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三、等比数列
导学5　等比数列的前n项和的性质和应用
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
知识点一
知识点一
知识点二
随堂巩固
知识点一　等比数列的前n项和的性质
1. 若数列{an}为公比不为1的等比数列(或公比为－1，但n不是偶
数)，Sn为其前n项和，则Sn， －Sn， ，…仍构成等
比数列.
S3n－S2n　
2. 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝ (n，m∈N*).
Sn＋qnSm　
3. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇
数项和，则：
①在其前2n项中， ＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝
＝ (q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶.
例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…
＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝ .
【解析】 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝ ＝2.
2　
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项
和为341，求这个数列的公比和项数.
解： (2)由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，
∴q＝2，
设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝ ＝341＋170＝511，
解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
(3)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
(3)方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知
得 ②÷①得1＋qn＝ ，即qn＝ ③，
将③代入①得 ＝64，∴S3n＝ ＝64×(1－ )＝63.
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝ ＋S2n＝ ＋60＝63.
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
即60＝48＋48qn，得qn＝ ，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×()2＝63.
[反思感悟]　解决等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含
特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇
＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，解有关的方
程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
知识点二
知识点一
知识点二
随堂巩固
知识点二　等比数列前n项和的实际应用
例2　(1)如图所示，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各
边的中点相连得到第二个正三角形，以此类推，一共画了5个正三角
形，那么这5个正三角形的面积之和为(　D　)
A. 2 B. C. D.
D
【解析】 这5个正三角形的边长an构成等比数列2，1， ， ， ，
∴这五个正三角形的面积之和为 × ＝
× ＝ .
(2)某地响应“绿水青山就是金山银山”的倡议，投入资金进行生态环
境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2024年投入1 000万元，以
后每年投入将比上一年减少 ，当地2024年度旅游业收入约为500万
元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会
比上一年增加 .
①设n年内(2024年为第一年)的总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万
元，写出Sn，Tn的表达式；
②至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
解： ①2024年投入为1 000万元，第n年投入为1 000× 万元，∴n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000× ＋…＋1 000× ＝ ＝5 000× .
2024年度旅游业收入为500万元，第2年收入为500× 万元，第n年收入为500× 万元，
∴n年内旅游业的总收入为Tn＝500＋500× ＋…＋500×
＝ ＝2 000× .
②设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，
则有Tn－Sn＞0，即2 000× －5 000× ＞0，化简
得5× ＋2× －7＞0，设x＝ ，代入上式并整理得5x2－7x
＋2＞0，解得x＜ ，或x＞1(舍去)，即 ＜ ，不等式两边取常用
对数可得nlg ＜lg ，即n＞ ＝ ≈4.1，∴n≥5，至少到
2028年旅游业的总收入才能超过总投入.
[反思感悟]　1.解实际问题的核心是建立数学模型.
2. 解决实际问题的一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
3. 注意实际问题是求什么(n，an，Sn).
随堂巩固
知识点一
知识点二
随堂巩固
1. 在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等
于(　B　)
A. 2n－1 B. C. D.
B
1
2
3
4
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则 的值是(　B　)
A. －4 B. － C. D. 4
B
1
2
3
4
3. 我国古代著作《庄子·天下篇》中提到一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn＞ 成立的正整数n的最小值是(　B　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
1
2
3
4
4. 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，
前3项之积为64，则数列的通项公式an＝ .
12×()n－1　
1
2
3
44.3 导学5　等比数列的前n项和的性质和应用
知识点一　等比数列的前n项和的性质
1. 若数列{an}为公比不为1的等比数列(或公比为－1，但n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，－Sn， ，…仍构成等比数列.
2. 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝ (n，m∈N*).
3. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶.
例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝ .
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，求这个数列的公比和项数.
(3)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
[反思感悟]　解决等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
知识点二　等比数列前n项和的实际应用
例2　(1)如图所示，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，以此类推，一共画了5个正三角形，那么这5个正三角形的面积之和为(　 　)
A. 2 B. C. D.
(2)某地响应“绿水青山就是金山银山”的倡议，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2024年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2024年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
①设n年内(2024年为第一年)的总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
②至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
[反思感悟]　1.解实际问题的核心是建立数学模型.
2.解决实际问题的一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
3.注意实际问题是求什么(n，an，Sn).
1. 在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(　 　)
A. 2n－1 B. C. D.
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　 　)
A. －4 B. － C. D. 4
3. 我国古代著作《庄子·天下篇》中提到一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式
Sn＞成立的正整数n的最小值是(　 　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝ .4.3 导学5　等比数列的前n项和的性质和应用
知识点一　等比数列的前n项和的性质
1. 若数列{an}为公比不为1的等比数列(或公比为－1，但n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，－Sn，　S3n－S2n　，…仍构成等比数列.
2. 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝　Sn＋qnSm　(n，m∈N*).
3. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶.
例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝　2　.
【解析】 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2.
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，求这个数列的公比和项数.
(3)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解： (2)由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，
∴q＝2，
设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
(3)方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝③，
将③代入①得＝64，∴S3n＝＝64×(1－)＝63.
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×()2＝63.
[反思感悟]　解决等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
知识点二　等比数列前n项和的实际应用
例2　(1)如图所示，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，以此类推，一共画了5个正三角形，那么这5个正三角形的面积之和为(　D　)
A. 2 B. C. D.
【解析】 这5个正三角形的边长an构成等比数列2，1，，，，∴这五个正三角形的面积之和为×＝×＝.
(2)某地响应“绿水青山就是金山银山”的倡议，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2024年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2024年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
①设n年内(2024年为第一年)的总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
②至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
解： ①2024年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×万元，∴n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×＝＝
5 000×.
2024年度旅游业收入为500万元，第2年收入为500×万元，第n年收入为500×万元，
∴n年内旅游业的总收入为Tn＝500＋500×＋…＋500×＝＝2 000×.
②设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，
则有Tn－Sn＞0，即2 000×－5 000×＞0，化简得5×＋2×－7＞0，设x＝，代入上式并整理得5x2－7x＋2＞0，解得x＜，或x＞1(舍去)，即＜，不等式两边取常用对数可得nlg ＜lg ，即n＞＝≈4.1，∴n≥5，至少到2028年旅游业的总收入才能超过总投入.
[反思感悟]　1.解实际问题的核心是建立数学模型.
2.解决实际问题的一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
3.注意实际问题是求什么(n，an，Sn).
1. 在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(　B　)
A. 2n－1 B. C. D.
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　B　)
A. －4 B. － C. D. 4
3. 我国古代著作《庄子·天下篇》中提到一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式
Sn＞成立的正整数n的最小值是(　B　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝　12×()n－1　.

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