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第1章 特殊平行四边形
问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形
【学习目标】
1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征.
2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力。
3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识.
学习重点：理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征.
学习难点：经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力.
【复习导入】
问题1：正多边形的特点是什么？
问题2：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
【合作探究】
探究点：作内嵌于正方形的正八边形
问题：(1) 观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？
(2) 它们的位置关系有什么特点？
引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.
理解问题
(1) 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图.
(2) 正八边形有哪些具体特征？
例1 如图，正八边形 ABCDEFGH 内嵌于正方形 MNPQ，正方形边长为 a。
(1) 设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为 x，请用含 x 的式子表示正八边形的边长.
(2) 求 x 的值和正八边形的边长.
例2 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤.
(至少两种方法).
练一练
1. 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有 4 个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹.
当堂反馈
1.若正方形边长为 6，求内嵌正八边形的周长和面积.
2. 当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形. 菱形的内接矩形有哪些不同的情况
参考答案
【复习导入】
问题1：每条边相等，每个内角相等.
问题2：
每个内角的度数是
每个外角的度数是
【合作探究】
探究点：作内嵌于正方形的正八边形
问题： (1) 正方形、正八边形
(2) 正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上.
理解问题
(1)
①正八边形的 8 个顶点都在正方形的边上，每条边 2 个顶点
②正八边形有 4 个顶点在正方形的边中点
(2) 8 条边相等，8 个内角相等，每个内角为 135°，
中心到各顶点距离相等.
例1 解：(1) 等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长，
如图，在Rt△MHA 中，根据勾股定理，AH =
正八边形的边长为
(2) 由 (1) 得，AH = HG = ，
正方形的一条边由两段直角边和段正八边形的边长组成，因此
MP = MH + HG + GP = a， x + + x = a.
化简得 x( 2 + ) = a
正八边形的边长为
例2 方法一：对角线交点法
1.作正方形 ABCD 的两条对角线 AC、BD，交于中心 O.
2.以 A、B、C、D 为圆心，以OA 为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点.
3.顺次连接这 8 个交点，得到正八边形 EFGHIJKL.
方法二：截取等长线段法
1.设正方形边长为 a，
计算得角上等腰直角三角形的直角边长 ；
2. 以 A、B、C、D 为圆心，x 为半径，在每条边上截取两个点.
3. 顺次连接这 8 个点，得到正八边形.
练一练1.
当堂反馈
1.解：由题意分析得，设四个等腰直角三角形的直角边长为 x，则斜边长为 √2x，也就是正八边形的边长.
根据正方形边长可得 x + √2x + x = 6.
x=6 3√2
正八边形的边长为 √2x=6√2 6.
周长为 8×(6√2 6)=48(√2 1)
正八边形的面积为 6×6－4×1/2×(6 3√2)^2=72(√2 1)
2. 情况 1：中心型(最常规）
矩形四边顶点分别落在菱形四条边上，矩形对角线重合于菱形中心，两组对边分别平行于菱形两条对角线，无数个同类型矩形（只要过中心作两组垂线与四边相交即可）.
情况2：顶点贴合型
矩形有 2 个顶点落在菱形顶点上，
剩余 2 个顶点在对边上（受菱形内角限制，
仅特定角度菱形存在.

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