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5.1 导学2　导数的概念
知识点一　导数的概念
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我们把比值，即＝　　叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
2. 导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处　可导　，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在　x＝x0　处的　导数　(也称为瞬时变化率)，记作　f'(x0)　或　y'　，即f'(x0)＝＝　　.　
例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率.
解： (1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02.
(3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx，∴＝2Δx＋8，故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为＝(2Δx＋8)＝8.
[反思感悟]　求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)然后求得平均变化率＝；
(4)最后求得瞬时变化率.
知识点二　导数定义的应用
例2　(1)若函数f(x)＝x2，则的值为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 ∵f(x)＝x2，∴＝
＝＝(2＋Δx)＝2.
(2)设函数f(x)＝ax＋1，若f'(1)＝2，则a等于(　A　)
A. 2 B. －2 C. 3 D .－3
【解析】 ∵f'(1)＝＝
＝a，且f'(1)＝2，∴a＝2.
[反思感悟]　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限.
知识点三　导数在实际问题中的应用
例3　(1)某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c'(1)与c'(2)，并说明它们的实际意义.
(2)一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝求s'(1)与s'(4)，并解释它们的实际意义.
解： (1)设x＝1时产量的改变量为Δx，则＝＝＝－2Δx＋3，
c'(1)＝＝(－2Δx＋3)＝3，
设x＝2时产量的改变量为Δx，则＝＝＝－2Δx－1，c'(2)＝
＝(－2Δx－1)＝－1.
c'(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
(2)当0≤t＜3时，s(t)＝3t2，＝＝＝6＋3Δt，∴s'(1)＝＝(6＋3Δt)＝6.
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，＝＝＝18＋3Δt，
∴s'(4)＝＝(18＋3Δt)＝18.
s'(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s'(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
[反思感悟]　某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化，但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.
1. 已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s'(4)＝10 m/s表示的意义是(　D　)
A. 经过4 s后物体向前走了10 m
B. 物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C. 物体在第4 s内向前走了10 m
D. 物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s
2. 若函数f(x)可导，则等于(　C　)
A. －2f'(1) B. f'(1) C. －f'(1) D. f'
3. 已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　C　)
A. 4 B. 4x C. 4＋2Δx D. 4＋2(Δx)2
4. 已知函数f(x)＝x2，则f'(1)＝　　.(共21张PPT)
一、导数的概念及其意义
导学2　导数的概念
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
知识点一
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点一　导数的概念
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y
就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝
f(x0＋Δx)－f(x0).我们把比值 ，即 ＝ 　 　叫做函数
y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
　
2. 导数
如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极
限，则称y＝f(x)在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f(x)
在 处的 (也称为瞬时变化率)，记作
或 　y' 　，即f'(x0)＝ ＝ 　 　.　
可导　
x＝x0　
导数　
f'(x0)　
y' 　
　
例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
解： (1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2 －1＝2Δx(2x0
＋Δx)，∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝ ＝4x0＋2Δx.
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(2)由(1)可知 ＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02.
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率.
(3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx，∴ ＝2Δx＋8，故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝
(2Δx＋8)＝8.
[反思感悟]　求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)然后求得平均变化率 ＝ ；
(4)最后求得瞬时变化率 .
知识点二
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点二　导数定义的应用
例2　(1)若函数f(x)＝x2，则 的值为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 ∵f(x)＝x2，∴ ＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.
B
(2)设函数f(x)＝ax＋1，若f'(1)＝2，则a等于(　A　)
A. 2 B. －2 C. 3 　D .－3
【解析】 ∵f'(1)＝ ＝ ＝a，
且f'(1)＝2，∴a＝2.
A
[反思感悟]　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率 ＝ ；
(3)求极限 .
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点三　导数在实际问题中的应用
例3　(1)某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产
量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c'(1)与c'(2)，
并说明它们的实际意义.
(2)一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：
s＝ 求s'(1)与s'(4)，并解释它们的实际意义.
解： (1)设x＝1时产量的改变量为Δx，则 ＝ ＝
＝－2Δx＋3，c'(1)＝ ＝ (－2Δx＋3)＝3，
设x＝2时产量的改变量为Δx，则 ＝ ＝ ＝
－2Δx－1，c'(2)＝ ＝ (－2Δx－1)＝－1.
c'(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获
利3万元；
c'(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
(2)当0≤t＜3时，s(t)＝3t2， ＝ ＝ ＝6＋3Δt，
∴s'(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， ＝ ＝
＝18＋3Δt，
∴s'(4)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
s'(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s'(4)＝18说明
在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
[反思感悟]　某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变
化，但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt
是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.
随堂巩固
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
1. 已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s'(4)＝10 m/s表示的意义是(　D　)
A. 经过4 s后物体向前走了10 m
B. 物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C. 物体在第4 s内向前走了10 m
D. 物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s
D
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2. 若函数f(x)可导，则 等于(　C　)
A. －2f'(1) B. f'(1)
C. － f'(1) D. f'
C
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3. 已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，
－2＋Δy)，则 等于(　C　)
A. 4 B. 4x C. 4＋2Δx D. 4＋2(Δx)2
C
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4. 已知函数f(x)＝ x2，则f'(1)＝ 　 　.
　
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