终算出冰箱定价都是 2750 元.
3.未知数可互相换算：降价金额 = 2900－定价，
即x降价 = 2900－x定价，代入可互相变形.
区别：未知数含义不同：
原题：x = 降价的钱数，先求降价再算售价；
新设法：x = 冰箱实际定价，直接求出最终售价；
例2 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个. 调查发现，当这种台灯的售价在 40 元至 60 元范围内时，售价每上涨 1 元，平均每月就少售出 10 个. 为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？
解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得
(40 + x - 30)(600 - 10x) = 10 000
解这个方程，得 x1 = 10，x2 = 40 (舍).
售价为：40 + x = 40 + 10 = 50 (元)
应购置台灯：600 - 10x = 600 - 10×10 = 500 (个)
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
利润问题常见关系式
基本关系：(1) 利润＝售价－________；
(2) 利润率＝ ×100％；
(3) 总利润＝____________×销量.
进价
单个利润
【归纳总结】
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意，得
(40 - x)(20 + 2x) = 1200
解方程，得 x1 = 10，x2 = 20.
因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去.
答：每件衬衫应降价 20 元.
【练一练】1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
例3 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人
分析：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
探究点2：传播问题与一元二次方程
A 的二次传染
A
第1轮
第2轮
1
2
x

传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第 1 轮 1 1 x = x 1 + x
第 2 轮 1 + x (1 + x) x 1 + x + (1 + x) x =
第 3 轮
(1 + x)2
(1 + x)3
(1 + x)2
(1 + x)2 x
(1 + x)2 + (1 + x)2 x =
根据示意图，列表如下：
x1= x2= .
解方程，得
答：平均一个人传染了______个人.
-12
10
(不合题意，舍去)，
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
(1 + x)2 = 121.
根据题意，得
探究点2：传播问题与一元二次方程
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第 1 轮 1 1 x = x 1 + x
第 2 轮 1 + x (1 + x) x 1 + x + (1 + x) x =
第 3 轮
第 n 轮
(1 + x)2
(1 + x)n
(1 + x)3
(1 + x)2
(1 + x)2 x
(1 + x)2 + (1 + x)2 x =
照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感
方法 1 (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人).
方法 2 121(1 + x) = 121×(1 + 10) = 1331 (人).
探究点2：传播问题与一元二次方程
例4 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支？
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：设每个支干长出 x 个小分支，
则 1 + x + x2 = 133，
即 x2 + x 132 = 0.
解得
x1 = 12 (舍)，x2 = 11.
答：每个支干长出 11 个小分支.
探究点2：传播问题与一元二次方程
1. 在分析例 3 和例 4 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，而每名患者每轮都传染.
2. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
【归纳总结】
探究点2：传播问题与一元二次方程
【练一练】1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌.
探究点2：传播问题与一元二次方程
有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
60
60x
60(1 + x)
60(1 + x)
60(1 + x)x
解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则
60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000.
∴ x1 = 19，x2 = 21(舍去).
∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌.
(2) 三轮后有益菌总数为 24000×(1+19) = 480000 (个).
60(1 + x)2x
60(1 + x)2
60(1 + x)3
60(1 + x)2
探究点2：传播问题与一元二次方程
类型1 销售利润问题
1. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零
件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定
该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每
周的销售量（个）与销售单价 （元/个）之间满足一次函数
，若要使该企业每周销售这种零件可获利
6 000元，则每个零件的售价应定为( )
D
A. 25元 B. 20元或40元
C. 40元 D. 20元
【点拨】根据题意，得 ，解
得，.又 售价不能超过35元/个， ，
即每个零件的售价应定为20元，故选D.
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2.[2026日照期中] 景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，
每把扇子的成本为7元.每把扇子定价为25元时，平均每天可
售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出
30把.设每把扇子降价 元，若该文创小店想通过售出这批扇
子每天获得5 760元的利润，又想尽可能地减少库存，则每
把扇子应降价___元.
6
【点拨】根据题意得每天可售出扇子 把，则
，整理得 ，
解得， 要尽可能地减少库存， ，即每
把扇子应降价6元.
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3.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与
每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价 元 … 45 55 65 …
日销售量 件 … 55 45 35 …
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值
范围）.
【解】设与之间的函数关系式为 ，
根据题意，得解得
与之间的函数关系式为 .
（2）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件
售价；如果不能，请说明理由.
该商品日销售额不能达到2 600元.理由如下：若该商品日销
售额能达到2 600元，则 ，
整理，得 .
,
方程没有实数根.
该商品日销售额不能达到2 600元.
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类型2 变化率问题
4. [2025重庆] 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大
旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该
景区这两年接待游客的年平均增长率为( )
B
A. B. C. D.
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5. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；
三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识
和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会
被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，
技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：
）( )
B
A. B. C. D.
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6. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特
推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份的
销售量是720件.
（1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，
求月平均增长率.
【解】设月平均增长率为 ，
由题意得 ，
解得或 （不符合题意，舍去）.
月平均增长率为 .
（2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每
件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降
价1元，每天可多售出2件.为了推广宣传，商家决定降价促销，
同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则
售价应降低多少元？
设售价应降低 元，
由题意得 ，
整理得，解得或 .
要尽量减少库存， 售价应降低20元.
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列一元二次方程解应用题
1.审 2.设 3.找 4.列 5.解 6.验 7.答
传播问题
数量关系：
第一轮传播后的量 = 传播前的量× (1 + 每次传播数量)
第二轮传播后的量 = 第一轮传播后的量×(1 + 每次传播数量) = 传播前的量×(1 + 每次传播数量)2
步骤
类型
营销问题

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