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第五章 提升 导学2　与ex、ln x有关的常用不等式
知识点一　经典不等式ex≥x＋1
例1　(1)证明不等式：ex≥x＋1.
(2)证明：ex－1≥x.
[反思感悟]　与ex有关的常用不等式
(1)ex≥1＋x(x∈R).(2)ex≥ex(x∈R).
知识点二　经典不等式ln x≤x－1
例2　设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明不等式：ln x≤x－1.
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x.
[反思感悟]　与ln x有关的常用不等式
(1)≤ln x≤x－1(x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立).
(2)ln x≤(x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立).
(3)ln x≤(0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(4)ln x≥(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(5)ln x≥(x－)(0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(6)ln x≤(x－)(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
知识点三　与ex和ln x有关的不等式
例3　已知函数f(x)＝，当x∈(0，2)时，证明：f(x－1)≥ln x.
[反思感悟]　与ex和ln x(x＞0)有关的不等式之间的关系
ex＞x＋1＞x＞x－1＞ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题.
1. 若a＝，b＝，c＝，则(　 　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c
2. 已知函数f(x)＝ax－ex，当1≤a≤1＋e时，则有(　 　)
A. f(x)≤x B. f(x)≥x C. f(x)＜x D. f(x)＞x
3. 已知a＞b＞0，ab＝ba，有如下四个结论：
①b＜e；②b＞e；③存在a，b满足a·b＜e2；④存在a，b满足a·b＞e2，则结论正确的序号是(　 　)
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4. 若函数y＝ln(ex－x＋a)的值域是R，则实数a的取值范围是 .(共18张PPT)
提升课
导学2　与ex、ln x有关的常用不等式
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
知识点一
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点一　经典不等式ex≥x＋1
例1　(1)证明不等式：ex≥x＋1.
证明： (1)设f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1，
由f'(x)＝0，得x＝0，
∴当x＜0时，f'(x)＜0；当x＞0时，f'(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，∴ex≥x＋1.
(2)证明：ex－1≥x.
(2)方法一　令H(x)＝ex－1－x，则H'(x)＝ex－1－1.
若x＜1，则H'(x)＜0，H(x)在(－∞，1)上单调递减；
若x＞1，则H'(x)＞0，H(x)在(1，＋∞)上单调递增.
∴H(x)min＝H(1)＝0，∴H(x)≥0，∴ex－1≥x.
方法二　令t＝x－1，则x＝t＋1. 由et≥t＋1，得ex－1≥x.
[反思感悟]　与ex有关的常用不等式
(1)ex≥1＋x(x∈R).(2)ex≥ex(x∈R).
知识点二
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点二　经典不等式ln x≤x－1
例2　设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明不等式：ln x≤x－1.
证明： (1)由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝ －1，
令f'(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f'(x)＜0，
f(x)单调递减.
故f(x)有最大值f(1)＝0，∴f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1成立.
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜ ＜x.
(2)由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值是f(1)＝0，
∴当x≠1时，ln x＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，
ln()＜ －1，即1＜ ＜x.
[反思感悟]　与ln x有关的常用不等式
(1) ≤ln x≤x－1(x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立).
(2)ln x≤ (x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立).
(3)ln x≤ (0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(4)ln x≥ (x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(5)ln x≥ (x－ )(0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(6)ln x≤ (x－ )(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
知识点三　与ex和ln x有关的不等式
例3　已知函数f(x)＝ ，当x∈(0，2)时，证明：f(x－1)≥ln x.
解： ∵f(x)＝ ，∴f(x－1)＝ ，当x∈(0， 2)时，
要证f(x－1)≥ln x，只需证 ≥ .
令g(x)＝ ，x＞0，则g'(x)＝ ，当x∈(0，e)时，
g'(x)＞0，g(x)单调递增.
由x∈(0， 2)，得ex－1∈ (0，e)，
故要证 ＝ ≥ ，只需证ex－1≥x，即证ex－1－x≥0.
令h(x)＝ex－1－x，x∈(0，2)，则h'(x)＝ex－1－1.
当x∈(0，1)时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，2)时，
h'(x)＞0，h(x)单调递增，故h(x)≥h(1)＝0，即ex－1－x≥0.
故f(x－1)≥ln x成立.
[反思感悟]　与ex和ln x(x＞0)有关的不等式之间的关系
ex＞x＋1＞x＞x－1＞ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题.
随堂巩固
知识点一
知识点二
知识点三
随堂巩固
1. 若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则(　C　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
C
1
2
3
4
2. 已知函数f(x)＝ax－ex，当1≤a≤1＋e时，则有(　A　)
A. f(x)≤x B. f(x)≥x
C. f(x)＜x D. f(x)＞x
A
1
2
3
4
3. 已知a＞b＞0，ab＝ba，有如下四个结论：
①b＜e；②b＞e；③存在a，b满足a·b＜e2；④存在a，b满足
a·b＞e2，则结论正确的序号是(　C　)
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
C
1
2
3
4
4. 若函数y＝ln(ex－x＋a)的值域是R，则实数a的取值范围
是 .
(－∞， －1]
1
2
3
4第五章 提升 导学2　与ex、ln x有关的常用不等式
知识点一　经典不等式ex≥x＋1
例1　(1)证明不等式：ex≥x＋1.
(2)证明：ex－1≥x.
证明： (1)设f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1，
由f'(x)＝0，得x＝0，
∴当x＜0时，f'(x)＜0；当x＞0时，f'(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，∴ex≥x＋1.
(2)方法一　令H(x)＝ex－1－x，则H'(x)＝ex－1－1.
若x＜1，则H'(x)＜0，H(x)在(－∞，1)上单调递减；
若x＞1，则H'(x)＞0，H(x)在(1，＋∞)上单调递增.
∴H(x)min＝H(1)＝0，∴H(x)≥0，∴ex－1≥x.
方法二　令t＝x－1，则x＝t＋1. 由et≥t＋1，得ex－1≥x.
[反思感悟]　与ex有关的常用不等式
(1)ex≥1＋x(x∈R).(2)ex≥ex(x∈R).
知识点二　经典不等式ln x≤x－1
例2　设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明不等式：ln x≤x－1.
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x.
证明： (1)由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝－1，令f'(x)＝0，
解得x＝1.
当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.
故f(x)有最大值f(1)＝0，∴f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1成立.
(2)由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值是f(1)＝0，∴当x≠1时，ln x＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln()＜－1，即1＜＜x.
[反思感悟]　与ln x有关的常用不等式
(1)≤ln x≤x－1(x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立).
(2)ln x≤(x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立).
(3)ln x≤(0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(4)ln x≥(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(5)ln x≥(x－)(0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立).
(6)ln x≤(x－)(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立).
知识点三　与ex和ln x有关的不等式
例3　已知函数f(x)＝，当x∈(0，2)时，证明：f(x－1)≥ln x.
证明： ∵f(x)＝，∴f(x－1)＝，当x∈(0， 2)时，
要证f(x－1)≥ln x，只需证≥.
令g(x)＝，x＞0，则g'(x)＝，当x∈(0，e)时，
g'(x)＞0，g(x)单调递增.
由x∈(0， 2)，得ex－1∈ (0，e)，
故要证＝≥，只需证ex－1≥x，即证ex－1－x≥0.
令h(x)＝ex－1－x，x∈(0，2)，则h'(x)＝ex－1－1.
当x∈(0，1)时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，2)时，
h'(x)＞0，h(x)单调递增，故h(x)≥h(1)＝0，即ex－1－x≥0.
故f(x－1)≥ln x成立.
[反思感悟]　与ex和ln x(x＞0)有关的不等式之间的关系
ex＞x＋1＞x＞x－1＞ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题.
1. 若a＝，b＝，c＝，则(　C　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c
2. 已知函数f(x)＝ax－ex，当1≤a≤1＋e时，则有(　A　)
A. f(x)≤x B. f(x)≥x C. f(x)＜x D. f(x)＞x
3. 已知a＞b＞0，ab＝ba，有如下四个结论：
①b＜e；②b＞e；③存在a，b满足a·b＜e2；④存在a，b满足a·b＞e2，则结论正确的序号是(　C　)
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4. 若函数y＝ln(ex－x＋a)的值域是R，则实数a的取值范围是　(－∞， －1]　.

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