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第1章 特殊平行四边形
1.2 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
【学习目标】
1. 探索并证明菱形的性质定理；
2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
3. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法；
学习重点：探索并证明菱形的性质定理.
学习难点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.
【复习导入】
问题1：我们之前学行四边形，它有哪些共同性质？
问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形？
【合作探究】
探究点: 菱形的性质
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
问题 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
证一证
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD.
知识要点：
菱形的性质
几何语言描述：
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
归纳总结：
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
典例精析
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，
BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长.
例2 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
练一练
1. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
2. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　)
A. 2.4 cm B. 4.8 cm
C. 5 cm D. 9.6 cm
当堂反馈
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝1，则菱形ABCD的周长为　 　；
(2)若∠DAB＝60°，则∠BAC＝　 　°，△ABD是　 　三角形；
(3)若AC＝8，BD＝6，则AB＝　 　，菱形ABCD的面积为　 　；
(4)在(3)的条件下，取AD的中点E，连接OE，则OE的长度为　 　.
2.如图，BD是菱形ABCD的对角线.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若∠1＝20°，求∠C的度数.
3.如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10.
计算：(1)对角线BD的长度.
(2)菱形ABCD的面积.
参考答案
探究点: 菱形的性质
证一证
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，
∵OB = OD，
∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD.
证一证
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，
∵OB = OD，
∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD.
例1 解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = AD(菱形的四条边相等)，
AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)，
OB = OD = BD = ×6 =3 (菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴ AB = BD = 6.
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OA2 + OB2 = AB2，
(2) 菱形 ABCD 的面积= △ABD 的面积 +△CBD 的面积= 2×△ABD 的面积
=2× BD =2× ×6×3√3 =18√3.
例2 证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.
∴AO＝BE.
练一练 1. 6 cm 2. B
当堂反馈
1. (1)　4　； (2)　30　°，　等边　；
(3)　5　，　24　； (4)　2.5　.
2.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.∴∠1＝∠2.
(2)解：由(1)知，∠1＝∠2＝20°，
∴∠A＝180°－∠1－∠2＝140°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝140°.
3.解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC＝AC＝5，BE＝DE＝BD.
∵菱形的边长为13，
∴AB＝13.在Rt△ABE中，BE＝＝＝12，∴BD＝2BE＝24.
(2)∵AC＝10，BD＝24，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×10×24＝120.

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