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第3章 图形的相似
3.5 图形的位似
第1课时 位似多边形及其性质
【学习目标】
1.理解位似图形的定义及相关性质．
2.理解相似图形与位似图形的联系与区别．
3.初步了解能利用图形的位似将一个图形放大或缩小的理论依据．
学习重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
学习难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
【复习导入】
下图由一组形状相同的图片组成. 在图片 ① 和图片 ② 上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？
【合作探究】
探究点1：位似图形的概念
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
问题2：下图是两个相似五边形，设直线 AA′ 与 BB′ 相交于点 O，那么直线 CC′，DD′，EE′ 是否也都经过点O？
有什么关系？
[概念学习]
如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′ = k· OP (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比.
当 k＞0 时，点 P′ 在射线 OP 上，
当 k＜0 时，点 P′ 在射线 OP 的反向延长线上.
特别地，点 O 对应到它自身.
上图每组中的两个五边形就是位似五边形.
[归纳总结]
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：
一是这两个图形是相似的，
二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
练一练
1. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( )
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E 是对应点
D. AE : AD 是相似比
探究点2：位似图形的性质
从右图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则，AB∥A′B′. 左图呢？你得到了什么？
归纳：
练一练
2. 如图，五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E' 是位似图形，点 O 为位似中心，
OB＝OB'，那么A'B'∶AB＝ .
3. 若两个位似图形的对应线段长分别为 3 和 5，且较小图形周长为 30，则较大图形周长为 .
4.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积是原正六边形面积的 ，已知原正六边形边长为 3，那么缩小后的正六边形边长为 .
知识点3：位似多边形的画法
【典例精析】
例1 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为2.
做一做
利用下面的方法可以近似地将个图形放大：
1. 将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点.
2. 选取一个图形，在图形外取一个定点.
3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端.
4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同.
请你用这种方法把一个已知图形放大.
【典例精析】
例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 .
【归纳总结】
当堂反馈
1.在下面的四个图形中，位似图形的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
则＝　 　.
3.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O位似，BO＝3，B'O＝6.
(1)若AC＝5，则A'C'的长为　　；
(2)若△ABC的面积为7，则△A'B'C'的面积为　　.
4.如图，DE∥AB，CE＝2BE，则△ABC与△DEC是以点　　为位似中心的位似图形，其相似比为　　.
5.[作图通关]找出下列图形的位似中心.
参考答案
【合作探究】
探究点1：位似图形的概念
练一练
1. D 2. 3. 50 4.
例1
解：画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC 上分别取点 D，E，F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与 △ABC 位似，相似比为 2.
画法二：△ABC 与 △DEF 异侧
解：画射线 OA，OB，OC；沿着射线OA，OB，OC 反方向上分别取点 D，E，F，
OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；
顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与△ABC 位似，相似比为 2.
例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 .
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A′ 、B′、C′、D′，使得；
(3) 顺次连接点 A′、B′、C′、D′，所得四边形 A′B′C′D′ 就是所要求的图形．
当堂反馈
1.C　
2.　　
3.(1)　10　；
(2)　28　.
4.　3∶2　.
5.解：如图，位似中心为点O.

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