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第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形的周长和面积之比
【学习目标】
1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系．
2.能用三角形的性质解决简单的问题．
3.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．
学习重点：相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系
学习难点：相似三角形的性质与运用.
【复习导入】
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
【合作探究】
探究点1：相似三角形周长比与面积比
问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
与 (2) 的相似比=______， (1) 与 (3) 的相似比=______，
(1)与 (2) 的周长比=______， (1) 与 (3) 的周长比=______，
(1)与 (2) 的面积比=______； (1) 与 (3) 的面积比=______.
[尝试·思考]
如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？
证一证
如果△ABC的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？
【归纳总结】
[典例精析]
例1 如图，在中，，，，求。
练一练
已知△ABC与△A′B′C′的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1 : 9，周长的比为______ .
知识点2：相似多边形的周长比与面积比
两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？
做一做
如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形A2B2C2D2，相似比为k.
四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
连接相应的对角线A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与 △A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？
(3)= ，= .
(4)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？
[典例精析]
例2 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC的面积的一半. 已知BC = 2，求△ABC平移的距离.
例3 如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100 cm2，且，求四边形BCDE的面积.
练一练
3. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
当堂反馈
1.已知两个相似三角形的相似比为2∶3，较小三角形的面积为2，则较大三角形的面积为(　　)
A.3 B.4 C.4.5 D.9
2.如图，△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝2.若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为(　　)
A.6 B. C.12 D.18
3.已知△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积为(　　)
A.1.5cm2 B.3cm2
C.12cm2 D.24cm2
4.如果两个相似三角形的面积之比是9∶25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是　　cm.
5.如图，△ADE∽△ACB，且＝.若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　　.
6.如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD与AE相交于点F.
(1)求△BEF与△DAF的周长之比；
(2)若S△BEF＝6cm2，求S△DAF的值.
7.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
参考答案
【合作探究】
探究点1：相似三角形周长比与面积比
问题：　1∶2　；　1∶3　；1∶2　；　1∶3　；1∶4　；　1∶9　．
猜一猜：
相似三角形的周长比等于相似比，=k．
相似三角形的面积比等于相似比的平方，=k2.
证一证
解：如图，由已知，得 ，
。
分别作出 和 的高 和 。
。 。
。
例1
解：，。
又，。
，即。
，
。。
练一练 1. 2 : 3 4 : 9 2. 1 : 3
探究点2：相似多边形的周长比与面积比
做一做
(1) ==k．
(2)△A1B1C1与△A2B2C2相似，相似比为k．△A1C1D1与△A2C2D2相似，相似比为k．
(3) k2 k2
(4) ==k2.
思考：周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
当堂反馈
1.C　
2.　C　
3.　D
4.　20　
5.　　
6.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠EBF＝∠ADF.
又∵∠BFE＝∠DFA，∴△BEF∽△DAF.
∵BE＝CE，∴BE＝BC＝AD.即＝.
∴△BEF与△DAF的周长之比为.
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为，
∴＝()2＝.
∵S△BEF＝6cm2，
∴S△DAF＝4×6＝24(cm2).
7.
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点.
∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，＝.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ADB.
∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2＝()2＝.
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴＝.∴S△ABD＝8.

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