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2.2.2　直线的两点式方程
一、基础巩固
1.过点(1,2),(5,3)的直线的方程是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(　　)
A.2 B.-3
C.-27 D.27
3.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　　)
A.- B.
C.- D.
4.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可以为(　　)
A.x+y-5=0 B.x-y-5=0
C.x-4y=0 D.x+4y=0
5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线满足(　　)
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
6.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
7.某地汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　)
A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg
8.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两点的直线上,则x的值是　　　　.
9.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线的方程为　　　　　　.
10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是　.
11.已知直线l过点P(4,1).
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
二、综合运用
12.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有(　　)
A.(-9,8) B.(3,1)
C.(7,-1) D.(12,-4)
13.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为　　　　.
14.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.
(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;
(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.
三、拓展提高
15.过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,则可作出的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.多于3
16.一河流同侧有两个村庄A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m,且两村相距500 m,问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省
2.2.2　直线的两点式方程
一、基础巩固
1.过点(1,2),(5,3)的直线的方程是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
答案　B
解析　∵所求直线过点(1,2),(5,3),
∴所求直线方程是=.
2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(　　)
A.2 B.-3
C.-27 D.27
答案　D
解析　由两点式得直线方程为=,
即x+5y-27=0,令y=0,得x=27.
3.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　A
解析　由两点式方程=,知直线l过点(-5,0),(3,-3),
所以l的斜率为=-.
4.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可以为(　　)
A.x+y-5=0 B.x-y-5=0
C.x-4y=0 D.x+4y=0
答案　AC
解析　当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,
即x-4y=0;
当直线不过点(0,0)时,
可设直线方程为+=1,
把(4,1)代入,解得a=5,
所以直线方程为x+y=5.
综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.
5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线满足(　　)
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
答案　A
解析　由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),
再由两点式可得直线MN的方程为=,即2x+y-8=0.
6.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
答案　A
解析　将两方程化为截距式l1:+=1,l2:+=1.
假定l1的位置,判断a,b的正负,从而确定l2的位置,知A项符合.
7.某地汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　)
A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg
答案　C
解析　由图知点A(60,6),B(80,10),
由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6.
依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg行李.
8.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两点的直线上,则x的值是　　　　.
答案　-3
解析　过M,N两点的直线方程为=,
又P(x,2)在此直线上,所以当y=2时,x=-3.
9.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线的方程为　　　　　　.
答案　2x-y=0或x-y+1=0
解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时,得直线方程为2x-y=0;
当在坐标轴上的截距不为零时,
可设直线方程为-=1,
将x=1,y=2代入方程可得a=-1,
得直线方程为x-y+1=0.
∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是　.
答案　∪
解析　设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;
过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴的截距为-3,此时k=,
满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪.
11.已知直线l过点P(4,1).
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
解　(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),
∴直线l的方程为=,
即x+y-5=0.
(2)由题意知,若直线过原点,
则有=,即x-4y=0;
若直线不过原点,则直线l的斜率存在且不为0,故设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,
∴该直线的方程可设为+=1,
即+=1,
解得a=,即2x+y-9=0,
综上,直线l的方程为x-4y=0或2x+y-9=0.
二、综合运用
12.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有(　　)
A.(-9,8) B.(3,1)
C.(7,-1) D.(12,-4)
答案　AD
解析　点(2,4)关于y轴的对称点为(-2,4),则反射光线所在的直线经过点(-2,4)和点(5,0),则反射光线所在直线的方程为=,即4x+7y-20=0.
将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A,D选项符合题意.
13.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为　　　　.
答案　2x+y-6=0
解析　设直线的方程为+=1(a>0,b>0),
因为直线过点P(1,4),所以+=1.
则截距之和a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即2a=b时取得最小值,
所以+=1,解得a=3,则b=6,
所以直线的方程为+=1,
即2x+y-6=0.
14.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.
(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;
(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.
解　设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,
则由直线的截距式方程得直线l的方程为
+=1.
将P(1,4)代入直线l的方程得,
+=1.(*)
(1)依题意得,ab=9,即ab=18,
由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a,
∴a(18-4a)=18,整理得2a2-9a+9=0,
解得a1=3,a2=,则b1=6,b2=12.
因此直线l的方程为+=1或+=1,
整理得,2x+y-6=0或8x+y-12=0.
(2)由+=1≥2,得ab≥16,
从而S=ab≥8,
当且仅当=,即a=2,b=8时取等号,
因此S的最小值为8,且此时直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0.
三、拓展提高
15.过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,则可作出的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.多于3
答案　B
解析　∵l过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,
∴可设l:+=1.
又l过点(1,3),
∴+=1,整理得=.
当a=1,b∈N*时,等式显然不成立;
当a≥2且a∈N*时,
b===3+.
∵b∈N*,∴a-1=1或a-1=3,
解得a=2或a=4.
当a=2时,b=6;当a=4时,b=4.
∴满足题意的直线l的方程为+=1或+=1,
∴满足题意的直线l有2条.故选B.
16.一河流同侧有两个村庄A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m,且两村相距500 m,问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省
解　如图,以河流所在直线为x轴,y轴通过点A,建立直角坐标系,
则点A(0,300),B(x,700),设B点在y轴上的射影为H,
则x=|BH|==300,
故点B(300,700),
设点A关于x轴的对称点A'(0,-300),
则直线A'B的斜率k=,直线A'B的方程为
y=x-300.
令y=0得x=90,得点P(90,0),
故水电站建在河边P(90,0)处电线用料最省.

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