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内蒙古自治区2026年初中学业水平考试数学试卷
注意事项：1.本试卷共6页，满分100分。
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，
一、选择题（共8小题.每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列由字母 A 与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是
2.小明买了4袋标准质量为450克的食品，他对这4袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：
第一袋 第二袋 第三袋 第四袋
+2 0 +1 —2
其中最重的是
A. 第一袋 B. 第二袋
C. 第三袋 D. 第四袋
3.如图1，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点 H在格点上.若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点 H 的对应点 H′的坐标是
A. （－2，－1）
B. （－2，2）
C. （1，－1）
D. （－2，1）
4.如图2，木工常用的直角曲尺的直角顶点 A 和其中一端点 B 分别在两条平行直线a 和b 上.若. 则 的度数是
A. 53° B.
C. 37ˊ D.
5.二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
6.已知压力 F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m ）之间的函数关系式为 当 时，p＝1800Pa， 则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是
7..阿拉善琞是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）1026万亩，成活率已经达到90%.下列说法正确的是
A. 种植10棵梭梭，一定有9棵成活
B. 种植 9棵梭梭，一定有1棵成活
C. 种植1棵梭梭，一定不能成活
D. 种植1棵梭梭，不一定能成活
8.矩形是常见的几何图形。数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下 3组图形和3个代数恒等式：
m（a+b+c）＝ma+mb+mc （a－b)2 ＝a2－2ab+ b 2 a2－b2 ＝（a+b)（a－b）
其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二、填空题（共4小题，每小题3分.共12分）
10.如图 3，等边三角形纸片ABC的边长为 10，点 E、F 分别为AB、AC边上的点. 将∠BAC 沿 EF 折叠，若点 A 恰好落在该纸片BC 边的中点 D 处，则四边形EBDF 的周长是 .
11. 对于一次函数y＝（k+1）x－k（k是常数.且k≠－1），下列结论;
①点（1，1）在此函数图象上：
③当k＜0时，y随x的增大而减小.
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
12. 如图4，在矩形ABCD中，AB＝2. AD＝4，AC是它的一条对角线. 以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点 A 和点 E 为圆心，大于 长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点 N，则 BN 的长为 .
三、解答题（共6 小题，共64分）
13. （本小题满分10分）
（1）对实数a，b定义一种新运算“ ”;a 其中a≠0，，等式右边是实数运算.计算：
（2）巳知多项式 求2A－B.
14.（本小题满分8分）
AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革.某公司要从 A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度分别评分（每个维度满分100分）.
其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为：
A款产品:73，70，70，75，77; B款产品:70，69，70，75，76，
对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表：
产品 维度及得分
信息处理速度 信息识别准确度 功能丰富程度
A 78 73 86
B 82 72 85
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请写出五位专家对 A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高；
（2）如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按4·3：3的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分，请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由.
15.（本小题满分10分）
某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克.（不考虑空间因素）
（1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次 请说明理由；
（2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克，为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案
16.（本小题满分12分）
已知△ABC 是⊙O的内接三角形，半径OB 与AC 边相交于点D.
（1）如图5，连接OA，若∠OAC＝15°.∠ACB＝40°.求∠ADB的度数;
（2）如图6，点 E 是线段AC 延长线上一点，连接 BE.
①若∠CDB＝∠OBC，求证:∠ACB＝2∠CAB;
②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB与线段 BE 的位置关系，并说明理由.
17.（本小题满分12分）
综合与探究
问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9 的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点 A 重合放置，记该三角形为 顶点E，F分别在正方形的AB. AD边上，如图7.现将△AEF 绕点A 按逆时针方向旋转a 角，其中 ，得到△AE′F′，连接.BE′，DF′，如图8.
初步探究：（1）猜想线段 BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由；
|深入探究：（2）在△AEF 绕点 A 按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF 边于点M，E′F′交AD 边于点 N，如图 9.
①求证：
②求△AEM与△AFM面积的比值.
18. （本小题满分12分）
综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务.
项目名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
问题情境 右图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地合（长方体）、四粮立柱、远阳棚组成.从侧面看，邅阳欐由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同.项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决.
收集信息 查找图纸：立柱E ，两根立柱 ED 与 FG 之间的距离 DG＝8 m. 点F 是过点E，N的抛物线的最高点，地台高AB＝1m ，立柱 FG 到地台前边缘的距离AG＝2 m. 查阅责料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为 49°. 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶 M点的影子落在操场上的H 点处，测得影长 HB＝7.5 m.
抽象模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点A. B，C. D. E. F. G. H，M，N在同一竖直平面内ρ点 M，N，A，B在同一竖直方向上，点H. B. C在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题.如图10 为“智慧”小组以点 D 为原点，AD 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴建立的平面直角坐标系.
··· ···
任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E. F. N的抛物线的函数表达式；
任务二：请你求出矩形另一边 MN 的长度.
（参考数据：：
参考答案
1. A
2. A
3. B
4. C
5. B
6. C
7. D
8. A
9. 1
10. 20
11. ①②/②①
13. (1)25
14.(1)解：将A款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：70，70，73，75，77,
因为数据中70出现次数最多，
因此A款评分的众数为70，
共5个数据，排在中间的是第3个数据，为73，
因此A款评分的中位数为73；
将B款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：69，70，70，75，76，
因为数据中70出现次数最多，
因此B款评分的众数为70，
共5个数据，排在中间的是第3个数据，为70，
因此B款评分的中位数为70；
所以两款的众数相同，A款评分的中位数和高于 B款，
因此 A款产品的信息识别准确度更高；
(2)解：根据权重比4：3：3计算两款产品的最终得分：
∵79.9＞78.9, B产品的最终得分更高,
∴建议公司选择B款产品.
15.(1)至少需要4次，理由如下：
设至少需要x次, 由题意得: (1000－75－65)x≥3000,
∵x为正整数，
∴x取4
答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次；
(2)共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱
16. (1)∠ADB＝95°;
(2)①证明:连接OC,
∵BC＝BC,
∴∠BOC＝2∠CAB,
∵OB＝OC,
∴∠OBC＝∠OCB,
∵∠CDB＝∠OBC,
∴∠CDB＝∠OCB,
∵∠CBD＝∠OBC,
∴△CBD∽△OBC,
∴∠BCD＝∠BOC,
∴∠BCD＝2∠CAB,
即∠ACB＝2∠CAB;
②OB⊥BE, 理由如下:
∵BE＝BA,
∴∠E＝∠A,
设∠E＝∠A＝x,
∴∠ACB＝2x,
∴∠BOC＝2∠A＝2x, ∠CBE＝∠ACB－∠E＝x,
∵OB＝OC,
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°－x+x＝90°,
∴OB⊥BE.
17. (1)BE'＝DF', 理由如下:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD, ∠BAD＝90°,
∵AE＝AF, ∠EAF＝90°
∴由旋转可得，
∴△BAE'≌△DAF'(SAS)
(2)①证明:
由(1)可得, △BAE'≌△DAF'
∴AE'∥DF'
②过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H,
由题意得, AB＝15, AE'＝AE＝9,
∵∠AE'B＝90°
∵正方形ABCD中, ∠BAD＝90°
∴∠1＝∠3＝90°－∠2
∵∠AFH＝∠BE'A＝90°
∴△AFH∽△BE'A
∵∠HFD＝∠BAD＝90°
∴FH∥AE
∴△AEM∽△HFM
(1) 解: 由题意得, F(－8, 7), E(0, 5)
∴设过点E，F，N的抛物线的表达式为
(2) 解: 连接AN, 由题意可得M, N, A, B共线,
∵AD＝AG+DG＝2+8＝10
∴A(－10, 0),
在Rt△HMB中, ∠H＝49°, HB＝7.5
答：矩形另一边MN的长度为0.75m.

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