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第四章 提升 导学1　数列中的构造问题
知识点一　形如an＝pan－1＋q的递推关系求通项公式
例1　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝(an＋1)，求数列{an}的通项公式.
解： (1)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
(2)∵an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1).
又a1－1＝－，∴数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列，∴an－1＝－×()n－1，∴an＝1－×()n－1.
[反思感悟]　对于形如an＋1＝pan＋q(p≠0，且p≠1，q≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝p(an＋k)进行求解.
知识点二　形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式
例2　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
解： ∵an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，
得＝＋1，即－＝1，
∴{}是以为首项，1为公差的等差数列，
即＝＋(n－1)×1，∴an＝(n－)×2n.
[延伸探究]　本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余条件不变，求数列{an}的通项公式.
解： 等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，
∴是以为首项，2为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×2，即an＝(2n－)×2n.
[反思感悟]　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
(1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的是使数列的下标和p的指数相对应；
(2)写出数列的通项公式；
(3)写出数列{an}的通项公式.
知识点三　形如an＋1＝(A， B， C为常数)的递推关系求通项公式
例3　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝　　.
【解析】 ∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝.
又a1＝1，则＝1，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝＋，∴an＝.
[反思感悟]　递推关系形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过对两边同时取倒数的方法构造新数列进行求解.
1. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an＞513，则n的最小值是(　C　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　A　)
A. －15×216 B. 15×217 C. －16×216 D. 16×217
3. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　C　)
A. 2n－1 B. 2n＋1 C. D.
4. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1(n∈N*)，则Sn＝　2n－1　.(共18张PPT)
提升课
导学1　数列中的构造问题
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
知识点一
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点一　形如an＝pan－1＋q的递推关系求通项公式
例1　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通
项公式.
解： (1)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
(2)已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ (an＋1)，求数列{an}的通项公式.
(2)∵an＋1＝ an＋ ，∴an＋1－1＝ (an－1).
又a1－1＝－ ，∴数列{an－1}是首项为－ ，公比为 的等比数列，
∴an－1＝－ ×()n－1，∴an＝1－ ×()n－1.
[反思感悟]　对于形如an＋1＝pan＋q(p≠0，且p≠1，q≠0)的递推关
系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此
类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝p(an＋
k)进行求解.
知识点二
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点二　形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式
例2　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的
通项公式.
解： ∵an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，
得 ＝ ＋1，即 － ＝1，
∴{ }是以 为首项，1为公差的等差数列，
即 ＝ ＋(n－1)×1，∴an＝(n－ )×2n.
[延伸探究]　本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其
余条件不变，求数列{an}的通项公式.
解： 等式两边同时除以2n，得 ＝ ＋2，即 － ＝2，
∴ 是以 为首项，2为公差的等差数列，
∴ ＝ ＋(n－1)×2，即an＝(2n－ )×2n.
[反思感悟]　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一
般步骤
(1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的
是使数列的下标和p的指数相对应；
(2)写出数列 的通项公式；
(3)写出数列{an}的通项公式.
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点三　形如an＋1＝ (A， B， C为常数)的递推关系求通项公式
例3　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，则数列{an}的通项公
式为an＝ .
　
【解析】 ∵an＋1＝ ，a1＝1，∴an≠0，
∴ ＝ ＋ ，即 － ＝ .
又a1＝1，则 ＝1，∴{ }是以1为首项， 为公差的等差数列，
∴ ＝ ＋(n－1)× ＝ ＋ ，∴an＝ .
[反思感悟]　递推关系形如an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列，可
通过对两边同时取倒数的方法构造新数列进行求解.
随堂巩固
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
1. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an＞513，则n的最小值
是(　C　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
C
1
2
3
4
2. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　A　)
A. －15×216 B. 15×217
C. －16×216 D. 16×217
A
1
2
3
4
3. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则这个数列的第n项为(　C　)
A. 2n－1 B. 2n＋1 C. D.
C
1
2
3
4
4. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1(n∈N*)，
则Sn＝ .
2n－1　
1
2
3
4第四章 提升 导学1　数列中的构造问题
知识点一　形如an＝pan－1＋q的递推关系求通项公式
例1　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝(an＋1)，求数列{an}的通项公式.
[反思感悟]　对于形如an＋1＝pan＋q(p≠0，且p≠1，q≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝p(an＋k)进行求解.
知识点二　形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式
例2　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
[延伸探究]　本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余条件不变，求数列{an}的通项公式.
[反思感悟]　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
(1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的是使数列的下标和p的指数相对应；
(2)写出数列的通项公式；
(3)写出数列{an}的通项公式.
知识点三　形如an＋1＝(A， B， C为常数)的递推关系求通项公式
例3　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝ .
[反思感悟]　递推关系形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过对两边同时取倒数的方法构造新数列进行求解.
1. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an＞513，则n的最小值是(　 　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　 　)
A. －15×216 B. 15×217 C. －16×216 D. 16×217
3. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　 　)
A. 2n－1 B. 2n＋1 C. D.
4. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1(n∈N*)，则Sn＝ .

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