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2.3.4　两条平行直线间的距离
一、基础巩固
1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(　　)
A.1 B. C. D.2
2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A.4 B. C. D.
3.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则(　　)
A.a=6,d= B.a=-6,d=
C.a=-6,d= D.a=6,d=
4.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,4] B.[-16,4]
C.[-4,16] D.[4,16]
5.(多选)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为(　　)
A.3 B.-17 C.-3 D.17
6.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为(　　)
A. B.
C.或 D.0或
7.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|等于(　　)
A. B. C. D.6
8.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　.
9.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C=　　　　.
10.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点　　　　,l1与l2的距离的最大值是　　　　.
11.(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线的方程;
(2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.
二、综合运用
12.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的最大值为(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
13.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线的倾斜角大小为　　　　.
14.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.
(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.
三、拓展提高
15.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,且0≤c≤,d为两直线之间的距离,则d的最大值为　　　　.
16.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限的点;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶ 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
2.3.4　两条平行直线间的距离
一、基础巩固
1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　B
解析　d===.
2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A.4 B. C. D.
答案　D
解析　因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,
所以m=4.
直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0,
由两条平行直线间的距离公式可得
d===.
3.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则(　　)
A.a=6,d= B.a=-6,d=
C.a=-6,d= D.a=6,d=
答案　D
解析　根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0,
可得=≠,可得a=6.
可得两条平行直线为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,
故它们间的距离d==.
4.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,4] B.[-16,4]
C.[-4,16] D.[4,16]
答案　B
解析　直线2x+y-3=0化为4x+2y-6=0,
则两直线之间的距离d=≤,
即|a+6|≤10,解得-16≤a≤4,故选B.
5.(多选)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为(　　)
A.3 B.-17 C.-3 D.17
答案　AB
解析　由题意,n≠0,-=,
所以n=-4,
所以l2:2x-4y-6=0,即x-2y-3=0,
由两平行直线间的距离公式得
=2,
解得m=7或m=-13,
所以m+n=3或m+n=-17.
6.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为(　　)
A. B.
C.或 D.0或
答案　B
解析　∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,
∴=,∴m=2,
∴直线l1:2x+2y-4-2=0,
即x+y-3=0,∴直线l1与直线l2平行,
则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为=.
7.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|等于(　　)
A. B. C. D.6
答案　D
解析　3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d1==,
4x-6y+c1=0与4x-6y+c2=0间的距离
d2==|c1-c2|,
又由正方形特点可知d1=d2,
即=|c1-c2|,
解得|c1-c2|=6.
8.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　.
答案　
解析　3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0.
|PQ|的最小值即为两平行线间距离,为=.
9.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C=　　　　.
答案　11或-15
解析　两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0,可得A=3,
即两直线方程为6x-4y-2=0,6x-4y+C=0,两平行直线间的距离为,
可得=,
解得C=11或-15.
10.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点　　　　,l1与l2的距离的最大值是　　　　.
答案　(4,5)　4
解析　∵直线l1:y=kx+1经过定点(0,1),
又两直线关于点(2,3)对称,
则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称,
∴直线l2恒过定点(4,5),
∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离,即为=4.
11.(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线的方程;
(2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.
解　(1)设所求直线的方程为3x+4y+m=0.
由题意知=1,
解得m=3或-7,
所以所求直线的方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.
(2)设所求直线的方程为3x-y+c=0,
由题意,可得点P到直线的距离等于,
即d==,
解得c=9或c=-3,
所以所求直线的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
二、综合运用
12.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的最大值为(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
答案　C
解析　当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,
两平行直线l1,l2间的最大距离为|PQ|==5.
13.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线的倾斜角大小为　　　　.
答案　15°或75°
解析　由两平行直线的距离公式,可得直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0的距离为
d==,
又直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,
即该直线与直线l1所成角为30°,
又直线l1的倾斜角为45°,
则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
14.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.
(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.
解　(1)若l1∥l2,则m≠0且m≠3,
∴=,
∴m=6,
∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0,
∴l1,l2之间的距离d==.
(2)由题意,得,
∴0直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m(3-m)=-+,
∴当m=时,S的最大值为,
此时直线l2的方程为2x+2y-3=0.
三、拓展提高
15.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,且0≤c≤,d为两直线之间的距离,则d的最大值为　　　　.
答案　1
解析　∵a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,∴a+b=-2,ab=c.
又∵0≤c≤,
∴|a-b|==∈[,2],
∴两条平行直线之间的距离
d=∈,即d的最大值为1.
16.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限的点;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶ 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
解　(1)l2的方程即为2x-y-=0,
∴l1和l2的距离d==,
∴=.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,
则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×,
即c=或c=.
∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得=·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵点P在第一象限,
∴3x0+2=0不符合题意.
联立方程
解得x0=-3,y0=,应舍去.
联立
解得x0=,y0=.
∴P即为同时满足三个条件的点.

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