资源简介

第二课时　直线与圆的方程的实际应用
一、基础巩固
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　)
A.x2+y2=25
B.x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立的直角坐标系的变化而变化
2.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台,则舞台面积的最小值为(　　)
A.3- B.3+
C.3- D.
3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A,距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则暗礁所在区域边界的方程为(　　)
A.(x+20)2+(y-20)2=100 B.(x-20)2+(y+20)2=100
C.(x+20)2+(y+20)2=100 D.(x-20)2+(y-20)2=100
4.(多选)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　)
A.6秒 B.8秒
C.10秒 D.16秒
5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　)
A.100 B.100
C.150 D.150
6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥,已知在某个时间段,这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为(　　)
A.10米 B.10米 C.6米 D.6米
7.如图所示,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围为(　　)
A. B.(0,π]
C. D.(0,2-π]
8.如图,是一个圆曲隧道的截面,若路面AB宽为10 m,净高CD为7 m,则此隧道截面圆的半径是　　　　m.
9.如图,两圆形车轮叠靠在墙边,已知两圆的半径分别为4和1,则它们与墙的切点A,B间的距离为　　　　.
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为　　　　h.
11.某圆拱桥的水面跨度为20 m,拱高为4 m.现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过
二、综合运用
12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为(　　)
A.(12-24)m B.(12+24)m
C.(24-12)m D.不确定
13.如图,一公路隧道截面图的下方ABCD是矩形,且AB=4 m,BC=8 m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2 m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5 m,车道两边留有0.5 m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是　　　m(精确到0.01 m,≈7.141).
14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到 若能,持续时间多长 (要求用坐标法)
三、拓展提高
15.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”其大意为:现有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯去锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少 现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦|AB|=1尺,弓形高|CD|=1寸,则阴影部分的面积约为(　　)
A.6.33平方寸 B.5.35平方寸
C.7.37平方寸 D.8.39平方寸
16.如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大
第二课时　直线与圆的方程的实际应用
一、基础巩固
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　)
A.x2+y2=25
B.x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立的直角坐标系的变化而变化
答案　D
解析　坐标系不同,方程则不同.
2.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台,则舞台面积的最小值为(　　)
A.3- B.3+
C.3- D.
答案　A
解析　lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离
d==,
所以AB边上的高的最小值为-1,
所以Smin=×2×=3-.
3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A,距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则暗礁所在区域边界的方程为(　　)
A.(x+20)2+(y-20)2=100 B.(x-20)2+(y+20)2=100
C.(x+20)2+(y+20)2=100 D.(x-20)2+(y-20)2=100
答案　D
解析　易得暗礁所在区域边界为一个圆,过A作y轴的垂线,垂足为B(图略),
则∠AOB=30°,
∵|OA|=40,
∴|AB|=20,|OB|==20,
∴暗礁所在区域边界方程为
(x-20)2+(y-20)2=100.
4.(多选)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　)
A.6秒 B.8秒
C.10秒 D.16秒
答案　AD
解析　设当圆与直线l相切时,圆心坐标为(0,m),
则圆心到直线l的距离为=,
得m=-或m=-,
所以该圆运动的时间为=6(秒)或=16(秒).
5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　)
A.100 B.100
C.150 D.150
答案　A
解析　以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设修建的新路所在直线方程为kx-y+100k=0(k>0),
则当该直线与圆O相切时,小路长度最小,
此时=45,解得k=1,
此时求得小路长度为100 m.
6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥,已知在某个时间段,这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为(　　)
A.10米 B.10米 C.6米 D.6米
答案　C
解析　根据题意,
建立如图所示的圆拱桥模型.
设圆O的半径为R,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为AB的中点,
即|AB|=20,|OM|=R-4,
由勾股定理,
得|AM|2==|OA|2-|OM|2,
即100=R2-(R-4)2,解得R=.
当水面上涨2米后,水面为CD,N为CD的中点,
此时|ON|=R-2,
由勾股定理,得|CD|=2|CN|
=2=6米,故选C.
7.如图所示,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围为(　　)
A. B.(0,π]
C. D.(0,2-π]
答案　C
解析　如图所示,由题意知,当两动圆外切时,围成图形面积S取得最大值,此时四边形ABO2O1为矩形,
且Smax=2×1-··12×2=2-.
8.如图,是一个圆曲隧道的截面,若路面AB宽为10 m,净高CD为7 m,则此隧道截面圆的半径是　　　　m.
答案　
解析　∵OD⊥AB,
∴AD=DB=AB=×10=5 m,
在Rt△OAD中,设半径OA=R,
则OD=CD-R=7-R,
∴OA2=OD2+AD2,
即R2=(7-R)2+52,
解得R=.
∴此隧道圆的半径OA是 m.
9.如图,两圆形车轮叠靠在墙边,已知两圆的半径分别为4和1,则它们与墙的切点A,B间的距离为　　　　.
答案　4
解析　设点E,F分别为两圆圆心,如图所示.
连EF,EA,FB并作EG⊥BF于G.
则EF=4+1=5,GF=4-1=3,
∴EG==4.
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为　　　　h.
答案　1
解析　如图,以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内时城市B处于危险区,
即B处于危险区时,台风中心在线段MN上,
由题意知,台风路径用方程表示为y=x,
则圆心B(40,0)到直线y=x的距离d==20,
可求得|MN|=2=20,
所以城市B处于危险区的时间为1 h.
11.某圆拱桥的水面跨度为20 m,拱高为4 m.现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过
解　建立如图所示的坐标系,使圆心C在y轴上.依题意,有A(-10,0),B(10,0),P(0,4),D(-5,0),E(5,0).
设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
于是有
解此方程组,得a=0,b=-10.5,r=14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x=-5代入上式,
得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3<3.1,
所以该船可以从桥下通过.
二、综合运用
12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为(　　)
A.(12-24)m B.(12+24)m
C.(24-12)m D.不确定
答案　A
解析　如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
设圆拱所在圆的方程是
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为A,B,P在此圆上,故有
解得
故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,
结合图形解得y=-24+12.
即支柱A2P2长为(-24+12)m.
13.如图,一公路隧道截面图的下方ABCD是矩形,且AB=4 m,BC=8 m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2 m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5 m,车道两边留有0.5 m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是　　　m(精确到0.01 m,≈7.141).
答案　3.97
解析　建立如图所示的平面直角坐标系xOy,
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0,b),半径为r,则其方程为x2+(y-b)2=r2.
将P(0,2),D(4,0)的坐标代入以上方程,
解得b=-3,r=5,
故圆O1的方程为x2+(y+3)2=25.
过点E作AD的垂线交AD于点M,延长交弧AD于点N,
将N(-3.5,h)代入圆O1的方程,
解得h≈0.571,即|MN|≈0.571,
则|EN|≈4+0.571=4.571,
从而车辆的限高为4.571-0.6≈3.97(m).
14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到 若能,持续时间多长 (要求用坐标法)
解　如图,以O为原点,
东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),
B(0,30),圆O方程为
x2+y2=252.
直线AB方程:+=1,
即3x+4y-120=0.设O到AB距离为d,
则d==24<25,
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t,则
t==0.5(h).
所以外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5 h.
三、拓展提高
15.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”其大意为:现有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯去锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少 现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦|AB|=1尺,弓形高|CD|=1寸,则阴影部分的面积约为(　　)
A.6.33平方寸 B.5.35平方寸
C.7.37平方寸 D.8.39平方寸
答案　A
解析　连接OD(图略),设半径为r.
由题意知|AD|=5寸,则|OD|=r-1,
在Rt△OAD中,|OA|2=|AD|2+|OD|2,
即r2=52+(r-1)2,解得r=13,
则sin∠AOC=,
所以∠AOC≈22.5°,
则∠AOB≈2×22.5°=45°,
所以扇形OAB的面积S1==≈66.33(平方寸),
△OAB的面积S2=×10×12=60(平方寸),
所以阴影部分的面积为S1-S2≈66.33-60=6.33(平方寸).
16.如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大
解　(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知,A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan ∠BCO=-.
又因为AB⊥BC,
所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a,b),
则kBC==-,①
kAB==,②
联立①②解得a=80,b=120.
所以|BC|==150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,
|OM|=d m(0≤d≤60).
由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),
即4x+3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切,
故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以
即
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆的面积最大.
所以当|OM|=10 m时,圆形保护区的面积最大.

展开更多......

收起↑