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2.4.1　圆的标准方程
一、基础巩固
1.圆(x-2)2+(y+3)2=11的圆心坐标是(　　)
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
2.点与圆x2+y2=的位置关系是(　　)
A.点在圆外 B.点在圆内
C.点在圆上 D.不确定
3.圆心在x轴上,半径为2,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)
A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4
C.(x+2)2+y2=4 D.(x-2)2+y2=4
4.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称
D.关于直线x+y=0对称
5.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知点A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则△ABC外接圆的标准方程是(　　)
A.x2+(y-3)2=5 B.(x+3)2+y2=5
C.x2+(y+3)2=5 D.(x-3)2+y2=5
7.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
8.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是　　　　　　　　.
9.已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　.
10.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为　　　　.
11.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值;
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.
二、综合运用
12.(多选)若圆C与x轴和y轴均相切,且过点(1,2),则圆C的半径长为(　　)
13.已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为　　　　.
14.已知点A(1,-2),B(-1,4),求
(1)过点A,B且周长最小的圆的方程;
(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
三、拓展提高
15.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆上,则定圆的方程是　　　　.
16.已知某400 m标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m).
(1)求每条直道的长度;
(2)建立平面直角坐标系Oxy,写出该跑道内圈的上半部分对应的函数解析式.
2.4.1　圆的标准方程
一、基础巩固
1.圆(x-2)2+(y+3)2=11的圆心坐标是(　　)
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
答案　C
解析　由圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=11,得圆心为(2,-3),选C.
2.点与圆x2+y2=的位置关系是(　　)
A.点在圆外 B.点在圆内
C.点在圆上 D.不确定
答案　A
解析　由sin2+cos2=1>,
故点在圆外.
3.圆心在x轴上,半径为2,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)
A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4
C.(x+2)2+y2=4 D.(x-2)2+y2=4
答案　A
解析　设圆心(a,0),则=2,即a=1,选A.
4.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称
D.关于直线x+y=0对称
答案　D
解析　易得圆心C(-a,a),即圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称,故选D.
5.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　圆的圆心为(-a,-b).∵直线经过一、二、四象限,∴a<0,b>0,即-a>0,-b<0,
∴圆心在第四象限.
6.已知点A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则△ABC外接圆的标准方程是(　　)
A.x2+(y-3)2=5 B.(x+3)2+y2=5
C.x2+(y+3)2=5 D.(x-3)2+y2=5
答案　B
解析　如图所示,易得外接圆的圆心为M(-3,0),
∴半径r2=|MC|2=5,
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=5.
7.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
答案　AD
解析　令x=0,则y=4;
令y=0,则x=2.
所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).
|AB|==2,以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.
以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
8.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是　　　　　　　　.
答案　(x+1)2+(y-2)2=5
解析　将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),
从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
9.已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　.
答案　-2或-6　(-∞,-6)∪(-2,+∞)
解析　由题意,得+(y-1)2=1,
若点P在圆C上时,+(1-1)2=1,
解得a=-2或a=-6.
若点P在圆C外时,+(1-1)2>1,
解得a<-6或a>-2.
10.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为　　　　.
答案　-4
解析　∵点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,
∴x2-4y=1-y2-4y=-(y+2)2+5.
∵y∈[-1,1],
∴当y=1时,-(y+2)2+5有最小值-4.
11.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值;
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.
解　(1)∵点M(6,9)在圆N上,
∴(6-5)2+(9-6)2=a2,∴a2=10.
又a>0,∴a=.
(2)由已知,得圆心N(5,6).
∵|PN|==,
|QN|==3,
∴|PN|>|QN|,故点P在圆外,点Q在圆内,
∴a的取值范围是(3,).
二、综合运用
12.(多选)若圆C与x轴和y轴均相切,且过点(1,2),则圆C的半径长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
答案　AD
解析　根据题意,若圆C与x轴和y轴均相切,则圆心C在直线y=x或y=-x上,
当圆心C在y=x上时,设圆心C的坐标为(a,a),
此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,
将(1,2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2,
即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,
此时圆的半径长为1或5;
当圆心C在y=-x上时,
设圆心C的坐标为(a,-a),
此时圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,
将(1,2)代入可得(1-a)2+(2+a)2=a2,
即a2+2a+5=0,方程无解,
综上所述,圆的半径长为1或5.
13.已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为　　　　.
答案　(x+2)2+(y-2)2=4　x2+y2=4
解析　由题意可得所求的圆在第二象限,圆心为(-2,2),半径为2,
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4.
设(-2,2)关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b).
则有解得
故所求圆的圆心为(0,0),半径为2,
所以所求圆的标准方程为x2+y2=4.
14.已知点A(1,-2),B(-1,4),求
(1)过点A,B且周长最小的圆的方程;
(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
解　(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.
即AB中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=,
则圆的方程为x2+(y-1)2=10.
(2)法一　AB的斜率为k=-3,
则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,
即x-3y+3=0.由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线交点为圆心,即圆心坐标是C(3,2).
r=|AC|==2.
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
法二　待定系数法
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
则解得
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
三、拓展提高
15.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆上,则定圆的方程是　　　　.
答案　(x-1)2+=
解析　当m=0时,l1:y=0,l2:x=2,
易知P(2,0).
当m≠0时,l1过定点O(0,0),斜率=m,直线l2的方程可化为m(y-1)+x-2=0,
因此l2过定点A(2,1),
斜率=-,则·=-1,
∴直线l1与l2互相垂直,故PO⊥PA,连接OA,则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上,
且圆心为线段AO的中点C,
半径r=|OA|==,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+=.
易知(2,0)在此圆上.
16.已知某400 m标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m).
(1)求每条直道的长度;
(2)建立平面直角坐标系Oxy,写出该跑道内圈的上半部分对应的函数解析式.
解　(1)依题意知,一个半圆弧的长为36π m,
所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m.
(2)如图,设两个半圆的圆心分别为A,B,AB的中点为O,以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则A(18π-100,0),B(100-18π,0),
所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296,
圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296,
所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为
y=

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