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5.4练习2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
1. 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为( )
第1题图
A. 1 s B. 1.5 s
C. 2.5 s D. 3 s
2. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，下列说法中，正确的是( )
第2题图
A. 当v1＞v2时，α1＞α2
B. 当v1＞v2时，α1＜α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
3. 与地面成一定角度的喷泉喷出的水如图所示，不计空气阻力，下列说法中，正确的是( )
第3题图
A. 水在最高点时的速度为0
B. 水在向上运动过程中与在向下运动过程中经过同一高度时的速度大小相等
C. 水做的是变加速曲线运动
D. 水在运动过程中受到的合力方向总与其速度方向垂直
4. [2025·诸暨高一期末]如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为h＝1.25 m，成绩为x＝5 m。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则α等于(g取10 m/s2)( )
第4题图
A. 30° B. 37°
C. 45° D. 60°
5. 某实验小学运动会上推出一种亲子投掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿水平方向各投出一支箭，箭均插入地面上规定的点则获胜。某次比赛中，大人投出的甲箭，箭尖插入地面上的P点时与水平地面的夹角为53°；小孩投出的乙箭，箭尖插入地面上的P点时与水平地面的夹角为37°，如图所示。忽略空气阻力、箭长等因素的影响，下列说法中，正确的是(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)( )
第5题图
A. 甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为16∶9
B. 甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为16∶9
C. 甲、乙两箭在空中运动的时间之比为16∶9
D. 甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为16∶9
6. [2025·温州中学月考]如图所示，光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口中心到地面的竖直高度为h＝0.4 m；在距地面高为H＝1.2 m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0。关于x和v0的值，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
第6题图
A. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
B. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
C. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
D. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
7. [2024·浙江1月选考]如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
第7题图
A.
B.
C.
D. (＋1)D
8. [2025·长兴中学期末]如图所示，某物理兴趣小组的同学在高h＝5 m的A点，以v0＝10 m/s与水平方向成θ角斜向上抛出一小球，小球运动到B点到达最高点，再落回水平地面C点。不计空气阻力。(g取10 m/s2)
(1)θ取多大时，小球运动的高度最大 距离地面的最大高度为多大
(2)有同学说小球落地时，速度大小不随θ的变化而变化，为定值。请分析该同学的说法是否正确 如正确，请求出这个数值；如错误，请说明理由；
(3)tan θ取多大时，小球的水平射程最大 最大值为多大
第8题图(共24张PPT)
四、 抛体运动的规律
练习2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
抛体运动
第五章
　高中物理　必修二
必 备 知 识 练
1. 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水
平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一
段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投
影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，
与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则
小球运动的时间为(　　)
A. 1 s B. 1.5 s
C. 2.5 s D. 3 s
D
【解析】 根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线与Ox轴的交点是OM的中点，则有x＝2QM＝v0t，解得小球运动的时间t＝ s＝3 s，A、B、C错误，D正确。
2. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同
的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，
小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2
时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻
力，下列说法中，正确的是(　　)
A. 当v1＞v2时，α1＞α2
B. 当v1＞v2时，α1＜α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
C
【解析】 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，由几何关系可知，β＝θ＋α，故速度方向与斜面的夹角α总是相等，与v1、v2的关系无关，C正确。
3. 与地面成一定角度的喷泉喷出的水如图
所示，不计空气阻力，下列说法中，正确
的是(　　)
A. 水在最高点时的速度为0
B. 水在向上运动过程中与在向下运动过程中经过同一高度时的速度大小相等
C. 水做的是变加速曲线运动
D. 水在运动过程中受到的合力方向总与其速度方向垂直
B
【解析】 与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，则在最高点具有水平速度，A错误；根据抛体运动的对称性，水在向上运动过程中与在向下运动过程中经过同一高度时的速度大小一定相等，B正确；与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，不计空气阻力，则只受重力，加速度为重力加速度，则做匀变速曲线运动，C错误；水在运动过程中受到的合力等于重力，只有最高点时合力方向与其速度方向垂直，其余位置合力方向与速度方向不垂直，D错误。
4. [2025·诸暨高一期末]如图所示，
一名运动员在参加跳远比赛，他腾空
过程中离地面的最大高度为h＝1.25 m，
成绩为x＝5 m。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则α等于
(g取10 m/s2)(　　)
A. 30° B. 37°
C. 45° D. 60°
C
【解析】 运动员在参加跳远比赛，其运动轨迹是斜抛运动，则从最高点到落地的运动可看作平抛运动，由对称性可知，运动员做平抛运动的水平位移为x，由自由落体运动公式h＝gt2可得，从最高点到落地的时间为t＝s＝0.5 s，则运动员在最高点的速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，运动员落地时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，由几何关系可得tan α＝＝1，解得α＝45°，C正确。
关 键 能 力 练
5. 某实验小学运动会上推出一种亲子投
掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿
水平方向各投出一支箭，箭均插入地面
上规定的点则获胜。某次比赛中，大人
投出的甲箭，箭尖插入地面上的P点时
与水平地面的夹角为53°；小孩投出的乙箭，箭尖插入地面上的P点时与水平地面的夹角为37°，如图所示。
忽略空气阻力、箭长等因素的影响，下列说法中，正确的是
(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)(　　)
A. 甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为16∶9
B. 甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为16∶9
C. 甲、乙两箭在空中运动的时间之比为16∶9
D. 甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为16∶9
B
【解析】 由题图可知，甲、乙两箭平抛运动的水平位移相等，设为l，由落地前瞬间速度的反向延长线过水平位移的中点，有tan θ＝可得甲、乙两箭投出点到地面的高度之比h甲∶h乙＝tan 53°∶tan 37°＝16∶9，B正确；根据平抛运动竖直方向的运动规律，有h＝gt2可得甲、乙两箭在空中运动的时间之比为t甲∶t乙＝＝4∶3，C错误；由v0甲t甲＝v0乙t乙，可得甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为v0甲∶v0乙＝t乙∶t甲＝3∶4，A错误；箭落地前瞬间的速度大小为v＝，甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为v甲∶v乙＝＝1∶1，D错误。
6. [2025·温州中学月考]如图所示，
光滑直管MN倾斜固定在水平地面
上，直管与水平地面间的夹角为
45°，管口中心到地面的竖直高度
为h＝0.4 m；在距地面高为H＝1.2 m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0。
关于x和v0的值，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
B. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
C. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
D. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
A
【解析】 由题意可知，弹出后
小球做平抛运动，到管口M时的
速度方向沿直管方向，根据平抛
运动特点，做平抛运动的物体任
意时刻速度方向的反向延长线交
此前水平位移于中点，如图所示，根据几何关系得x＝2(H－h)＝1.6 m，小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M的运动时间为t＝＝0.4 s，水平方向匀速运动有v0＝＝4 m/s，A正确。
7. [2024·浙江1月选考]如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A.
B.
C.
D. (＋1)D
C
【解析】 设细水管管口到桶右侧的
水平距离为r时满足题意，示意图如
图所示，水平抛运动到桶口过程，
有h＝gt2，r＋＝v0t，水落入A点
过程，有2h＝g，r＋D＝v0t1，
联立解得r＝，v0＝，C正确。
拓 展 突 破 练
8. [2025·长兴中学期末]如图所示，某物理兴趣小组的同学在高h＝5 m的A点，以v0＝10 m/s与水平方向成θ角斜向上抛出一小球，小球运动到B点到达最高点，再落回水平地面C点。不计空气阻力。(g取10 m/s2)
(1)θ取多大时，小球运动的高度最大 距离地面的最大高度为多大
(2)有同学说小球落地时，速度大小不随θ的变化而变化，为定值。请分析该同学的说法是否正确 如正确，请求出这个数值；如错误，请说明理由；
(3)tan θ取多大时，小球的水平射程最大 最大值为多大
【答案】 (1)90°　10 m　(2)正确　10 m/s　(3)　10 m
【解析】 (1)θ取90°时，小球运动的高度最大，最大高度为
hmax＝＋h＝ m＋5 m＝10 m。
(2)该同学说法正确，落地时速度的水平分量为
vx＝v0cos θ＝10cos θ m/s，
落地时速度的竖直分量为
vy＝ m/s＝10 m/s，
故落地的速度v＝＝10 m/s。
(3)作出运动中速度矢量图如图所示，
由图中几何关系得v0vsin α＝v0cos θgt，
水平射程x＝v0tcos θ，
代入得x＝，
即α＝90°时，x最大，解得xmax＝＝10 m，
此时v0cos θ＝vsin θ，
解得tan θ＝。5.4练习2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
1. 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为(　D　)
第1题图
A. 1 s B. 1.5 s
C. 2.5 s D. 3 s
【解析】 根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线与Ox轴的交点是OM的中点，则有x＝2QM＝v0t，解得小球运动的时间t＝ s＝3 s，A、B、C错误，D正确。
2. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，下列说法中，正确的是(　C　)
第2题图
A. 当v1＞v2时，α1＞α2
B. 当v1＞v2时，α1＜α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
【解析】 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，由几何关系可知，β＝θ＋α，故速度方向与斜面的夹角α总是相等，与v1、v2的关系无关，C正确。
3. 与地面成一定角度的喷泉喷出的水如图所示，不计空气阻力，下列说法中，正确的是(　B　)
第3题图
A. 水在最高点时的速度为0
B. 水在向上运动过程中与在向下运动过程中经过同一高度时的速度大小相等
C. 水做的是变加速曲线运动
D. 水在运动过程中受到的合力方向总与其速度方向垂直
【解析】 与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，则在最高点具有水平速度，A错误；根据抛体运动的对称性，水在向上运动过程中与在向下运动过程中经过同一高度时的速度大小一定相等，B正确；与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，不计空气阻力，则只受重力，加速度为重力加速度，则做匀变速曲线运动，C错误；水在运动过程中受到的合力等于重力，只有最高点时合力方向与其速度方向垂直，其余位置合力方向与速度方向不垂直，D错误。
4. [2025·诸暨高一期末]如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为h＝1.25 m，成绩为x＝5 m。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则α等于(g取10 m/s2)(　C　)
第4题图
A. 30° B. 37°
C. 45° D. 60°
【解析】 运动员在参加跳远比赛，其运动轨迹是斜抛运动，则从最高点到落地的运动可看作平抛运动，由对称性可知，运动员做平抛运动的水平位移为x，由自由落体运动公式h＝gt2可得，从最高点到落地的时间为t＝s＝0.5 s，则运动员在最高点的速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，运动员落地时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，由几何关系可得tan α＝＝1，解得α＝45°，C正确。
5. 某实验小学运动会上推出一种亲子投掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿水平方向各投出一支箭，箭均插入地面上规定的点则获胜。某次比赛中，大人投出的甲箭，箭尖插入地面上的P点时与水平地面的夹角为53°；小孩投出的乙箭，箭尖插入地面上的P点时与水平地面的夹角为37°，如图所示。忽略空气阻力、箭长等因素的影响，下列说法中，正确的是(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)(　B　)
第5题图
A. 甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为16∶9
B. 甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为16∶9
C. 甲、乙两箭在空中运动的时间之比为16∶9
D. 甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为16∶9
【解析】 由题图可知，甲、乙两箭平抛运动的水平位移相等，设为l，由落地前瞬间速度的反向延长线过水平位移的中点，有tan θ＝可得甲、乙两箭投出点到地面的高度之比h甲∶h乙＝tan 53°∶tan 37°＝16∶9，B正确；根据平抛运动竖直方向的运动规律，有h＝gt2可得甲、乙两箭在空中运动的时间之比为t甲∶t乙＝＝4∶3，C错误；由v0甲t甲＝v0乙t乙，可得甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为v0甲∶v0乙＝t乙∶t甲＝3∶4，A错误；箭落地前瞬间的速度大小为v＝，甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为v甲∶v乙＝＝1∶1，D错误。
6. [2025·温州中学月考]如图所示，光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口中心到地面的竖直高度为h＝0.4 m；在距地面高为H＝1.2 m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0。关于x和v0的值，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)(　A　)
第6题图
A. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
B. x＝1.6 m，v0＝4 m/s
C. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
D. x＝0.8 m，v0＝4 m/s
【解析】 由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口M时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示，
根据几何关系得x＝2(H－h)＝1.6 m，小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M的运动时间为t＝＝0.4 s，水平方向匀速运动有v0＝＝4 m/s，A正确。
7. [2024·浙江1月选考]如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　C　)
第7题图
A.
B.
C.
D. (＋1)D
【解析】 设细水管管口到桶右侧的水平距离为r时满足题意，示意图如图所示，水平抛运动到桶口过程，有h＝gt2，r＋＝v0t，水落入A点过程，有2h＝g，r＋D＝v0t1，联立解得r＝，v0＝，C正确。
8. [2025·长兴中学期末]如图所示，某物理兴趣小组的同学在高h＝5 m的A点，以v0＝10 m/s与水平方向成θ角斜向上抛出一小球，小球运动到B点到达最高点，再落回水平地面C点。不计空气阻力。(g取10 m/s2)
(1)θ取多大时，小球运动的高度最大 距离地面的最大高度为多大
(2)有同学说小球落地时，速度大小不随θ的变化而变化，为定值。请分析该同学的说法是否正确 如正确，请求出这个数值；如错误，请说明理由；
(3)tan θ取多大时，小球的水平射程最大 最大值为多大
第8题图
【答案】 (1)90°　10 m　(2)正确　10 m/s　(3)　10 m
【解析】 (1)θ取90°时，小球运动的高度最大，最大高度为
hmax＝＋h＝ m＋5 m＝10 m。
(2)该同学说法正确，落地时速度的水平分量为
vx＝v0cos θ＝10cos θ m/s，
落地时速度的竖直分量为
vy＝ m/s＝10 m/s，
故落地的速度v＝＝10 m/s。
(3)作出运动中速度矢量图如图所示，
由图中几何关系得v0vsin α＝v0cos θgt，
水平射程x＝v0tcos θ，
代入得x＝，
即α＝90°时，x最大，解得xmax＝＝10 m，
此时v0cos θ＝vsin θ，
解得tan θ＝。

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