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二、导数的运算
导学1　基本初等函数的导数
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
1. 几个常用函数的导数
(1)函数f(x)＝c的导数是f'(x)＝ .
(2)函数f(x)＝x的导数是f'(x)＝ .
(3)函数f(x)＝x2的导数是f'(x)＝ .
(4)函数f(x)＝x3的导数是f'(x)＝ .
(5)函数f(x)＝ 的导数是f'(x)＝ 　－ 　.
(6)函数f(x)＝ 的导数是f'(x)＝ 　 　.　
0　
1　
2x　
3x2　
－ 　
　
2. 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f'(x)＝ .
(2)若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f'(x)＝ .　
(3)若f(x)＝ sin x，则f'(x)＝ .
(4)若f(x)＝ cos x，则f'(x)＝ .
(5)若f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝ .特别地，
若f(x)＝ex，则f'(x)＝ .
(6)若f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝ .特别地，
若f(x)＝ln x，则f'(x)＝ .
0　
αxα－1　
cos x　
－ sin x　
axln a　
ex　
　
　
知识点一
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
随堂巩固
知识点一　幂函数的导数
例1　(1)若函数f(x)＝ ，则f'(1)等于(　D　)
A. 0 B. － C. 2 D.
【解析】 ∵f'(x)＝()'＝ ，∴f'(1)＝ .
(2)已知f(x)＝ ，若f'(α)＝－ ，则α＝ .　
【解析】 f'(x)＝－ ，则f'(α)＝－ ＝－ ，解得α＝±2.
D
±2　
(3)设f(x)＝xn＋1(n∈N，n≥1)的图象在点(1，1)处的切线与x轴的交点
的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝ .
【解析】 由f(x)＝xn＋1(n∈N，n≥1)得f'(x)＝(n＋1)xn，
∴f(x)的图象在(1，1)处的切线的斜率为n＋1，切线的方程
为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，解得x＝ ，即xn＝ ，∴x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝ × × ×…× ＝ .
　
(4)求曲线y＝ 在点P(－1，－1)处的切线方程.
解： ∵y'＝－ ，∴曲线在点P(－1，－1)处的切线的斜率为－3，则切
线方程为y＋1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋4＝0.
知识点二
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
随堂巩固
知识点二　基本初等函数的导数
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；
解：(1)y'＝－3x－4.
(2)y＝3x；
解： (2)y'＝3x ln 3.
(3)y＝ ；
解： (3)y＝ ＝ ＝ ，∴y'＝ .
(4)y＝log5x；
解：(4)y'＝ .
(5)y＝ cos (－x)；
解：(5)y＝ sin x，y'＝ cos x.
(6)y＝ln x；
解：(6)y'＝ .
(7)y＝ex.
解：(7)y'＝ex.
[反思感悟]　求简单函数的导函数的两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时先
根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的
求导公式.
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
随堂巩固
知识点三　导数公式的应用
例3　(1)质点沿直线运动的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关
系式是s＝ ，则质点在t＝4 s时的瞬时速度为(　B　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
B
【解析】 ∵s＝ ，∴s'＝ ，∴质点在t＝4 s时的瞬时速度
为 × ＝ × ＝ (m/s).
(2)一个物体的位移y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系式为
y＝t3，则该物体在t＝4 h时的瞬时速度是 km/h.
【解析】 ∵y＝t3，∴y'＝3t2，则yt＝4'　＝3×42＝48，故该物体
在t＝4 h时的瞬时速度是48 km/h.
48　
[反思感悟]　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的
变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
知识点四
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
随堂巩固
知识点四　利用导数公式研究曲线的切线方程
例4　求满足下列条件的直线方程：
(1)过原点且与曲线y＝ln x相切；
解： (1)y'＝ (x＞0)，设切点为(m，ln m)(m＞0)，切线方程为y＝kx，
则k＝ ，∴ln m＝ ·m＝1，解得m＝e，∴所求切线方程为y＝ x.
(2)斜率为e且与曲线y＝ex相切.
(2)∵切线的斜率为e，∴令y'＝ex＝e，得x＝1，则切点为(1，e)，
∴所求切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
[反思感悟]　1. 对于指数、对数函数的导数，最常考查的是y＝ex与
y＝ln x，研究它们图象的切线问题时，应注意数形结合.
2. y＝ex，y＝ln x的导数公式是特例，可以帮助记忆一般的指数、对数
函数的导数公式.
随堂巩固
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
随堂巩固
1. 若f(x)＝ ，则f '(1)等于(　D　)
A. 0 B. － C. 3 D.
D
1
2
3
4
2. 一质点的运动方程为s＝ cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　B　)
A. 2 cos 1 B. － sin 1 C. sin 1 D. 2 sin 1
B
1
2
3
4
3. 曲线y＝ cos x，x∈ 的切线的斜率范围是 .
[－1， 0]　
1
2
3
4
4. 曲线y＝ex在点(0， 1)处的切线方程为 .　
y＝x＋1　
1
2
3
45.2 导学1　基本初等函数的导数
1. 几个常用函数的导数
(1)函数f(x)＝c的导数是f'(x)＝　0　.
(2)函数f(x)＝x的导数是f'(x)＝　1　.
(3)函数f(x)＝x2的导数是f'(x)＝　2x　.
(4)函数f(x)＝x3的导数是f'(x)＝　3x2　.
(5)函数f(x)＝的导数是f'(x)＝　－　.
(6)函数f(x)＝的导数是f'(x)＝　　.　
2. 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f'(x)＝　0　.
(2)若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f'(x)＝　αxα－1　.　
(3)若f(x)＝sin x，则f'(x)＝　cos x　.
(4)若f(x)＝cos x，则f'(x)＝　－sin x　.
(5)若f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝　axln a　.特别地，若f(x)＝ex，则f'(x)＝　ex　.
(6)若f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝　　.特别地，若f(x)＝ln x，则f'(x)＝　　.
知识点一　幂函数的导数
例1　(1)若函数f(x)＝，则f'(1)等于(　D　)
A. 0 B. － C. 2 D.
【解析】 ∵f'(x)＝()'＝，∴f'(1)＝.
(2)已知f(x)＝，若f'(α)＝－，则α＝　±2　.　
【解析】 f'(x)＝－，则f'(α)＝－＝－，解得α＝±2.
(3)设f(x)＝xn＋1(n∈N，n≥1)的图象在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝　　.
【解析】 由f(x)＝xn＋1(n∈N，n≥1)得f'(x)＝(n＋1)xn，∴f(x)的图象在(1，1)处的切线的斜率为n＋1，切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，解得x＝，即xn＝，∴x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝×××…×＝.
(4)求曲线y＝在点P(－1，－1)处的切线方程.
解： ∵y'＝－，∴曲线在点P(－1，－1)处的切线的斜率为－3，则切线方程为y＋1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋4＝0.
知识点二　基本初等函数的导数
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；
解：(1)y'＝－3x－4.
(2)y＝3x；
解： (2)y'＝3x ln 3.
(3)y＝；
解： (3)y＝＝＝，∴y'＝.
(4)y＝log5x；
解：(4)y'＝.
(5)y＝cos(－x)；
解：(5)y＝sin x，y'＝cos x.
(6)y＝ln x；
解：(6)y'＝.
(7)y＝ex.
解：(7)y'＝ex.
[反思感悟]　求简单函数的导函数的两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时先根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
知识点三　导数公式的应用
例3　(1)质点沿直线运动的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系式是s＝，则质点在t＝4 s时的瞬时速度为(　B　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
【解析】 ∵s＝，∴s'＝，∴质点在t＝4 s时的瞬时速度为×＝×＝(m/s).
(2)一个物体的位移y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系式为y＝t3，则该物体在t＝4 h时的瞬时速度是　48　km/h.
【解析】 ∵y＝t3，∴y'＝3t2，则yt＝4'　＝3×42＝48，故该物体在t＝4 h时的瞬时速度是48 km/h.
[反思感悟]　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
知识点四　利用导数公式研究曲线的切线方程
例4　求满足下列条件的直线方程：
(1)过原点且与曲线y＝ln x相切；
(2)斜率为e且与曲线y＝ex相切.
解： (1)y'＝(x＞0)，设切点为(m，ln m)(m＞0)，切线方程为y＝kx，则k＝，∴ln m＝·m＝1，解得m＝e，∴所求切线方程为y＝x.
(2)∵切线的斜率为e，∴令y'＝ex＝e，得x＝1，则切点为(1，e)，∴所求切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
[反思感悟]　1. 对于指数、对数函数的导数，最常考查的是y＝ex与y＝ln x，研究它们图象的切线问题时，应注意数形结合.
2. y＝ex，y＝ln x的导数公式是特例，可以帮助记忆一般的指数、对数函数的导数公式.
1. 若f(x)＝，则f '(1)等于(　D　)
A. 0 B. － C. 3 D.
2. 一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　B　)
A. 2cos 1 B. －sin 1 C. sin 1 D. 2sin 1
3. 曲线y＝cos x，x∈的切线的斜率范围是　[－1， 0]　.
4. 曲线y＝ex在点(0， 1)处的切线方程为　y＝x＋1　.5.2 导学1　基本初等函数的导数
1. 几个常用函数的导数
(1)函数f(x)＝c的导数是f'(x)＝ .
(2)函数f(x)＝x的导数是f'(x)＝ .
(3)函数f(x)＝x2的导数是f'(x)＝ .
(4)函数f(x)＝x3的导数是f'(x)＝ .
(5)函数f(x)＝的导数是f'(x)＝ .
(6)函数f(x)＝的导数是f'(x)＝ .　
2. 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f'(x)＝ .
(2)若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f'(x)＝ .　
(3)若f(x)＝sin x，则f'(x)＝ .
(4)若f(x)＝cos x，则f'(x)＝ .
(5)若f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝ .特别地，若f(x)＝ex，则f'(x)＝ .
(6)若f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝ .特别地，若f(x)＝ln x，则f'(x)＝ .
知识点一　幂函数的导数
例1　(1)若函数f(x)＝，则f'(1)等于(　 　)
A. 0 B. － C. 2 D.
(2)已知f(x)＝，若f'(α)＝－，则α＝ .　
(3)设f(x)＝xn＋1(n∈N，n≥1)的图象在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝ .
(4)求曲线y＝在点P(－1，－1)处的切线方程.
知识点二　基本初等函数的导数
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；
(2)y＝3x；
(3)y＝；
(4)y＝log5x；
(5)y＝cos(－x)；
(6)y＝ln x；
(7)y＝ex.
[反思感悟]　求简单函数的导函数的两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时先根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
知识点三　导数公式的应用
例3　(1)质点沿直线运动的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系式是s＝，则质点在t＝4 s时的瞬时速度为(　 　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
(2)一个物体的位移y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系式为y＝t3，则该物体在t＝4 h时的瞬时速度是 km/h.
[反思感悟]　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
知识点四　利用导数公式研究曲线的切线方程
例4　求满足下列条件的直线方程：
(1)过原点且与曲线y＝ln x相切；
(2)斜率为e且与曲线y＝ex相切.
[反思感悟]　1. 对于指数、对数函数的导数，最常考查的是y＝ex与y＝ln x，研究它们图象的切线问题时，应注意数形结合.
2. y＝ex，y＝ln x的导数公式是特例，可以帮助记忆一般的指数、对数函数的导数公式.
1. 若f(x)＝，则f '(1)等于(　 　)
A. 0 B. － C. 3 D.
2. 一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　 　)
A. 2cos 1 B. －sin 1 C. sin 1 D. 2sin 1
3. 曲线y＝cos x，x∈的切线的斜率范围是 .
4. 曲线y＝ex在点(0， 1)处的切线方程为 .

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