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2.2.3　直线的一般式方程
一、基础巩固
1.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于(　　)
A. B.-5 C. D.-3
2.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　)
A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0
3.过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线的方程是(　　)
A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x+2y+5=0
4.若(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线,则m的值为(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.3
5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　)
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
6.(多选)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.5
7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
8.斜率为2,且经过点A(5,3)的直线的一般式方程为　　　　.
9.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0.若l1∥l2,则a=　　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　.
10.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按顺时针方向旋转90°所得的直线的方程是　　　　.
11.求满足下列条件的直线的一般式方程.
(1)斜率为-2,经过点(3,4);
(2)斜率为2,在y轴上的截距为3;
(3)经过两点(-2,-1)和(-1,5);
(4)在x轴、y轴上的截距分别为-4和2.
二、综合运用
12.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A,B,C需满足条件(　　)
A.A,B,C同号 B.AC<0,BC<0
C.C=0,AB<0 D.A=0,BC<0
13.若直线的截距式+=1化为斜截式为y=-2x+b,化为一般式为bx+ay-8=0且a>0,则a+b=　　　　.
14.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边上的中垂线的方程.
三、拓展提高
15.(多选)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
2.2.3　直线的一般式方程
一、基础巩固
1.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于(　　)
A. B.-5 C. D.-3
答案　D
解析　令y=0,得x+9=0,
即x=-3.
2.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　)
A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0
答案　C
解析　由截距式得直线方程为+=1,
整理得4x-3y+12=0.
3.过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线的方程是(　　)
A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x+2y+5=0
答案　C
解析　由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0(c≠-2).
因为(5,0)在该直线上,
所以5+2×0+c=0,得c=-5,
故该直线方程为x+2y-5=0.
4.若(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线,则m的值为(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.3
答案　D
解析　∵(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线,
∴=tan 45°=1,且m≠±2,
解得m=3或m=2(舍去).故选D.
5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　)
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
答案　A
解析　原方程化为+=1,
∴=-1,∴b=-1.
又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a,
且x-y-=0的倾斜角为60°,
∴k=tan 120°=-,∴a=-.
6.(多选)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.5
答案　CD
解析　直线x+y=0与x-y=0都经过原点,
而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点,
因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线x+ay=3与另两条直线不平行,
所以a≠±1.
7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
答案　C
解析　将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b,
l2:y=bx+a.
A中,由图知l1∥l2,而a≠b,故A错误;
B中,由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知b>0,a>0,两者矛盾,故B错误;
C中,由l1的图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故C正确;
D中,由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知a>0,b>0,两者矛盾,故D错误.
8.斜率为2,且经过点A(5,3)的直线的一般式方程为　　　　.
答案　2x-y-7=0
解析　直线的点斜式方程为y-3=2(x-5),
整理可得直线的一般式方程为2x-y-7=0.
9.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0.若l1∥l2,则a=　　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　.
答案　　-7
解析　若l1∥l2,则2(a+1)-3×1=0,
解得a=.
若l1⊥l2,则(a+1)×1+3×2=0,
解得a=-7.
10.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按顺时针方向旋转90°所得的直线的方程是　　　　.
答案　x+2y+4=0
解析　直线2x-y-2=0与y轴的交点为A(0,-2),
∵所求直线过点A且斜率为-,
∴所求直线的方程为y+2=-x,
即x+2y+4=0.
11.求满足下列条件的直线的一般式方程.
(1)斜率为-2,经过点(3,4);
(2)斜率为2,在y轴上的截距为3;
(3)经过两点(-2,-1)和(-1,5);
(4)在x轴、y轴上的截距分别为-4和2.
解　(1)k=-2,过点(3,4),
由点斜式得直线方程为y-4=-2(x-3),
即2x+y-10=0.
(2)k=2,在y轴上的截距是3,
由斜截式得直线方程为y=2x+3,
即2x-y+3=0.
(3)直线经过两点(-2,-1)和(-1,5),
由两点式得直线方程为=,
即6x-y+11=0.
(4)直线在x,y轴上的截距分别为-4和2,
由截距式得直线方程为+=1,
即x-2y+4=0.
二、综合运用
12.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A,B,C需满足条件(　　)
A.A,B,C同号 B.AC<0,BC<0
C.C=0,AB<0 D.A=0,BC<0
答案　A
解析　由已知可推出B≠0,
∴原方程可化为y=-x-(B≠0).
∵直线过第二、三、四象限,
∴其斜率小于0,y轴上的截距小于0,
即-<0,且-<0.
∴>0,且>0,
即A,B同号,B,C同号.
∴A,B,C同号.
13.若直线的截距式+=1化为斜截式为y=-2x+b,化为一般式为bx+ay-8=0且a>0,则a+b=　　　　.
答案　6
解析　由+=1同乘b得y=-x+b,
故-=-2,①
由+=1同乘ab得bx+ay-ab=0,
故-ab=-8,②
解①②得a=2(-2舍),b=4,故a+b=6.
14.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边上的中垂线的方程.
解　(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为+=1,即x-2y+8=0.
由两点式,得边AB所在直线的方程为=,
即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),
由两点式,得BD所在直线的方程为=,
即2x-y+10=0.
(3)由kAC=,
得AC边上的中垂线的斜率为-2.
又AC的中点坐标为(-4,2),
由点斜式,得AC边上的中垂线的方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.
三、拓展提高
15.(多选)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
答案　BD
解析　对于A,当k=0时,直线l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误.
对于B,直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),即k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),而定点在直线l1上,故B正确.
对于C,当k=-时,直线l2的方程为x-y-=0,
即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误.
对于D,若两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,
故对任意的k,l1与l2都不垂直,故D正确.
16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明　直线l的方程可化为y-1=k(x+2),由点斜式方程可知,直线l过定点(-2,1).
(2)解　由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,
要使直线不经过第四象限,
则必须有解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意,
故k的取值范围是[0,+∞).
(3)解　由题意可知k≠0,再由l的方程,
得A,B(0,1+2k).
依题意得解得k>0.
∵S=|OA|·|OB|=·|1+2k|=·
=≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.

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