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2.5.1　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
一、基础巩固
1.直线y=ax+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
2.若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2] B.(1,2]
C.(0,2) D.(1,2)
3.圆心为(3,0)且与直线x+y=0相切的圆的方程为(　　)
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
4.(多选)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)
A.0 B.4 C.-2 D.
5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=3 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2
6.已知圆O:x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为(　　)
A.y-2=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.x-1=0
7.(多选)给定直线l:3x+4y=0和圆C:x2-4x+y2=m-5,则(　　)
A.实数m的取值范围为(0,+∞)
B.当l与圆C相切时,m=
C.当1D.当l与圆C相交时,m>
8.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系是　　　　.
9.若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆C:x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.
10.经过点P(4,5),且与圆(x-2)2+y2=4相切的直线的方程为　　　　.
11.已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0.
(1)当m为何值时,曲线C表示圆
(2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值.
二、综合运用
12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　)
A.|b|= 　　　B.-1C.-1≤b<1 　　　D.非以上答案
13.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点,则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　.
14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
三、拓展提高
15.已知圆x2+y2=4内一定点P(1,0),过P作直线l交圆于A,B两点,若l的倾斜角为45°,则|AB|的值为　　　　;若=2,则直线l的斜率为　　　　.
16.如图,在平面直角坐标系中,P为直线y=4上一动点,圆O:x2+y2=4与x轴的交点分别为M,N,圆O与y轴的交点分别为S,T.
(1)若△MTP为等腰三角形,求点P的坐标;
(2)若直线PT交圆O于另一点A,直线PS交圆O于另一点B.
①求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标;
②求四边形ASBT的面积的最大值.
2.5.1　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
一、基础巩固
1.直线y=ax+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
答案　B
解析　∵直线y=ax+1恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆x2+y2-2x-3=0的内部,
∴直线与圆相交.
2.若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2] B.(1,2]
C.(0,2) D.(1,2)
答案　C
解析　由题意得,圆心到直线的距离为d=>,
∴m<2,∵m>0,∴03.圆心为(3,0)且与直线x+y=0相切的圆的方程为(　　)
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
答案　B
解析　由题意知所求圆的半径
r==,
故所求圆的方程为(x-3)2+y2=3,故选B.
4.(多选)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)
A.0 B.4 C.-2 D.
答案　AB
解析　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.
又直线被圆截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离d==.
又d=,所以|a-2|=2,
解得a=4或a=0.
5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=3 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2
答案　B
解析　(1)法一　设圆心坐标为(a,-a),
由圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切可得=,解得a=1,
所以半径r=,
故该圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
法二　圆心在x+y=0上,可排除选项C,D,再结合图象,或者根据圆心到两直线的距离等于半径排除选项A,选B.
6.已知圆O:x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为(　　)
A.y-2=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.x-1=0
答案　B
解析　当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.
已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k==2,
故所求直线的斜率为-,
所以所求直线方程为y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
7.(多选)给定直线l:3x+4y=0和圆C:x2-4x+y2=m-5,则(　　)
A.实数m的取值范围为(0,+∞)
B.当l与圆C相切时,m=
C.当1D.当l与圆C相交时,m>
答案　BC
解析　圆C:x2-4x+y2=m-5的标准方程为(x-2)2+y2=m-1,
圆心为C(2,0),半径r=.
对于A,由r=>0,
解得m>1,故A错误;
对于B,因为C(2,0)到直线l:3x+4y=0的距离d==,
所以当l与圆C相切时,r==,
解得m=,故B正确;
对于C,当1所以l与圆C相离,故C正确;
对于D,当l与圆C相交时,>,解得m>,故D错误.故选B,C.
8.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系是　　　　.
答案　相交
解析　将点P(3,0)代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0,
∴点P(3,0)在圆内,
∴过点P的直线l必与圆C相交.
9.若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆C:x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.
答案　
解析　设直线AB的方程为y=x+b,
圆C:x2+(y-1)2=1的圆心为C,半径为r,
则C(0,1),r=1.
由直线AB与圆相切,可知圆心C(0,1)到直线AB的距离d=r,
即=1,所以|b-1|=2.
连接BC,在Rt△ABC中,|AC|=|b-1|=2,|BC|=1,
所以|AB|===.
10.经过点P(4,5),且与圆(x-2)2+y2=4相切的直线的方程为　　　　.
答案　21x-20y+16=0或x=4
解析　因为(4-2)2+52=29>4,
所以点P在圆(x-2)2+y2=4外.
若直线的斜率存在,依题意,设直线的方程为
y-5=k(x-4),
即kx-y+5-4k=0.
又圆心为(2,0),半径r=2,且圆心到切线的距离等于半径,所以=2,
解得k=,
所以直线的方程为21x-20y+16=0.
若直线的斜率不存在,则直线的方程为x=4,显然满足题意.
综上可知,满足题意的直线的方程为21x-20y+16=0或x=4.
11.已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0.
(1)当m为何值时,曲线C表示圆
(2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值.
解　(1)由C:x2+y2+2x+4y+m=0,
得(x+1)2+(y+2)2=5-m,
由5-m>0时,得m<5,
∴当m<5时,曲线C表示圆.
(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(-1,-2),半径为.
∵直线l:y=x-m与圆C相切,
∴=,
解得m=±3,满足m<5.
∴m=±3.
二、综合运用
12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　)
A.|b|= 　　　B.-1C.-1≤b<1 　　　D.非以上答案
答案　B
解析　曲线x=含有限制条件,即x≥0,故曲线并非表示整个单位圆,仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.
在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示.
相切时,b=-,其他位置符合条件时需-113.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点,则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　.
答案　∪
解析　圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,
因为直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点,
所以=>1,
化简得k2<1,解得-1所以-1因为α∈[0,π),
所以0≤α<或<α<π,
所以直线倾斜角α的取值范围为∪.
14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　l的方程可化为
(x+y-4)+m(2x+y-7)=0(m∈R),
由解得
即l恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2),|AC|=<5(半径),
所以点A在圆C内,
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时,l⊥AC.
因为kAC=-,所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1),
所以l的方程为2x-y-5=0.
三、拓展提高
15.已知圆x2+y2=4内一定点P(1,0),过P作直线l交圆于A,B两点,若l的倾斜角为45°,则|AB|的值为　　　　;若=2,则直线l的斜率为　　　　.
答案　　±
解析　由题可得直线l的方程为y=x-1,
圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,
则圆心到直线的距离d==,
则|AB|=2=,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵=2,
∴(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),
∴x1+2x2=3,y1=-2y2,
设直线l的方程为x=my+1,代入x2+y2=4,
整理得(m2+1)y2+2my-3=0,
y1+y2=-,y1y2=-,
∴-y2=-,-2=-,
则可解得m=±,
则可得直线的斜率为±.
16.如图,在平面直角坐标系中,P为直线y=4上一动点,圆O:x2+y2=4与x轴的交点分别为M,N,圆O与y轴的交点分别为S,T.
(1)若△MTP为等腰三角形,求点P的坐标;
(2)若直线PT交圆O于另一点A,直线PS交圆O于另一点B.
①求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标;
②求四边形ASBT的面积的最大值.
解　(1)设P(t,4),由题意得M(-2,0),T(0,2),|MT|=2,
当|PT|=|MT|,即=2时,
解得t=±2,当t=2时,P,M,T三点共线,舍去,所以P(-2,4);
当|PM|=|PT|,即=时,
解得t=-4,所以P(-4,4).
综上,P点坐标为(-2,4)或(-4,4).
(2)①证明　设P(t,4),T(0,2),S(0,-2),
当t≠0时,kPT=,kPS=,kPS=3kPT,
∵kAS·kAT=-1,∴kBS·kAS=-3,
直线AB的斜率显然存在,
设其方程为y=kx+b,联立x2+y2=4,
消去y可得(1+k2)x2+2kbx+b2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
故y1+y2=,y1y2=,
kAS·kBS==-3,
∴=-3,
解得b=1,则直线AB:y=kx+1,
∴直线AB恒过定点(0,1),
当t=0时,直线AB:x=0也过定点(0,1),
综上,直线AB恒过定点(0,1).
②由①得x1+x2=,x1x2=,
则S四边形ASBT=×4×|x1-x2|
=2
=2=4,
令m=1+k2,则m≥1,
则==-+4≤3,
当m=1,即k=0时,取得最大值,
∴当直线AB的方程为y=1时,四边形ASBT的面积有最大值,为4.

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