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专题课　卫星的变轨和双星问题
万有引力与宇宙航行
第七章
　高中物理　必修二
必 备 知 识 练
1. 如图所示，在发射静止卫星的过程中，
卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过
改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道
Ⅱ，下列说法中，正确的是(　　)
A. 该卫星的发射速度必定大于 11.2 km/s
B. 该卫星的同步轨道Ⅱ可以在北京正上方
C. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度相等
D. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等
D
【解析】 11.2 km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，故该卫星的发射速度一定小于11.2 km/s，A错误；静止卫星的轨道在赤道上空，该卫星的同步轨道Ⅱ不可以在北京正上方，B错误；根据卫星变轨的原理可知，卫星在轨道Ⅰ上的Q点需加速，才能进入轨道Ⅱ，所以该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度大小不相等，C错误；由a＝知该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点加速度相等，D正确。
2. 中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示为嫦娥一号卫星“奔月”的示意图，嫦娥一号卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。
下列关于嫦娥一号卫星的说法，正确的是(　　)
A. 发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B. 在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C. 在轨道Ⅰ上运动时的速度小于在轨道Ⅱ上任意位置的速度
D. 绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火加速
B
【解析】 第三宇宙速度，又叫逃逸速度，即能够脱离太阳系的最小发射速度，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，并没有脱离地球的引力范围，因此发射时的速度应小于第二宇宙速度，A错误；在绕地轨道中，中心天体都为地球，由开普勒第三定律可得＝k，则有公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，B正确；设在轨道Ⅰ上运动时的速度为v1，在轨道Ⅱ上近月点的速度为v2，在轨道Ⅲ上远月点的速度为v3，若以轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道
Ⅳ，设在其上的速度为v4，由卫星加速将会做离心运动，以及线速度与轨道半径的大小关系可知v2＞v1，v4＞v3，由万有引力提供向心力，可得G＝m，则v＝，由于轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅳ，故v1＞v4，综上v2＞v1＞v4＞v3，因此在轨道Ⅰ上运动时的速度并不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，C错误；由C选项解析可知，绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火减速，D错误。
3. 2024年4月25日我国神舟十八号载人飞船
发射升空，此次发射任务是要进入空间站
完成第3次载人飞行任务，飞船入轨后，将
按照预定程序喷出气体(质量远小于飞船质
量，可认为飞船质量不变)，改变速度与空
间站组合体进行自主快速交会对接。对接
前，飞船和空间站在轨运行的情形如图所
示，图中A是飞船，B是空间站，两者都绕地球同向转动。下列说法中，正确的是(　　)
A. 飞船通过向前方喷气后才能与空间站完成交会对接
B. 飞船通过向后方喷气后才能与空间站完成交会对接
C. 飞船对接前、后的线速度大小相等
D. 飞船对接后的线速度比对接前在轨运行时的线速度大
B
【解析】 对接之前飞船在低轨道上运行，飞船通过向后方喷气后速度增加做离心运动才能与空间站完成交会对接，A错误，B正确；根据G＝m，可知v＝，飞船对接后轨道半径变大，可知飞船对接后的线速度比对接前在轨运行时的线速度小，D错误。
4. [2024·永嘉一中月考]现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，
下列说法中，正确的是(　　)
A. 它们的线速度大小之比v1∶v2＝3∶2
B. 它们的角速度大小之比ω1∶ω2＝2∶3
C. 它们的质量之比m1∶m2＝3∶2
D. 它们的周期之比T1∶T2＝2∶3
A
【解析】 在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，B、D错误；由于双星系统中，双星间的万有引力提供圆周运动向心力，则＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误；双星的角速度相同，由v＝ωr知v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，A正确。
5. 银河系中心为一超大密度的黑洞，其第一宇宙速度达到光速c，
一距离该黑洞中心为r的星体，绕黑洞中心运动的周期为T，则
该黑洞的半径为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 设该黑洞的半径为R，根据题意可得G＝m，对围
绕黑洞运行的星体有G＝m'r，联立解得R＝，A正确。
A
6. 如图所示，质量相同的三颗卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动(A、B、C在同一平面内且绕行方向相同)，其中B、C在地球的同步轨道上，A距离地球表面的高度为R，此时A、B恰好相距最近。
已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，下列说法中，正确的是(　　)
A. 发射卫星B时速度要大于11.2 km/s
B. 卫星A的线速度小于卫星B的线速度
C. 要使卫星C与B实现对接，可直接让卫星C加速
D. 卫星A和B下一次相距最近还需经过t＝
D
【解析】 要成为地球的卫星，发射速度需大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，A错误；卫星A的轨道低于B的轨道，根据v＝，可知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，B错误；若让卫星C加速，则其所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星C将做离心运动，离开原轨道，C错误；B、C在地球的同步轨道上，卫星B、C和地球具有相同的周期和角速度，由万有引力提供向心力，有G＝mω2r，
解得ω＝，A距离地球表面的高度为R，卫星A的角速度ωA＝，此时A、B恰好相距最近，设卫星A和B下一次相距最近的时间为t，则有(ωA－ω)t＝2π，解得t＝，D正确。
7. [2025·宁波北仑中学期末]如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N运动过程中相距最近时的距
离与相距最远时的距离之比为(　　)
甲 乙
A. 1∶4 B. 3∶8
C. 1∶2 D. 3∶5
D
【解析】 设M绕Q运动的公转周期为T，由图乙可知Δt＝，解得T＝8T0，设行星M、N绕Q运动的半径分别为rM、rN，根据开普勒第三定律可得，解得，则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为，D正确。
关 键 能 力 练
8. (多选)现有质量分别为m1、m2的甲、乙两中子星绕连线上的O点做匀速圆周运动，两中子星连线距离为L，引力常量为G，
宇宙空间视为真空。下列说法中，正确的是(　 　)
A. 中子星做匀速圆周运动的角速度ω＝
B. 甲、乙两中子星的线速度大小之比为m1∶m2
C. 质量为m1的中子星与O点连线的距离r1＝L
D. 两中子星做匀速圆周运动的周期为T＝2π
AD
【解析】 设中子星转动的角速度为ω，
周期为T，如图所示。
对星球甲、乙，根据万有引力提供向
心力有＝m1r1ω2＝m2r2ω2，其
中r1＋r2＝L，解得ω＝
，r1＝L，r2＝L，根据v＝rω可知甲、乙两中子星的线速度大小之比为m2∶m1，A正确，B、C错误；由T＝知T＝2π，D正确。
9. [2025·金丽衢十二校联考]2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，来到近月点约15公里、远月点约180公里的上升目标轨道。此后，再经过几次的轨道机动，进入高度约210公里的环月圆轨道。如图所示，在这里，“轨返组合体”(轨道器)正在环月停泊轨道的停泊位等待着上升器，完成交会对接。
将样本转移至轨道器后，上升器圆满完成使命与轨道器分离，在控制下撞击月球，轨道器则携带样品返回地球。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，下列说法中，正确的是(　　)
A. 上升器的发射速度至少要达到1.76 km/s
B. 已在停泊轨道运行的轨道器从停泊位向后喷气加速，可实现与处在同一轨道上的上升器的对接
C. 载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要向前点火减速
D. 轨道器通过月地轨道返回地球时，速度会超过第二宇宙速度
A
【解析】 根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，则有v月＝·v地＝·v地＝v地≈1.76 km/s，A正确；使轨道器在停泊位置向后喷气加速，将会向高轨道运动，无法对接，B错误；载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火加速，使返回器速度增大，向高轨道运动，C错误；月球轨道还在地球引力范围内，卫星回到地球时，速度不可能大于第二宇宙速度，D错误。
拓 展 突 破 练
10. 嫦娥六号成功从月球表面取样并
返回地球。嫦娥六号在着陆月球前
经过多次变轨进入近月轨道Ⅳ，如
图所示是变轨前的部分轨道示意图，
Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球
运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行
的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道
Ⅱ的远月点和近月点。
已知P、Q两点的距离为d，圆轨道Ⅳ到月球表面的高度为h，
月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自
转，下列关于嫦娥六号的说法，正确的是(　　)
A. 轨道Ⅱ上运行时的速度比轨道Ⅲ上运行时的速度小
B. 由轨道Ⅲ变轨为轨道Ⅳ时，需要在Q点喷气加速
C. 轨道Ⅱ运行的周期为
D. 在轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速度为
C
【解析】 卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，则嫦娥六号从轨到Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅳ，都需要点火减速，速度减小，A、B错误；设卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的周期为T1，根据万有引力提供向心力可得＝mg＝mR，可得T1＝2π，设轨道Ⅱ运行的周期为T2，根据开普勒第三定律可得，解得T2＝
，C正确；设嫦娥六号在轨道Ⅳ运行时，根据万有引力提供向心力可得＝m，解得嫦娥六号在轨道Ⅳ运行的线速度大小为v＝，可知嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行经过Q的速度满足vQ＞v＝，根据开普勒第二定律可得(d－R－h)vPΔt＝(R＋h)vQΔt，可得嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速度为vP＝vQ＞，D错误。
11. (多选)天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用下，做着不同
的运动。如图甲、乙所示分别为双星、三星模型，星体都绕它
们之间的某一点做匀速圆周运动，轨迹圆半径都为R，五个环
绕天体质量均为m，引力常量为G，忽略其他天体对系统的作用，
甲 乙
下列说法中，正确的是(　 　)
A. 图甲中两环绕天体所受向心力相同
B. 图甲中天体运动的周期为4π
C. 图乙中天体运动的向心力大小为G
D. 图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为∶2
BD
【解析】 它们的向心力由万有引力提供，
大小相等、方向相反，A错误；根据万有
引力提供向心力可知G＝mR，
解得T＝4π，B正确；每颗行星运行
所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力提供，如图所示，
则有G×2×cos 30°＝Fn、L＝2Rcos 30°，解得Fn＝，C错误；图甲中根据G＝m，解得v1＝，图乙中根据G×2×cos 30°＝m，解得v2＝，则，D正确。第七章 专题课　卫星的变轨和双星问题
1. 如图所示，在发射静止卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，下列说法中，正确的是(　D　)
第1题图
A. 该卫星的发射速度必定大于 11.2 km/s
B. 该卫星的同步轨道Ⅱ可以在北京正上方
C. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度相等
D. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等
【解析】 11.2 km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，故该卫星的发射速度一定小于11.2 km/s，A错误；静止卫星的轨道在赤道上空，该卫星的同步轨道Ⅱ不可以在北京正上方，B错误；根据卫星变轨的原理可知，卫星在轨道Ⅰ上的Q点需加速，才能进入轨道Ⅱ，所以该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度大小不相等，C错误；由a＝知该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点加速度相等，D正确。
2. 中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示为嫦娥一号卫星“奔月”的示意图，嫦娥一号卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。下列关于嫦娥一号卫星的说法，正确的是(　B　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
第2题图
A. 发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B. 在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C. 在轨道Ⅰ上运动时的速度小于在轨道Ⅱ上任意位置的速度
D. 绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火加速
【解析】 第三宇宙速度，又叫逃逸速度，即能够脱离太阳系的最小发射速度，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，并没有脱离地球的引力范围，因此发射时的速度应小于第二宇宙速度，A错误；在绕地轨道中，中心天体都为地球，由开普勒第三定律可得＝k，则有公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，B正确；设在轨道Ⅰ上运动时的速度为v1，在轨道Ⅱ上近月点的速度为v2，在轨道Ⅲ上远月点的速度为v3，若以轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道Ⅳ，设在其上的速度为v4，由卫星加速将会做离心运动，以及线速度与轨道半径的大小关系可知v2＞v1，v4＞v3，由万有引力提供向心力，可得G＝m，则v＝，由于轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅳ，故v1＞v4，综上v2＞v1＞v4＞v3，因此在轨道Ⅰ上运动时的速度并不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，C错误；由C选项解析可知，绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火减速，D错误。
3. 2024年4月25日我国神舟十八号载人飞船发射升空，此次发射任务是要进入空间站完成第3次载人飞行任务，飞船入轨后，将按照预定程序喷出气体(质量远小于飞船质量，可认为飞船质量不变)，改变速度与空间站组合体进行自主快速交会对接。对接前，飞船和空间站在轨运行的情形如图所示，图中A是飞船，B是空间站，两者都绕地球同向转动。下列说法中，正确的是(　B　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
第3题图
A. 飞船通过向前方喷气后才能与空间站完成交会对接
B. 飞船通过向后方喷气后才能与空间站完成交会对接
C. 飞船对接前、后的线速度大小相等
D. 飞船对接后的线速度比对接前在轨运行时的线速度大
【解析】 对接之前飞船在低轨道上运行，飞船通过向后方喷气后速度增加做离心运动才能与空间站完成交会对接，A错误，B正确；根据G＝m，可知v＝，飞船对接后轨道半径变大，可知飞船对接后的线速度比对接前在轨运行时的线速度小，D错误。
4. [2024·永嘉一中月考]现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，下列说法中，正确的是(　A　)
第4题图
A. 它们的线速度大小之比v1∶v2＝3∶2
B. 它们的角速度大小之比ω1∶ω2＝2∶3
C. 它们的质量之比m1∶m2＝3∶2
D. 它们的周期之比T1∶T2＝2∶3
【解析】 在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，B、D错误；由于双星系统中，双星间的万有引力提供圆周运动向心力，则＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误；双星的角速度相同，由v＝ωr知v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，A正确。
5. 银河系中心为一超大密度的黑洞，其第一宇宙速度达到光速c，一距离该黑洞中心为r的星体，绕黑洞中心运动的周期为T，则该黑洞的半径为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 设该黑洞的半径为R，根据题意可得G＝m，对围绕黑洞运行的星体有G＝m'r，联立解得R＝，A正确。
6. 如图所示，质量相同的三颗卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动(A、B、C在同一平面内且绕行方向相同)，其中B、C在地球的同步轨道上，A距离地球表面的高度为R，此时A、B恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，下列说法中，正确的是(　D　)
第6题图
A. 发射卫星B时速度要大于11.2 km/s
B. 卫星A的线速度小于卫星B的线速度
C. 要使卫星C与B实现对接，可直接让卫星C加速
D. 卫星A和B下一次相距最近还需经过t＝
【解析】 要成为地球的卫星，发射速度需大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，A错误；卫星A的轨道低于B的轨道，根据v＝，可知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，B错误；若让卫星C加速，则其所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星C将做离心运动，离开原轨道，C错误；B、C在地球的同步轨道上，卫星B、C和地球具有相同的周期和角速度，由万有引力提供向心力，有G＝mω2r，解得ω＝，A距离地球表面的高度为R，卫星A的角速度ωA＝，此时A、B恰好相距最近，设卫星A和B下一次相距最近的时间为t，则有(ωA－ω)t＝2π，解得t＝，D正确。
7. [2025·宁波北仑中学期末]如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为(　D　)
甲
乙
第7题图
A. 1∶4 B. 3∶8
C. 1∶2 D. 3∶5
【解析】 设M绕Q运动的公转周期为T，由图乙可知Δt＝，解得T＝8T0，设行星M、N绕Q运动的半径分别为rM、rN，根据开普勒第三定律可得，解得，则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为，D正确。
8. (多选)现有质量分别为m1、m2的甲、乙两中子星绕连线上的O点做匀速圆周运动，两中子星连线距离为L，引力常量为G，宇宙空间视为真空。下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 中子星做匀速圆周运动的角速度ω＝
B. 甲、乙两中子星的线速度大小之比为m1∶m2
C. 质量为m1的中子星与O点连线的距离r1＝L
D. 两中子星做匀速圆周运动的周期为T＝2π
【解析】 设中子星转动的角速度为ω，周期为T，如图所示。
对星球甲、乙，根据万有引力提供向心力有＝m1r1ω2＝m2r2ω2，其中r1＋r2＝L，解得ω＝，r1＝L，r2＝L，根据v＝rω可知甲、乙两中子星的线速度大小之比为m2∶m1，A正确，B、C错误；由T＝知T＝2π，D正确。
9. [2025·金丽衢十二校联考]2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，来到近月点约15公里、远月点约180公里的上升目标轨道。此后，再经过几次的轨道机动，进入高度约210公里的环月圆轨道。如图所示，在这里，“轨返组合体”(轨道器)正在环月停泊轨道的停泊位等待着上升器，完成交会对接。将样本转移至轨道器后，上升器圆满完成使命与轨道器分离，在控制下撞击月球，轨道器则携带样品返回地球。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，下列说法中，正确的是(　A　)
第9题图
A. 上升器的发射速度至少要达到1.76 km/s
B. 已在停泊轨道运行的轨道器从停泊位向后喷气加速，可实现与处在同一轨道上的上升器的对接
C. 载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要向前点火减速
D. 轨道器通过月地轨道返回地球时，速度会超过第二宇宙速度
【解析】 根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，则有v月＝·v地＝·v地＝v地≈1.76 km/s，A正确；使轨道器在停泊位置向后喷气加速，将会向高轨道运动，无法对接，B错误；载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火加速，使返回器速度增大，向高轨道运动，C错误；月球轨道还在地球引力范围内，卫星回到地球时，速度不可能大于第二宇宙速度，D错误。
10. 嫦娥六号成功从月球表面取样并返回地球。嫦娥六号在着陆月球前经过多次变轨进入近月轨道Ⅳ，如图所示是变轨前的部分轨道示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点。已知P、Q两点的距离为d，圆轨道Ⅳ到月球表面的高度为h，月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转，下列关于嫦娥六号的说法，正确的是(　C　)
第10题图
A. 轨道Ⅱ上运行时的速度比轨道Ⅲ上运行时的速度小
B. 由轨道Ⅲ变轨为轨道Ⅳ时，需要在Q点喷气加速
C. 轨道Ⅱ运行的周期为
D. 在轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速度为
【解析】 卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，则嫦娥六号从轨到Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅳ，都需要点火减速，速度减小，A、B错误；设卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的周期为T1，根据万有引力提供向心力可得＝mg＝mR，可得T1＝2π，设轨道Ⅱ运行的周期为T2，根据开普勒第三定律可得，解得T2＝，C正确；设嫦娥六号在轨道Ⅳ运行时，根据万有引力提供向心力可得＝m，解得嫦娥六号在轨道Ⅳ运行的线速度大小为v＝，可知嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行经过Q的速度满足vQ＞v＝，根据开普勒第二定律可得(d－R－h)vPΔt＝(R＋h)vQΔt，可得嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速度为vP＝vQ＞，D错误。
11. (多选)天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用下，做着不同的运动。如图甲、乙所示分别为双星、三星模型，星体都绕它们之间的某一点做匀速圆周运动，轨迹圆半径都为R，五个环绕天体质量均为m，引力常量为G，忽略其他天体对系统的作用，下列说法中，正确的是(　BD　)
甲 乙
第11题图
A. 图甲中两环绕天体所受向心力相同
B. 图甲中天体运动的周期为4π
C. 图乙中天体运动的向心力大小为G
D. 图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为∶2
【解析】 它们的向心力由万有引力提供，大小相等、方向相反，A错误；根据万有引力提供向心力可知G＝mR，解得T＝4π，B正确；每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力提供，如图所示，
则有G×2×cos 30°＝Fn、L＝2Rcos 30°，解得Fn＝，C错误；图甲中根据G＝m，解得v1＝，图乙中根据G×2×cos 30°＝m，解得v2＝，则，D正确。第七章 专题课　卫星的变轨和双星问题
1. 如图所示，在发射静止卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，下列说法中，正确的是( )
第1题图
A. 该卫星的发射速度必定大于 11.2 km/s
B. 该卫星的同步轨道Ⅱ可以在北京正上方
C. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度相等
D. 该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等
2. 中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示为嫦娥一号卫星“奔月”的示意图，嫦娥一号卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。下列关于嫦娥一号卫星的说法，正确的是( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
第2题图
A. 发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B. 在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C. 在轨道Ⅰ上运动时的速度小于在轨道Ⅱ上任意位置的速度
D. 绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火加速
3. 2024年4月25日我国神舟十八号载人飞船发射升空，此次发射任务是要进入空间站完成第3次载人飞行任务，飞船入轨后，将按照预定程序喷出气体(质量远小于飞船质量，可认为飞船质量不变)，改变速度与空间站组合体进行自主快速交会对接。对接前，飞船和空间站在轨运行的情形如图所示，图中A是飞船，B是空间站，两者都绕地球同向转动。下列说法中，正确的是( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
第3题图
A. 飞船通过向前方喷气后才能与空间站完成交会对接
B. 飞船通过向后方喷气后才能与空间站完成交会对接
C. 飞船对接前、后的线速度大小相等
D. 飞船对接后的线速度比对接前在轨运行时的线速度大
4. [2024·永嘉一中月考]现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，下列说法中，正确的是( )
第4题图
A. 它们的线速度大小之比v1∶v2＝3∶2
B. 它们的角速度大小之比ω1∶ω2＝2∶3
C. 它们的质量之比m1∶m2＝3∶2
D. 它们的周期之比T1∶T2＝2∶3
5. 银河系中心为一超大密度的黑洞，其第一宇宙速度达到光速c，一距离该黑洞中心为r的星体，绕黑洞中心运动的周期为T，则该黑洞的半径为( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示，质量相同的三颗卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动(A、B、C在同一平面内且绕行方向相同)，其中B、C在地球的同步轨道上，A距离地球表面的高度为R，此时A、B恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，下列说法中，正确的是( )
第6题图
A. 发射卫星B时速度要大于11.2 km/s
B. 卫星A的线速度小于卫星B的线速度
C. 要使卫星C与B实现对接，可直接让卫星C加速
D. 卫星A和B下一次相距最近还需经过t＝
7. [2025·宁波北仑中学期末]如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为( )
甲
乙
第7题图
A. 1∶4 B. 3∶8
C. 1∶2 D. 3∶5
8. (多选)现有质量分别为m1、m2的甲、乙两中子星绕连线上的O点做匀速圆周运动，两中子星连线距离为L，引力常量为G，宇宙空间视为真空。下列说法中，正确的是( )
A. 中子星做匀速圆周运动的角速度ω＝
B. 甲、乙两中子星的线速度大小之比为m1∶m2
C. 质量为m1的中子星与O点连线的距离r1＝L
D. 两中子星做匀速圆周运动的周期为T＝2π
9. [2025·金丽衢十二校联考]2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，来到近月点约15公里、远月点约180公里的上升目标轨道。此后，再经过几次的轨道机动，进入高度约210公里的环月圆轨道。如图所示，在这里，“轨返组合体”(轨道器)正在环月停泊轨道的停泊位等待着上升器，完成交会对接。将样本转移至轨道器后，上升器圆满完成使命与轨道器分离，在控制下撞击月球，轨道器则携带样品返回地球。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，下列说法中，正确的是( )
第9题图
A. 上升器的发射速度至少要达到1.76 km/s
B. 已在停泊轨道运行的轨道器从停泊位向后喷气加速，可实现与处在同一轨道上的上升器的对接
C. 载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要向前点火减速
D. 轨道器通过月地轨道返回地球时，速度会超过第二宇宙速度
10. 嫦娥六号成功从月球表面取样并返回地球。嫦娥六号在着陆月球前经过多次变轨进入近月轨道Ⅳ，如图所示是变轨前的部分轨道示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点。已知P、Q两点的距离为d，圆轨道Ⅳ到月球表面的高度为h，月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转，下列关于嫦娥六号的说法，正确的是( )
第10题图
A. 轨道Ⅱ上运行时的速度比轨道Ⅲ上运行时的速度小
B. 由轨道Ⅲ变轨为轨道Ⅳ时，需要在Q点喷气加速
C. 轨道Ⅱ运行的周期为
D. 在轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速度为
11. (多选)天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用下，做着不同的运动。如图甲、乙所示分别为双星、三星模型，星体都绕它们之间的某一点做匀速圆周运动，轨迹圆半径都为R，五个环绕天体质量均为m，引力常量为G，忽略其他天体对系统的作用，下列说法中，正确的是( )
甲 乙
第11题图
A. 图甲中两环绕天体所受向心力相同
B. 图甲中天体运动的周期为4π
C. 图乙中天体运动的向心力大小为G
D. 图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为∶2

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