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第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
【学习目标】
1.理解并掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质．
2.通过观察、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑推理能力和探究精神．
3.体会从特殊到一般的数学思想方法，感受数学知识的内在联系．
学习重点：相似三角形对应线段比与相似比的关系的探究与应用.
学习难点：综合运用相似三角形的性质与判定解决实际问题.
【复习导入】
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何元素？
【情境导入】
如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
【合作探究】
探究点：相似三角形中的对应线段之比
[思考·交流]
(1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流.
(2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由.
如图，已知，，分别为对应边，上的高，。那么 吗？
已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应角的角平分线，求证：
已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应边上的中线，求证：
[归纳总结]
[典例精析]
例1 如图，，，. 点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上. 若与的距离是，求点到直线的距离.
练一练
△ABC∽△A1B1C1，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知，B1D1 = 4 cm，
则BD = cm.
2. △ABC∽△A1B1C1，AD和A1D1是BC和B1C1边上的高，已知AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm，则△ABC与△A1B1C1的对应高之比为 .
议一议
如图，已知 △ABC ∽ △A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上.
若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'，则等于多少？
若 BE = BC，B'E' = B'C'，则等于多少？
(3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流.
[典例精析]
例1 如图，AD是△ABC的高，AD = H，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR = BC 时，求DE的长. 如果SR = BC 呢？
当堂反馈
1.已知△ABC∽△A'B'C'，＝，AB边上的中线CD＝4cm，则A'B'边上的中线C'D'的长为　　cm.
2.已知△ABC∽△A'B'C'，AD是△ABC的中线，A'D'是△A'B'C'的中线.若＝，且△A'B'C'的高A'E'为20cm，则△ABC的高AE为　　cm.
3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是3cm和2cm，如果它们对应的两条角平分线的和为15cm，那么这两条角平分线的长分别是　 　.
4.已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝2.5cm，BC＝8cm，DF＝5cm.
(1)求△ABC和△DEF的相似比；
(2)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG∶DH；
(3)若△ABC中∠C的平分线长为a，求△DEF中∠F的平分线长.
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12，求GH的长.
参考答案
【情境导入】
解：∵，∴，。
又. ∴。∴。
∵，∴
【合作探究】
探究点：相似三角形中的对应线段之比
[思考·交流]
(1) 解：，
，
，，
，
(2) 高：
解：如图，分别作出 和 的高 和 ，则。
，。
。。
中线：
证明：，
，．
又 ， 分别为对应边的中线，
，． ．
． ．
角平分线:
证明：，
，。
又、分别为对应角的角平分线，
。
。。
例1
解 因为，所以.
如图，过点作，垂足为点D.
设交的延长线于点，
因此，.
由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得
又 ，，，
于是 ，因此 .
即点 到直线 的距离是 .
练一练 1. 6 2. 2 : 3
[操作·思考]
证明：，
，
，，
例2
解：，，
，。
（两角分别相等的两个三角形相似）
（相似三角形对应高的比等于相似比）.即 .
当 时，得 . 解得 .
当 时，得 .解得 .
当堂反馈
1.　6　. 2.　10　. 3.　9cm，6cm　.
4.解：(1)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE＝5∶2.5＝2.
(2)AG∶DH＝2∶1.
(3)△DEF中∠F的平分线长为a.
5.解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AH⊥DE，
即AH，AG分别为△ABC，△ADE的高.
∴＝，即＝.
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.

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