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2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
一、基础巩固
1.下列说法正确的是(　　)
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两条直线的斜率之积为-1
D.只有斜率相等的两条直线才能平行
2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　)
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
3.直线l1的倾斜角α1=30°,若直线l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　)
A.- B.
C.- D.
4.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则直线AB与直线CD(　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上都不正确
5.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
6.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
7.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是(　　)
A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1
B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,)
C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0)
D.l1的一个方向向量为(1,m),l2的一个方向向量为
8.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　;若直线l1⊥l2,则a=　　　　.
9.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=　　　　.
10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为　　　　.
11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值.
二、综合运用
12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为(　　)
A.(1,-1) B.
C. D.
13.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为　　　　m.
14.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判定 ABCD是否为菱形
三、拓展提高
15.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为　　　　.
16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
一、基础巩固
1.下列说法正确的是(　　)
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两条直线的斜率之积为-1
D.只有斜率相等的两条直线才能平行
答案　B
解析　因为当两条直线的倾斜角为90°时,两条直线平行,但是没有斜率,故A不正确;
平行的两条直线的倾斜角一定相等,故B正确;
垂直的两条直线的斜率存在时,斜率之积为-1,当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,两直线也垂直,故C不正确;
斜率不存在的两条直线也能够平行,故D不正确.
2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　)
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
答案　D
解析　方程x2-3x-1=0有两个不同实根,且两根之积为-1,
即直线l1,l2的斜率之积为-1,
所以l1与l2垂直.
3.直线l1的倾斜角α1=30°,若直线l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　B
解析　直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1∥l2,则l2的倾斜角也等于30°,
∴l2的斜率为tan 30°=.
4.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则直线AB与直线CD(　　)
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上都不正确
答案　A
解析　由题意知kAB==,
kCD==,∴kAB=kCD,
同理可知kAC≠kBD,故A,B,C,D不共线,
∴两直线平行.
5.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
答案　B
解析　∵kPQ==-1,kPQ·kl=-1,
∴l的斜率为1,倾斜角为45°.
6.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
答案　C
解析　∵kAB==-,
kAC==,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,
∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.
7.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是(　　)
A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1
B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,)
C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0)
D.l1的一个方向向量为(1,m),l2的一个方向向量为
答案　BCD
解析　l1的倾斜角为45°,则其斜率为tan 45°=1,
所以l1∥l2或l1与l2重合,所以A不符合题意;
l2经过点A(2,0),B(3,),
则其斜率为==,
因为×=-1,
所以l1⊥l2,所以B符合题意;
l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),
则有kPQ==1,
l2经过点M(-1,2),N(1,0),
则有kMN==-1,
因为kPQ·kMN=-1,
所以l1⊥l2,所以C符合题意;
l1的一个方向向量为(1,m),
则=m,l2的一个方向向量为,
则=-,·=-1,
所以l1⊥l2,所以D符合题意.故选BCD.
8.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　;若直线l1⊥l2,则a=　　　　.
答案　5　
解析　若l1∥l2,则=3,解得a=5;
若l1⊥l2,则·3=-1,解得a=.
9.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=　　　　.
答案　-
解析　因为l1∥l2,所以=2,解得x=3.
所以lo3=-.
10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为　　　　.
答案　(6,-2)
解析　设点C的坐标为(x,y),直线AH的斜率kAH==0,
∵BC⊥AH,而点B的横坐标为6,
则x=6,直线BH的斜率kBH==2,
∴直线AC的斜率kAC==-,
∴y=-2,∴点C的坐标为(6,-2).
11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值.
解　设直线l2的斜率为k2,
则k2==-.
①当a=4时,l1的斜率不存在,
k2=-,不符合题意;
②当a≠4时,l1的斜率存在,此时k1=.
由k1·k2=-1,得-·=-1,
解得a=3或a=-4.
∴当a=3或a=-4时,l1⊥l2.
二、综合运用
12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为(　　)
A.(1,-1) B.
C. D.
答案　AC
解析　若∠A=∠D=90°,如图①,由题可知AB∥DC,AD⊥CD,
又kCD=0,所以A(1,-1).
若∠A=∠B=90°,如图②.
设A(a,b),则kBC=-3,kAD=,
kAB=.
由AD∥BC,得kAD=kBC,即=-3.
由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1,
即·(-3)=-1,
解得故A.
综上所述,点A的坐标为(1,-1)或.故选AC.
13.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为　　　　m.
答案　
解析　以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,3),D(5,3),C(5,0),
设M(x,0),0由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在,由于AC与DM互相垂直,
所以kAC·kDM=-1,
即·=-1,解得x=,
所以BM的长为 m.
14.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判定 ABCD是否为菱形
解　(1)设点D的坐标为(a,b),
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以kAB=kCD,kAD=kBC,
所以解得
所以D(-1,6).
(2)因为kAC==1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1,
所以AC⊥BD ,所以 ABCD为菱形.
三、拓展提高
15.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为　　　　.
答案　6
解析　以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,垂直于l1的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设B(a,-2),C(b,3).
∵AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1,
∴·=-1,
则ab-6=0,ab=6,b=,
∴Rt△ABC的面积S=|AB|·|AC|
=·=·
=≥=6(当且仅当a2=4时取等号).
16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
解　(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3,
由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN=-1,
即×3=-1.①
由已知得kPN=-2,
由PN∥MQ,可得kPN=kMQ,
即=-2.②
联立①②求解得x=0,y=1,即Q(0,1).
(2)设Q(x,0),
∵∠NQP=∠NPQ,
∴kNQ=-kNP,
又∵kNQ=,kNP=-2,
∴=2,即x=1,∴Q(1,0).
又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.

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