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二、 万有引力定律
万有引力与宇宙航行
第七章
　高中物理　必修二
必 备 知 识 练
1. 牛顿在研究太阳与行星间引力的过程中，对行星的运动情况和受力情况，进行了一些假设和推理，并且用到了以下几个公式或规律：F＝、v＝、＝k。下列说法中，错误的是
(　　)
A. 牛顿把行星绕太阳的运动轨迹看作圆
B. 牛顿认为太阳对行星的引力提供行星做圆周运动所需的向心力
C. 在选项A、B的基础上，结合F＝、v＝、＝k，能够得出结论F∝，其中m为太阳的质量
D. 得出了F∝之后，再结合牛顿第三定律，可得出F∝
C
【解析】 牛顿为了研究的简便，把行星绕太阳的运动轨迹看作圆，将行星的运动看作匀速圆周运动，A正确；牛顿根据牛顿第二定律，认为太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，B正确；由于行星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律与开普勒第三定律，太阳对行星的引力F＝m＝m＝m·＝m·k，能够得出结论F∝，其中m为行星的质量，C错误；得出了F∝之后，再结合牛顿第三定律，可得出F∝，即F∝，D正确。
2. 火星上有一探测器正在执行探测任务，其在离火星表面高度为kR的轨道上绕火星做匀速圆周运动，此时受到火星的万有引力大小为F，已知火星半径为R，则该探测器到达火星附近时受到火星的万有引力大小为(　　)
A. k2F B. (k＋1)2F
C. D.
B
【解析】 由万有引力定律可得F＝G，当该探测器到达火星附近时受到火星的万有引力大小为F'＝G＝(k＋1)2F，B正确。
3. 设地球半径为R，一物体在地球表面时与地球间
的万有引力为F，则当该物体在距地面高R处时(如
图所示)，与地球间的万有引力大小为(　　)
A. B.
C. 2F D. 4F
【解析】 一物体在地球表面时，有F＝G，当该物体在距地面高R处时，有F'＝G＝G·，B正确。
B
4. 如图所示，“南大仙林星”绕太
阳依次从a→b→c→d→a运动。在
轨道上a、b、c、d四个位置中，该
行星受太阳引力最大的是(　　)
A. a B. b
C. c D. d
A
【解析】 根据万有引力定律可知F＝G，相同条件下，两个物体间的距离越小，它们之间的万有引力就越大，由于“南大仙林星”在a点离太阳最近，则该行星在a点受到太阳的引力最大，A正确。
5. 地球可近似看成质量分布均匀的球体，地球表面上的物体都随地球自转，下列说法中，正确的是(　　)
A. 物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B. 赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C. 地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D. 地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
A
【解析】 由F＝G可知，若地球看成质量分布均匀的球体，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误。
6. 太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转角速度为ω，在该星球表面“赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的重力加速度大小的，已知引力常量G，则该星球密度ρ为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 该星球“两极”处G＝mg，该星球表面“赤道”处Gmg＋mω2R，则该星球密度ρ＝，解得ρ＝，C正确。
C
7. 在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为(　　)
A. B.
C. 2π D. π
C
【解析】 设地球的质量为M，物体的质量为m，地球两极处的重力加速度为g，赤道处的重力加速度为g'，在地球两极处有G＝mg，在赤道处有G＝mg'＋mR，又有g－g'＝Δg，联立解得T＝＝2π，A、B、D错误，C正确。
关 键 能 力 练
8. (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法
中，正确的是(　 　)
A. 地球对一颗卫星的引力大小为
B. 一颗卫星对地球的引力大小为
C. 两颗卫星之间的引力大小为
D. 三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC
【解析】 地球与卫星之间的引力大小为F＝G，A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，C正确；三颗卫星对地球引力的合力为0，D错误。
9. 由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意，两极处有G＝mg0，赤道处有G－mg＝mR，联立可得R＝，B正确。
B
10. 地球赤道海平面的重力加速度大小为9.780 m/s2，北极的重力加速度大小为9.832 m/s2，若将地球处理为一个质量均匀分布的球体，则物体在赤道处的向心加速度大小为(　　)
A. 0.052 m/s2 B. 0.026 m/s2
C. 9.780 m/s2 D. 9.806 m/s2
【解析】 设地球质量为M，半径为R，物体的质量为m，物体在赤道处的向心加速度大小为a，物体在赤道处有G－mg赤道＝ma，在北极处有F＝G＝mg北极，联立可得mg北极－mg赤道＝ma，解得a＝g北极－g赤道＝9.832 m/s2－9.780 m/s2＝0.052 m/s2，A正确。
A
拓 展 突 破 练
11. 密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为R的球体的体积为πR3，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为(　　)
A. G B. G
C. G D. G
D
【解析】 由题意知，球体A的质量为m，m＝πR3ρ，设小球B的质量为m'，则m'＝πρ＝m，若A未挖去小球，A对B的万有引力F'＝G＝G，挖去部分对B的引力为F″＝G＝G，则剩余部分对B的万有引力F＝F'－F″＝G，D正确。
12. 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为0，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为
h时，所处的重力加速度大小g是(　　)
A. (R－h) B. (R－h)
C. (R－h)3 D. R3
B
【解析】 设地球密度为ρ，则有M＝ρ·πR3，当“海斗一号”下潜深度为h时，有＝mg，其中M'＝ρ·π·(R－h)3，联立解得g＝(R－h)，B正确。7.2 万有引力定律
1. 牛顿在研究太阳与行星间引力的过程中，对行星的运动情况和受力情况，进行了一些假设和推理，并且用到了以下几个公式或规律：F＝、v＝、＝k。下列说法中，错误的是( )
A. 牛顿把行星绕太阳的运动轨迹看作圆
B. 牛顿认为太阳对行星的引力提供行星做圆周运动所需的向心力
C. 在选项A、B的基础上，结合F＝、v＝、＝k，能够得出结论F∝，其中m为太阳的质量
D. 得出了F∝之后，再结合牛顿第三定律，可得出F∝
2. 火星上有一探测器正在执行探测任务，其在离火星表面高度为kR的轨道上绕火星做匀速圆周运动，此时受到火星的万有引力大小为F，已知火星半径为R，则该探测器到达火星附近时受到火星的万有引力大小为( )
A. k2F B. (k＋1)2F
C. D.
3. 设地球半径为R，一物体在地球表面时与地球间的万有引力为F，则当该物体在距地面高R处时(如图所示)，与地球间的万有引力大小为( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
第3题图
A. B.
C. 2F D. 4F
4. 如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是( )
第4题图
A. a B. b
C. c D. d
5. 地球可近似看成质量分布均匀的球体，地球表面上的物体都随地球自转，下列说法中，正确的是( )
A. 物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B. 赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C. 地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D. 地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
6. 太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转角速度为ω，在该星球表面“赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的重力加速度大小的，已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A. B.
C. D.
7. 在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为( )
A. B.
C. 2π D. π
8. (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法中，正确的是( )
第8题图
A. 地球对一颗卫星的引力大小为
B. 一颗卫星对地球的引力大小为
C. 两颗卫星之间的引力大小为
D. 三颗卫星对地球引力的合力大小为
9. 由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为( )
A.
B.
C.
D.
10. 地球赤道海平面的重力加速度大小为9.780 m/s2，北极的重力加速度大小为9.832 m/s2，若将地球处理为一个质量均匀分布的球体，则物体在赤道处的向心加速度大小为( )
A. 0.052 m/s2
B. 0.026 m/s2
C. 9.780 m/s2
D. 9.806 m/s2
11. 密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为R的球体的体积为πR3，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为( )
第11题图
A. G
B. G
C. G
D. G
12. 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为0，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是( )
A. (R－h)
B. (R－h)
C. (R－h)3
D. R37.2 万有引力定律
1. 牛顿在研究太阳与行星间引力的过程中，对行星的运动情况和受力情况，进行了一些假设和推理，并且用到了以下几个公式或规律：F＝、v＝、＝k。下列说法中，错误的是(　C　)
A. 牛顿把行星绕太阳的运动轨迹看作圆
B. 牛顿认为太阳对行星的引力提供行星做圆周运动所需的向心力
C. 在选项A、B的基础上，结合F＝、v＝、＝k，能够得出结论F∝，其中m为太阳的质量
D. 得出了F∝之后，再结合牛顿第三定律，可得出F∝
【解析】 牛顿为了研究的简便，把行星绕太阳的运动轨迹看作圆，将行星的运动看作匀速圆周运动，A正确；牛顿根据牛顿第二定律，认为太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，B正确；由于行星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律与开普勒第三定律，则太阳对行星的引力F＝m＝m＝m·＝m·k，能够得出结论F∝，其中m为行星的质量，C错误；得出了F∝之后，再结合牛顿第三定律，可得出F∝，即F∝，D正确。
2. 火星上有一探测器正在执行探测任务，其在离火星表面高度为kR的轨道上绕火星做匀速圆周运动，此时受到火星的万有引力大小为F，已知火星半径为R，则该探测器到达火星附近时受到火星的万有引力大小为(　B　)
A. k2F B. (k＋1)2F
C. D.
【解析】 由万有引力定律可得F＝G，当该探测器到达火星附近时受到火星的万有引力大小为F'＝G＝(k＋1)2F，B正确。
3. 设地球半径为R，一物体在地球表面时与地球间的万有引力为F，则当该物体在距地面高R处时(如图所示)，与地球间的万有引力大小为(　B　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
第3题图
A. B.
C. 2F D. 4F
【解析】 一物体在地球表面时，有F＝G，当该物体在距地面高R处时，有F'＝G＝G·，B正确。
4. 如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是(　A　)
第4题图
A. a B. b
C. c D. d
【解析】 根据万有引力定律可知F＝G，相同条件下，两个物体间的距离越小，它们之间的万有引力就越大，由于“南大仙林星”在a点离太阳最近，则该行星在a点受到太阳的引力最大，A正确。
5. 地球可近似看成质量分布均匀的球体，地球表面上的物体都随地球自转，下列说法中，正确的是(　A　)
A. 物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B. 赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C. 地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D. 地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
【解析】 由F＝G可知，若地球看成质量分布均匀的球体，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误。
6. 太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转角速度为ω，在该星球表面“赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的重力加速度大小的，已知引力常量G，则该星球密度ρ为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 该星球“两极”处G＝mg，该星球表面“赤道”处Gmg＋mω2R，则该星球密度ρ＝，解得ρ＝，C正确。
7. 在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为(　C　)
A. B.
C. 2π D. π
【解析】 设地球的质量为M，物体的质量为m，地球两极处的重力加速度为g，赤道处的重力加速度为g'，在地球两极处有G＝mg，在赤道处有G＝mg'＋mR，又有g－g'＝Δg，联立解得T＝＝2π，A、B、D错误，C正确。
8. (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法中，正确的是(　BC　)
第8题图
A. 地球对一颗卫星的引力大小为
B. 一颗卫星对地球的引力大小为
C. 两颗卫星之间的引力大小为
D. 三颗卫星对地球引力的合力大小为
【解析】 地球与卫星之间的引力大小为F＝G，A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，C正确；三颗卫星对地球引力的合力为0，D错误。
9. 由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为(　B　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 根据题意，两极处有G＝mg0，赤道处有G－mg＝mR，联立可得R＝，B正确。
10. 地球赤道海平面的重力加速度大小为9.780 m/s2，北极的重力加速度大小为9.832 m/s2，若将地球处理为一个质量均匀分布的球体，则物体在赤道处的向心加速度大小为(　A　)
A. 0.052 m/s2
B. 0.026 m/s2
C. 9.780 m/s2
D. 9.806 m/s2
【解析】 设地球质量为M，半径为R，物体的质量为m，物体在赤道处的向心加速度大小为a，物体在赤道处有G－mg赤道＝ma，在北极处有F＝G＝mg北极，联立可得mg北极－mg赤道＝ma，解得a＝g北极－g赤道＝9.832 m/s2－9.780 m/s2＝0.052 m/s2，A正确。
11. 密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为R的球体的体积为πR3，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为(　D　)
第11题图
A. G
B. G
C. G
D. G
【解析】 由题意知，球体A的质量为m，m＝πR3ρ，设小球B的质量为m'，则m'＝πρ＝m，若A未挖去小球，A对B的万有引力F'＝G＝G，挖去部分对B的引力为F″＝G＝G，则剩余部分对B的万有引力F＝F'－F″＝G，D正确。
12. 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为0，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是(　B　)
A. (R－h)
B. (R－h)
C. (R－h)3
D. R3
【解析】 设地球密度为ρ，则有M＝ρ·πR3，当“海斗一号”下潜深度为h时，有＝mg，其中M'＝ρ·π·(R－h)3，联立解得g＝(R－h)，B正确。

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