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2.1.1　倾斜角与斜率
一、基础巩固
1.直线x=1的倾斜角是(　　)
A.0° B.45° C.90° D.不存在
2.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率,则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角
3.若过点A(a,-1)和B(2,a)的直线的斜率为,则a的值为(　　)
A.4 B.0 C.-4 D.1
4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是(　　)
A.(2,3) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(-3,2)
5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k16.一条直线l与x轴相交,其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　)
A.α B.180°-α
C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α
7.(多选)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)
A.-2 B. C.1 D.
8.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b=　　　　.
9.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.
10.已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.
11.分别判断下列三点是否在同一直线上.
(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7);
(2)D(-1,4),E(2,1),F(-2,5);
(3)M(1,2),N(1,3),P(1,-1).
二、综合运用
12.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
13.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　.
14.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1),
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化范围.
三、拓展提高
15.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值与最小值.
2.1.1　倾斜角与斜率
一、基础巩固
1.直线x=1的倾斜角是(　　)
A.0° B.45° C.90° D.不存在
答案　C
解析　直线x=1与x轴垂直,故倾斜角为90°.
2.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率,则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角
答案　ABC
解析　A,B,C正确,D错误.
3.若过点A(a,-1)和B(2,a)的直线的斜率为,则a的值为(　　)
A.4 B.0 C.-4 D.1
答案　B
解析　kAB==,解得a=0.
4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是(　　)
A.(2,3) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(-3,2)
答案　D
解析　斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=,
所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.
经验证D中向量与共线.
5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k1答案　A
解析　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,
∴tan α1<0,tan α2>tan α3>0,
即k1<0,k2>k3>0,故选A.
6.一条直线l与x轴相交,其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　)
A.α B.180°-α
C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α
答案　D
解析　如图1,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;
如图2,当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.
7.(多选)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)
A.-2 B. C.1 D.
答案　ACD
解析　如图,
当直线l过点B时,设直线的斜率为k1,则k1==-;
当直线l过点A时,设直线的斜率为k2,
则k2==1.
故要使直线l过点P(1,0),
且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线的斜率的取值范围为
(-∞,-]∪[1,+∞).故选ACD.
8.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b=　　　　.
答案　1
解析　由题意,得2==,
∴a=4,b=-3,∴a+b=1.
9.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.
答案　(3,0)或(0,3)
解析　由题意知,kPA=-1.
若点P在x轴上,可设P(m,0)(m≠1),
则=-1,解得m=3;
若点P在y轴上,可设P(0,n),
则=-1,解得n=3.
故点P的坐标为(3,0)或(0,3).
10.已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.
答案　-
解析　设直线l,l'的倾斜角分别为α,β,
则tan α=2,
因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',所以β=α+60°,
所以直线l'的斜率为k=tan(α+60°)===-.
11.分别判断下列三点是否在同一直线上.
(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7);
(2)D(-1,4),E(2,1),F(-2,5);
(3)M(1,2),N(1,3),P(1,-1).
解　(1)因为kAB==,
kAC==,kAB≠kAC,
所以A,B,C三点不共线.
(2)法一　因为kDF==-1,
kEF==-1,则kDF=kEF,
又因为直线DF,EF有公共点F,
所以D,E,F三点共线.
法二　因为=(-1,1),=(-4,4),
所以=4,所以与共线且它们有公共点F,
所以D,E,F三点共线.
(3)因为三点的横坐标均为1,
所以三点均在直线x=1上,
所以M,N,P三点共线.
二、综合运用
12.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
答案　B
解析　由直线的倾斜角α的取值范围是,
得直线的斜率存在时,k<-1或k>1.
当m≠2时,k==,
∴<-1或>1,
解得0当直线的斜率不存在时,m=2符合题意.
综上,实数m的取值范围是(0,4).
13.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　.
答案　
解析　当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角α=;
当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率
k=tan α=-.
∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
又α∈[0,π),∴α∈∪.
综上可知,倾斜角α的取值范围是.
14.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1),
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化范围.
解　(1)由斜率公式得kAB==0,
kAC==.
(2)如图所示.
kBC==.
设直线CD的斜率为k,
当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,
当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,
此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为.
三、拓展提高
15.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案　B
解析　设A(a,b)是直线l上任意一点,
则平移后得到点A'(a-2,b+2),
于是直线l的斜率k=kAA'==-1.
16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值与最小值.
解　如图所示,由=的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB.
由已知可得A(1,1),B(-1,5),
∴kPA==,kPB==8,
∴≤k≤8.
故(-1≤x≤1)的最大值为8,最小值为.

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