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2.3.2　两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于(　　)
A.5 B. C. D.4
2.已知直线l1:x+2y-5=0,直线l2:3x-y-1=0的交点为A,O为坐标原点,则点A到原点的距离为(　　)
A.1 B.2 C. D.
3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为(　　)
A.(-2,0) B.(1,0)
C. D.(,0)
4.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是(　　)
A.2 B.3 C. D.
5.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P(x,y)满足的方程是(　　)
A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
6.(多选)对于,下列说法正确的是(　　)
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离
D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离
7.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
8.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=　　　　.
9.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是　　　　.
10.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=　　　　.
11.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
二、综合运用
12.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是(　　)
A.0 B.2 C.4 D.
13.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=　　　　.
14.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.
三、拓展提高
15.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)两点的距离相等,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.
2.3.2　两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于(　　)
A.5 B. C. D.4
答案　A
解析　|MN|===5.
2.已知直线l1:x+2y-5=0,直线l2:3x-y-1=0的交点为A,O为坐标原点,则点A到原点的距离为(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　解方程组
得即A(1,2),
而O为坐标原点,则|AO|==,
所以点A到原点的距离为.
3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为(　　)
A.(-2,0) B.(1,0)
C. D.(,0)
答案　D
解析　设点M的坐标为(x,0),
根据题意得x2=52+(-3)2,
解得x=±.
又点M在x轴的正半轴上,
所以点M的坐标为(,0),故选D.
4.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　C
解析　由中点坐标公式可得,
BC边的中点D.
由两点间的距离公式得
|AD|==.
5.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P(x,y)满足的方程是(　　)
A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
答案　B
解析　由题意,得
=,
即3x+y+4=0.
6.(多选)对于,下列说法正确的是(　　)
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离
D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离
答案　BCD
解析　=
==,
可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离,可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离,可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离,故选项A不正确.
7.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
答案　C
解析　|AB|==
==2,
|BC|===
=4,|AC|===2,
∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,
∴△ABC为直角三角形.
8.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=　　　　.
答案　
解析　由题意知kAB==b-a=1,
所以|AB|==.
9.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是　　　　.
答案　
解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为=
=≥=.
10.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=　　　　.
答案　
解析　直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),
直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B,
由两点间的距离公式,得|AB|=.
11.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
解　由题易知a≠0,直线ax+2y-1=0中,
令y=0,有x=,则A,
令x=0,有y=,则B,
故AB的中点为,
∵线段AB的中点到原点的距离为,
∴=,
解得a=±2.
二、综合运用
12.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是(　　)
A.0 B.2 C.4 D.
答案　B
解析　S=+可以看作是点(x,y)到点(-1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合(图略)易知最小值为2.
13.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=　　　　.
答案　10
解析　以C为原点,AC,BC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系(图略),
设A(4a,0),B(0,4b),则D(2a,2b),P(a,b),
所以|PA|2=9a2+b2,|PB|2=a2+9b2,
|PC|2=a2+b2,
于是|PA|2+|PB|2=10(a2+b2)=10|PC|2,
即=10.
14.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.
证明　如图,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则点A的坐标为(0,0).
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
由中点坐标公式,知边BC的中点M的坐标为,
则|AM|==.
又|BC|==,
∴|AM|=|BC|.
三、拓展提高
15.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)两点的距离相等,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
答案　C
解析　由题意得
=,
整理得x+2y=3,
因为2x>0,4y>0,
所以2x+4y=2x+22y≥2
=2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时等号成立,
所以2x+4y的最小值为4.
16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),
B(b,0),C(0,c),F(0,0),
则直线CF的方程为x=0.
由直线的截距式方程可得直线AC的方程为+=1,即cx+ay-ac=0.
同理,可得直线BC的方程为
cx+by-bc=0.
由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为,
由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a).
同理,得直线BE的方程为y=(x-b).
设直线CF和直线AD交于点O,
由
得点O的坐标为.
又O点坐标也满足直线BE的方程,
所以直线BE也过点O.
所以AD,BE,CF三线共点.

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