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第3章 图形的相似
3.3 相似三角形判定定理的证明
第2课时 相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1.了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力，会证明相似三角形判定定理．
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，使学生获得数学猜想经验，激发学生探索知识的兴趣．
学习重点：掌握相似三角形的三个判定定理
学习难点：证明过程中辅助线的添加.
【复习导入】
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
【合作探究】
探究点1：证明相似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'．
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在 △ABC与△A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，.
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
探究点2：相似三角形判定定理的运用
[典例精析]
例1 如图，∠ABD =∠C，AD = 2，AC = 8，求AB.
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．
练一练
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；
(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；
(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .
当堂反馈
1.如图，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中能判定△ABC∽△ACD的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知△ABC的三边长为1，，2，在下列给定条件中，△DEF与△ABC不一定相似的是(　　)
A.DE＝2，EF＝4，DF＝2
B.∠D＝30°，∠E＝90°
C.DE＝2，EF＝4，∠E＝60°
D.DE＝2，EF＝2，∠F＝30°
3.如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是(　　)
A.①和③ B.②和③
C.②和④ D.①和④
4.如图，AB，CD相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件
是　 　(只需写一个).
5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)∠A＝35°，∠B'＝55°：　　；
(2)AC＝3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8：　　；
(3)AB＝10，AC＝8，A'B'＝25，B'C'＝10：　　.
6.如图，在△ABC和△ADE中，＝＝.求证：
(1)∠BAD＝∠CAE.
(2)△BAD∽△CAE.
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，DE，且∠BEC＝∠CDB.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若＝，求的值.
参考答案
【合作探究】
探究点1：证明相似三角形的判定定理
定理1：
证明：在 的边 （或它的延长线） 上截取 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，则 ，，.（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
过点 作 的平行线，交 于点 ，则 （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.
.，，
四边形 是平行四边形.
而 ，，，
，，
，
定理2：
证明：在的边 （或它的延长线）上截取，过点作的平行线，交于点，
则，，
（两角分别相等的两个三角形相似）.
，，
而 ，
定理3：
证明：在 的边 ， （或它们的延长线），
上分别截取 ，，连接 。
，，，
。而 。
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
。又，，
. .
. ， .
例1解：，，
。
。
。
，，
。
例2
解析：，，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
① 当 时，有 ，
即 ，解得 ；
② 当 时，有 ，
即 ，解得 ；
当 的长为 或 时，
这两个直角三角形相似．
练一练
(1) 相似 (21) 相似 (3) 相似
当堂反馈
1.　C　2.　D　3.　A　4.　∠A＝∠C(答案不唯一)　
5.(1)　相似　；
(2)　相似　；
(3)　不相似　.
6.证明：(1)在△ABC和△ADE中，＝＝，
∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)∵＝，即＝，
又∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE.
7.(1)证明：∵∠AEC＋∠BEC＝180°，∠ADB＋∠CDB＝180°，且∠BEC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠AEC.
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.
(2)解：∵△ABD∽△ACE，
∴＝.∴＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.∴＝＝，即的值为.

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