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2.2.1　直线的点斜式方程
一、基础巩固
1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为(　　)
A.x=3 B.x=-2
C.y=3 D.y=-2
2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为(　　)
A.9 B.-9 C. D.-
3.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.与直线y=x平行,且过点(-4,3)的直线的方程为(　　)
A.y-3=-(x+4) B.y+3=(x-4)
C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4)
5.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　)
A.-1 B.1 C.-5 D.5
6.(多选)倾斜角为120°且在y轴上的截距绝对值为2的直线的方程为(　　)
A.y=-x+2 B.y=-x-2
C.y=x+2 D.y=x-2
7.(多选)已知直线l:y=x-1,则(　　)
A.直线l过点(,-2)
B.直线l的斜率为
C.直线l的倾斜角为60°
D.直线l在y轴上的截距为1
8.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.
9.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的方程是　　　　.
10.已知直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　.
11.写出下列直线的斜截式方程:
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2;
(2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是-1.
二、综合运用
12.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是(　　)
13.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.
14.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.
三、拓展提高
15.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC,则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　.
16.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-32.2.1　直线的点斜式方程
一、基础巩固
1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为(　　)
A.x=3 B.x=-2
C.y=3 D.y=-2
答案　D
解析　∵直线与x轴平行,
∴其斜率为0,
∴直线的方程为y=-2.
2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为(　　)
A.9 B.-9 C. D.-
答案　B
解析　由y+=(x-1),得y=x-9,
∴l在y轴上的截距为-9.
3.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案　B
解析　由题意可知a·(a+2)=-1,
解得a=-1.
4.与直线y=x平行,且过点(-4,3)的直线的方程为(　　)
A.y-3=-(x+4) B.y+3=(x-4)
C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4)
答案　C
解析　由y=x的斜率k=,
从而所求直线的斜率也为.
又所求直线过点(-4,3),
故所求直线的方程为y-3=[x-(-4)],
即y-3=(x+4).
5.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　)
A.-1 B.1 C.-5 D.5
答案　A
解析　因为直线l的方向向量为(1,-2),
所以直线l的斜率k=-2,
又直线l过点(-3,4),
所以直线l的方程为y-4=-2(x+3),
令y=0,得x=-1,
所以l在x轴上的截距为-1.
6.(多选)倾斜角为120°且在y轴上的截距绝对值为2的直线的方程为(　　)
A.y=-x+2 B.y=-x-2
C.y=x+2 D.y=x-2
答案　AB
解析　由倾斜角为α=120°得k=tan α=tan 120°=-,又纵截距为±2,
故y=-x±2,选AB.
7.(多选)已知直线l:y=x-1,则(　　)
A.直线l过点(,-2)
B.直线l的斜率为
C.直线l的倾斜角为60°
D.直线l在y轴上的截距为1
答案　BC
解析　对于A,将(,-2)代入y=x-1,可知不满足方程,故A不正确;
对于B,由y=x-1,知直线l的斜率为,故B正确;
对于C,设直线l的倾斜角为α,则tan α=,可得α=60°,故C正确;
对于D,由y=x-1,令x=0,可得直线l在y轴上的截距为-1,故D不正确.
8.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.
答案　y=-x+4　(0,4)
解析　设所求直线斜率为k,则2k=-1,
即k=-,又在y轴上的截距为4,
则直线为y=-x+4,与y轴交点为(0,4).
9.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的方程是　　　　.
答案　y=x-6或y=-x-6
解析　与y轴相交成30°角的直线的斜率为:
k=tan 60°=,或k=tan 120°=-,
∴在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是:y=x-6或y=-x-6.
10.已知直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　.
答案　y-4=-(x-3)
解析　直线y=x+1的斜率k=1,
所以倾斜角为45°.
由题意知,直线l的倾斜角为135°,
所以直线l的斜率k'=tan 135°=-1,
又点P(3,4)在直线l上,
所以直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).
11.写出下列直线的斜截式方程:
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2;
(2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是-1.
解　(1)斜率k=tan 45°=1,可得斜截式方程为y=x+2.
(2)由题意知直线过点(3,1),(0,-1),
∴斜率k==,
可得斜截式方程为y=x-1.
二、综合运用
12.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是(　　)
答案　ABD
解析　①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距为a>0,A,B,C,D都不成立;
②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A,B,C,D都不成立;
③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0,只有C可能成立.
13.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示.
若l与线段AB相交,
则kPA≤k≤kPB,
因为kPA==-2,
kPB==,
∴-2≤k≤.
14.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-2=k(x-2),
令y=0,得x=,
由三角形的面积为2,得××2=2,
解得k=.
可得直线l的方程为y-2=(x-2),
即y=x+1.
综上可知,直线l的方程为x=2或y=x+1.
三、拓展提高
15.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC,则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　.
答案　y=-x+
解析　因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上,
设线段BC的垂直平分线的斜率为k,
则k·kBC=-1,
因为kBC==3,所以k=-,
又因为BC的中点坐标为,
所以△ABC的欧拉线方程为
y-=-,
化成斜截式为y=-x+.
16.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-3(1)证明　由y=kx+2k+1,
得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).
(2)解　设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示),
若使当-3需满足即
解得-≤k≤1.
所以,实数k的取值范围是.

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