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2.3.1　两条直线的交点坐标
一、基础巩固
1.直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0的交点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
2.已知方程kx-y-1=3k,当实数k变化时,方程表示的所有直线都通过的定点坐标为(　　)
A.(0,0) B.(0,1)
C.(3,1) D.(3,-1)
3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线的方程为(　　)
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
4.下列直线中与直线2x-y-3=0相交的是(　　)
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
5.(多选)直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值可以为(　　)
A.-1 B.0 C.2 D.3
6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直,垂足为(2,p),则p-m-n的值为(　　)
A.-6 B.6 C.4 D.10
7.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(　　)
A. B.1+
C.1+ D.2-
8.若三条直线y=2x,x+y=3,mx-2y-5=0相交于同一点,则实数m=　　　　.
9.若一条直线经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且该直线的一个方向向量为v=(2,4),则该直线的方程为　　　　.
10.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点在第四象限,则m的取值范围为　　　　.
11.求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程:
(1)与直线2x+y+5=0平行;
(2)与直线2x+y+5=0垂直.
二、综合运用
12.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　)
A. B.
C. D.
13.已知直线l1:kx+y-1=0,l2:x+ky+1=0,若l1∥l2,则k=　　　　;若曲线y=|x|与直线l1有两个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.
14.已知直线l:6x-y+1=0.
(1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程;
(2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围.
三、拓展提高
15.平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分,则实数k的取值集合是　　　　.
16.已知02.3.1　两条直线的交点坐标
一、基础巩固
1.直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0的交点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由得
故交点坐标为.
2.已知方程kx-y-1=3k,当实数k变化时,方程表示的所有直线都通过的定点坐标为(　　)
A.(0,0) B.(0,1)
C.(3,1) D.(3,-1)
答案　D
解析　法一　将点的坐标依次代入,只有选项D符合;
法二　将直线方程化为y+1=k(x-3)可得定点(3,-1),选D.
3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线的方程为(　　)
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
答案　D
解析　由题意知
解得
所以直线l1与l2的交点为P,
所以过点P与原点的直线斜率为-,直线方程为y=-x,即3x+19y=0.
4.下列直线中与直线2x-y-3=0相交的是(　　)
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
答案　D
解析　选项B,C中的直线与直线2x-y-3=0平行;当a≠0时,选项A中的直线的斜率为2,与直线2x-y-3=0平行或重合,只有选项D中直线与2x-y-3=0相交.
5.(多选)直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值可以为(　　)
A.-1 B.0 C.2 D.3
答案　AB
解析　两直线无公共点,即两直线平行.
当a=0时,这两条直线分别为x+6=0和x=0,无公共点.
当a≠0时,=≠,解得a=-1.
综上,a=0或a=-1.
6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直,垂足为(2,p),则p-m-n的值为(　　)
A.-6 B.6 C.4 D.10
答案　C
解析　∵直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直,
∴2×3-2m=0,解得m=3,
由垂足在两直线上可得
解得
∴p-m-n=4.
7.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(　　)
A. B.1+
C.1+ D.2-
答案　A
解析　lAC:+=1,即3x+2y-6=0.
由得
因为S△ABC=,
所以×a×=,
得a=或a=-(舍去).
8.若三条直线y=2x,x+y=3,mx-2y-5=0相交于同一点,则实数m=　　　　.
答案　9
解析　联立解得
即(1,2)为三条直线的交点坐标,把(1,2)代入直线方程mx-2y-5=0,
得m-2×2-5=0,即m=9.
9.若一条直线经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且该直线的一个方向向量为v=(2,4),则该直线的方程为　　　　.
答案　2x-y-1=0
解析　联立方程解得
所以直线l1与l2的交点为(1,1),
因为所求直线的一个方向向量为v=(2,4),
所以该直线的斜率为2,
故该直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
10.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点在第四象限,则m的取值范围为　　　　.
答案　
解析　由得
∴交点坐标为.
∵交点在第四象限,
∴解得-1∴m的取值范围是.
11.求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程:
(1)与直线2x+y+5=0平行;
(2)与直线2x+y+5=0垂直.
解　法一　由
解得
所以交点M的坐标为(-1,2).
(1)斜率k=-2,由点斜式得所求直线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0.
(2)斜率k=,由点斜式得所求直线方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
法二　设直线方程为(3x+4y-5)+λ(2x-3y+8)=0,
即(3+2λ)x+(4-3λ)y+(-5+8λ)=0.( )
(1)因为与直线2x+y+5=0平行,
所以(3+2λ)×1-(4-3λ)×2=0,解得λ=.
经检验λ=符合题意.
代入( )式化简得2x+y=0.
(2)因为与直线2x+y+5=0垂直,
所以2×(3+2λ)+1×(4-3λ)=0,解得λ=-10.
代入( )式化简得x-2y+5=0.
二、综合运用
12.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由2a+b=1,得b=1-2a,
代入直线方程ax+3y+b=0中,
得ax+3y+1-2a=0,
即a(x-2)+3y+1=0,
令 解得
所以该直线必过定点.
13.已知直线l1:kx+y-1=0,l2:x+ky+1=0,若l1∥l2,则k=　　　　;若曲线y=|x|与直线l1有两个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.
答案　1　(-1,1)
解析　因为l1∥l2,
所以k2-1=0,即k=±1,经检验k=1.
y=|x|=
直线l1化为y=-kx+1,恒过(0,1),
画出函数图象,如图,因为曲线y=|x|与直线l1有两个公共点,
所以-k=0或0<-k<1或-1<-k<0,
即-114.已知直线l:6x-y+1=0.
(1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程;
(2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围.
解　(1)因为直线m平行于l,
可设直线m的方程为6x-y+c=0(c≠1),
又因为直线m经过点A(-1,-4),
所以-6+4+c=0,
解得c=2,可知直线m的方程为6x-y+2=0.
(2)联立方程组
解得
因为它们的交点在第二象限,
所以解得即b的取值范围为.
三、拓展提高
15.平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分,则实数k的取值集合是　　　　.
答案　{0,-1,-2}
解析　因为平面上三条直线x-2y+1=0,
x-1=0,x+ky=0将平面分为六部分,
所以包含以下情况:
①直线x-2y+1=0和直线x-1=0的交点是(1,1),直线x+ky=0过这两条直线的交点,所以k=-1;
②直线x+ky=0与直线x-1=0平行或与直线x-2y+1=0平行,所以k=0或-2.
综上,实数k的取值集合是{0,-1,-2}.
16.已知0解　由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如图,所以四边形的面积S=×(2k2+2-2)×4+(4-k+4)×2×=4k2-k+8(0故四边形面积最小时,k=.

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