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2.4.2　圆的一般方程
一、基础巩固
1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径长分别为(　　)
A.(4,-6),16 B.(2,-3),4
C.(-2,3),4 D.(2,-3),16
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2) B.
C.(-2,0) D.
3.已知点A(2,1)在圆C:x2+y2-2x+my+2=0的外部,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-3,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2)∪(3,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-3,+∞)
4.若圆C:x2+y2-(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.1 B.2
C.2或1 D.-2或-1
5.当圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面积最大时,圆心坐标是(　　)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(-1,1)
6.若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25
7.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　)
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
8.过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的一般方程为　　　　.
9.到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的的点M的轨迹方程为　　　　.
10.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为　　　　.
11.下列方程各表示什么图形 若表示圆,求出其圆心和半径.
(1)x2+y2-4x=0.
(2)x2+y2-4x-2y+5=0.
(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0.
二、综合运用
12.若圆C的方程为x2+y2+mx+2my+(m-2)=0,则圆C的最小周长为(　　)
A. B.
C. D.
13.圆C:x2+y2-4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的方程是　　　　.
14.已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么
三、拓展提高
15.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论错误的是(　　)
A.的最大值为9
B.圆关于直线y=-2x对称
C.F=4
D.圆与y轴相切
16.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W:x2+y4=4,A(0,t),B(2,0),C(0,),D(-2,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的一般方程;
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
2.4.2　圆的一般方程
一、基础巩固
1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径长分别为(　　)
A.(4,-6),16 B.(2,-3),4
C.(-2,3),4 D.(2,-3),16
答案　C
解析　由x2+y2+4x-6y-3=0,得(x+2)2+(y-3)2=16,故圆心为(-2,3),半径长为4.
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2) B.
C.(-2,0) D.
答案　D
解析　由方程表示圆的条件得a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,
即3a2+4a-4<0,解得-23.已知点A(2,1)在圆C:x2+y2-2x+my+2=0的外部,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-3,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2)∪(3,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-3,+∞)
答案　A
解析　将A(2,1)代入方程左侧,则应满足22+12-2×2+m×1+2>0,
解得m>-3.
又因为(-2)2+m2-4×2>0,
解得m>2或m<-2,
∴-32.
4.若圆C:x2+y2-(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.1 B.2
C.2或1 D.-2或-1
答案　A
解析　将(0,0)代入圆的方程得m2-3m+2=0,
即m=1或m=2.
当m=1时,圆的方程为x2+y2+x-y=0,
即+=,满足题意,
当m=2时,x2+y2=0,不满足题意.
5.当圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面积最大时,圆心坐标是(　　)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(-1,1)
答案　B
解析　将圆的一般方程化为标准方程得(x+1)2+(y+k)2=1-k2,
则r=,当k=0时,rmax=1,
此时圆心(-1,0).
6.若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25
答案　C
解析　设顶点为C(x,y),·=0,
即(-3-x,-y)·(7-x,-y)=0,
化简得(x-2)2+y2=25(y≠0).
7.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　)
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
答案　ABC
解析　x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5,
即圆心的坐标为(2,0).
A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故正确;
B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故正确;
C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故正确;
D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故不正确.
8.过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的一般方程为　　　　.
答案　x2+y2-8x+6y=0
解析　设过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0),
则
解得
故所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0.
9.到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的的点M的轨迹方程为　　　　.
答案　(x+1)2+y2=4
解析　设点M的坐标是(x,y),
因为=,所以=,
化简,得x2+y2+2x-3=0,
即所求轨迹方程为(x+1)2+y2=4.
10.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为　　　　.
答案　9π
解析　圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是,
由圆的性质知直线x-y+1=0经过圆心,
∴-+1+1=0,得k=4,
圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为
=3,
∴该圆的面积为9π.
11.下列方程各表示什么图形 若表示圆,求出其圆心和半径.
(1)x2+y2-4x=0.
(2)x2+y2-4x-2y+5=0.
(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0.
解　(1)由方程可知D=-4,E=F=0.
∵D2+E2-4F=D2=16>0,
∴方程表示圆,即有-=2,-=0,
∴圆心为(2,0),
圆的半径r==2.
(2)由方程可知D=-4,E=-2,F=5.
∵D2+E2-4F=16+4-20=0.
∴方程表示一个点,又-=2,-=1,
∴方程表示的点的坐标是(2,1).
(3)原方程可化为x2+y2-x+2y+3=0,
易知D=-,E=2,F=3.
∵D2+E2-4F=+4-12<0,
∴该方程无实数解,方程不表示任何图形.
二、综合运用
12.若圆C的方程为x2+y2+mx+2my+(m-2)=0,则圆C的最小周长为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意知,圆C的半径
r==≥×=,
当且仅当m=时等号成立,
则圆C的最小周长为2πrmin=.
13.圆C:x2+y2-4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的方程是　　　　.
答案　(x+2)2+(y-3)2=5
解析　把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5,∴圆心C(2,-1).
设圆心C关于直线y=x+1的对称点为
C'(x0,y0),则
解得故C'(-2,3),
∴圆C关于直线y=x+1对称的圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=5.
14.已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么
解　设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),
由于点B的坐标为(8,6),且P为线段AB的中点,∴x=,y=,
于是有x0=2x-8,y0=2y-6.
∵点A在圆C上运动,
∴点A的坐标满足方程x2+y2+4x=0,
即++4x0=0,
∴(2x-8)2+(2y-6)2+4(2x-8)=0,
化简整理,得x2+y2-6x-6y+17=0,
即(x-3)2+(y-3)2=1.
故点P的轨迹是以(3,3)为圆心,1为半径的圆.
三、拓展提高
15.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论错误的是(　　)
A.的最大值为9
B.圆关于直线y=-2x对称
C.F=4
D.圆与y轴相切
答案　D
解析　表示圆上动点(x,y)到定点(2,1)的距离,因为圆心(2,-4)到点(2,1)的距离为5,所以圆上动点(x,y)到定点(2,1)的距离的最大值为5+4=9,A正确;
因为圆心(2,-4)在直线y=-2x上,
所以圆关于直线y=-2x对称,B正确;
由题知
解得D=-4,E=8,F=4,C正确;
由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径,
故该圆与x轴相切,与y轴相交,D错误.
16.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W:x2+y4=4,A(0,t),B(2,0),C(0,),D(-2,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的一般方程;
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
解　(1)因为点A(0,t)在曲线W:x2+y4=4上,
所以t4=4,解得t=-或t=(舍去),
所以A(0,-),B(2,0),C(0,).
设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-2=0.
因为△ABC是锐角三角形,所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2+y2-x-2=0.
(2)因为BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆,
所以BD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=4,
又因为OA=OC=<2,所以点A,C在圆内,
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2+y2=4.
(3)因为曲线W:x2+y4=4是中心对称图形,
设P(a,b)在曲线W上,
则|OP|2=a2+b2=-b4+b2+4=-+(-≤b≤),
当b2=时,|OP|max=,
所以曲线W的最小覆盖圆的方程是x2+y2=.

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