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2.3.3　点到直线的距离公式
一、基础巩固
1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　)
A. B. C. D.2
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　)
A. B.-1 C.+1 D.2-
3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是(　　)
A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0
C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0
4.(多选)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
A.- B.- C. D.
5.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
6.(多选)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　)
A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0
C.x=3 D.y=3
7.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
8.点P(-1,1)到直线l:4x=3的距离是　　　　.
9.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线的方程为　　　　.
10.已知直线l1:mx+y=4-3m,l2:2x+(m-1)y=-m,则原点O到l1距离的最大值是　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　.
11.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且与点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程.
二、综合运用
12.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　)
A.(-1,0) B.
C.(1,6) D.
13.在平面直角坐标系Oxy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
三、拓展提高
15.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.
16.已知△ABC的重心G(1,1),B,C在直线x-y-2=0上运动,且BC=3.
(1)求S△ABC;
(2)点B是否存在一个位置,使得△ABC的面积被x轴平分,若存在,求出点B的坐标;若不存在,说明理由.
2.3.3　点到直线的距离公式
一、基础巩固
1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　)
A. B. C. D.2
答案　A
解析　直线化为2x-y+1=0,
d===.
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　)
A. B.-1 C.+1 D.2-
答案　B
解析　由点到直线的距离公式,
得1=,即|a+1|=,
因为a>0,所以a=-1.
3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是(　　)
A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0
C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0
答案　A
解析　设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0(m≠-2),
由原点到直线l的距离为,得=,则m=±10,
所以直线l的方程是3x+y±10=0.
4.(多选)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
A.- B.- C. D.
答案　AB
解析　由点到直线的距离公式可得=,
化简得|3a+3|=|6a+4|,
解得a=-或-.
5.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
答案　B
解析　点M到直线2x+y-1=0的距离,即为|MP|的最小值,
所以|MP|的最小值为=.
6.(多选)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　)
A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0
C.x=3 D.y=3
答案　AC
解析　当直线 l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3满足条件.
直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.
由题意可得=2,解得k=-,
所以直线l的方程为3x+4y-21=0.
综上,可得直线l的方程为x=3或3x+4y-21=0.
7.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
答案　A
解析　直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),
当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点间的距离公式可得d的最大值为
=3.
8.点P(-1,1)到直线l:4x=3的距离是　　　　.
答案　
解析　点P(-1,1)到直线l的距离d==.
9.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线的方程为　　　　.
答案　x-y+10=0或 x-y-10=0
解析　因为直线斜率为tan 60°=,
所以可设直线方程为y=x+b,
化为一般式得x-y+b=0.
由直线与原点的距离为5,
得=5,即|b|=10,
所以b=±10.
所以直线方程为x-y+10=0或x-y-10=0.
10.已知直线l1:mx+y=4-3m,l2:2x+(m-1)y=-m,则原点O到l1距离的最大值是　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　.
答案　5　-1
解析　直线l1:mx+y=4-3m过定点A(-3,4),原点到l1距离的最大值即为点A到原点的距离,
则|AO|==5.
当m=1时,l1:y=-x+1,
l2:x=-,l1与l2不平行;
当m≠1时,l1:y=-mx+4-3m,
l2:y=x-,
∵l1∥l2,
∴解得m=-1.
11.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且与点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程.
解　法一　由
解得即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时,方程为x=2,
点A(-3,1)到l的距离d=|-3-2|=5,满足题意.
②当l与x 轴不垂直时,设斜率为k,
则l的方程为y+=k(x-2),
即kx-y-2k-=0,
由点A(-3,1)到l的距离为5,得=5,
解得k=,
∴l的方程为x-y--=0,
即4x-3y-10=0.
综上,所求直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0.
法二　设l的方程为4x+3y-6+λ(x-3y-4)=0,即(4+λ)x+(3-3λ)y-(6+4λ)=0.
∵点A(-3,1)到l的距离为5,
∴=5,解得λ=或1.
∴直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0.
二、综合运用
12.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　)
A.(-1,0) B.
C.(1,6) D.
答案　AB
解析　由|AB|=5,△ABC的面积为10,
得点C到直线AB的距离为4.
设C(x,3x+3),利用点到直线的距离公式可求得x=-1或x=.
故点C的坐标为(-1,0)或.
13.在平面直角坐标系Oxy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
答案　4
解析　设P,x>0,
则点P到直线x+y=0的距离
d==≥=4,
当且仅当2x=,
即x=时取等号,
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∵点A(5,0)到l的距离为3,
∴=3.
即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=,
∴l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得
所以交点P的坐标为(2,1),如图,
过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax=|PA|=.
三、拓展提高
15.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.
答案　
解析　点P到直线的距离为
d==,
其中sin φ=,cos φ=,
由三角函数的性质易知,
5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],
故d的取值范围为.
16.已知△ABC的重心G(1,1),B,C在直线x-y-2=0上运动,且BC=3.
(1)求S△ABC;
(2)点B是否存在一个位置,使得△ABC的面积被x轴平分,若存在,求出点B的坐标;若不存在,说明理由.
解　(1)G到直线x-y-2=0的距离为
=,
由重心的性质可知,G到直线x-y-2=0的距离为A到直线x-y-2=0的距离的,
所以三角形BC边上的高为3,
故S△ABC=×3×3=9.
(2)假设存在B满足条件,
设B(a,a-2)(a-2<0),C(3+a,1+a),
A(x,y),且△ABC的重心为G(1,1),
则
即
所以kAB==-=1-,
故AB所在直线的方程为
y-a+2=(x-a),
令y=0,解得x=0,
直线AB与x轴的交点M(0,0),
直线x-y-2=0与x轴的交点N(2,0),
|MN|=2,
S△BMN=|MN|·(2-a)=×2×(2-a)
=2-a=,即a=-,
所以B,
这时A在x轴上方,满足题意,
即存在B满足条件.

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