资源简介

2.5.2　圆与圆的位置关系
一、基础巩固
1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
3.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　)
A.x+y+2=0 B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0 D.不存在
4.已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于(　　)
A.-3或3 B.57
C.-3或57 D.3或57
5.(多选)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　)
A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49
6.我们把圆心在一条直线上,且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x-4)2+(y-2)2=1,若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则a+b=(　　)
A. B.1 C. D.2
7.在平面直角坐标系中,点A(0,1)和点B(4,5)到直线l的距离分别为1和2,则符合条件的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于　　　　.
9.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　　　　.
10.圆C1:x2+y2-2mx+m2-4=0与圆C2:x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则实数m的取值范围是　　　　.
11.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)当a为何值时,两圆外切
(2)当a=1时,试判断两圆的位置关系.
二、综合运用
12.(多选)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1
13.已知圆O:x2+y2=9与圆C:x2+y2-4x-6y+9=0交于A,B两点,则直线AB的方程为　　　　;△ABC的面积为　　　　.
14.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
三、拓展提高
15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R,工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1,O2,O3放在与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示),则R=　　　　 mm.
16.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.
(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;
(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线 若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由.
2.5.2　圆与圆的位置关系
一、基础巩固
1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
答案　B
解析　圆心距d==.由于3-22.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
答案　C
解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心(2,-3)和(3,0),则方程为3x-y-9=0.
3.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　)
A.x+y+2=0 B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0 D.不存在
答案　A
解析　由
由①-②得x+y+2=0.
经检验此时相交,符合.
4.已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于(　　)
A.-3或3 B.57
C.-3或57 D.3或57
答案　C
解析　由题意得,只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点,即两圆相切.
因为A(1,0),B(1,6),
所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9,
圆C:(x-5)2+(y-6)2=61-m.
因为两圆相切,
所以|CM|=|3±|,
即5=|3±|,
解得m=57或m=-3.
5.(多选)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　)
A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49
答案　BCD
解析　由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.
A中,圆心C1(-2,-2),半径r1=3.
∵|C1C|=∈(r1-r,r1+r),
∴两圆相交,
B中,圆心C2(2,-2),半径r2=3,
∵|C2C|=5=r+r2,
∴两圆外切,满足条件;
C中,圆心C3(2,2),半径r3=5,
∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切;
D中,圆心C4(2,-2),半径r4=7,
∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切.
6.我们把圆心在一条直线上,且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x-4)2+(y-2)2=1,若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则a+b=(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　B
解析　若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则该直线经过圆C2的圆心,
由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点,圆C1的圆心坐标为(0,0),圆C3的圆心坐标为(4,2),
所以圆C2的圆心坐标为(2,1),可得a+b=1.
7.在平面直角坐标系中,点A(0,1)和点B(4,5)到直线l的距离分别为1和2,则符合条件的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　到点A(0,1)距离为1的直线,可看作以A为圆心,1为半径的圆的切线,
同理到点B(4,5)距离为2的直线,可看作以B为圆心,2为半径的圆的切线.
故所求直线为两圆的公切线.
如图.又|AB|==4>1+2,两圆外离,满足要求的公切线有4条.
8.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于　　　　.
答案　9
解析　C2:x2+y2-6x-8y+m=0化为(x-3)2+(y-4)2=25-m.
∵C1,C2两圆的圆心分别为(0,0),(3,4),
∴两圆圆心距d==5,
又两圆半径分别为1,,则d=r1+r2,
即5=1+,解得m=9.
9.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　　　　.
答案　1
解析　将两圆的方程相减,
得相交弦所在的直线方程为y=,
圆心(0,0)到直线的距离d===1,
所以a=1.
10.圆C1:x2+y2-2mx+m2-4=0与圆C2:x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(0,2)∪
解析　整理圆C1得(x-m)2+y2=4,整理圆C2得(x+1)2+(y-2m)2=9,
∴圆C1的圆心为(m,0),半径为2,圆C2的圆心为(-1,2m),半径为3.
∵两圆相交,∴圆心之间的距离小于两圆半径之和,大于两圆半径之差的绝对值,
即1<<5,
解得011.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)当a为何值时,两圆外切
(2)当a=1时,试判断两圆的位置关系.
解　将两圆的方程写成标准方程为
C1:(x-a)2+(y+2)2=9,
C2:(x+1)2+(y-a)2=4,
所以两圆的圆心和半径分别为
C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.
设两圆的圆心距为d,
则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2.
(2)当a=1时,d==,
r1=3,r2=2,
因为|r2-r1|二、综合运用
12.(多选)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1
答案　ABD
解析　对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,
两式作差可得4x-4y=0,
即公共弦AB所在直线方程为x-y=0,故A正确;
对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),
又kAB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,
即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),
整理可得x+y-1=0,故B正确;
对于C,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d==,半径r=1,
所以|AB|=2=,故C不正确;
对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.
13.已知圆O:x2+y2=9与圆C:x2+y2-4x-6y+9=0交于A,B两点,则直线AB的方程为　　　　;△ABC的面积为　　　　.
答案　2x+3y-9=0　
解析　两圆相减得4x+6y=18,化简得2x+3y-9=0,
故直线AB的方程为2x+3y-9=0,
圆C:x2+y2-4x-6y+9=0变形得到(x-2)2+(y-3)2=4,圆心C(2,3),半径为2,
故圆心C(2,3)到直线AB的距离为d==,
由垂径定理得|AB|=2×=,
故△ABC的面积为|AB|·d=××=.
14.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　(1)由圆C1:x2+y2=4,知圆心C1(0,0),半径r1=2,
又由圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),
可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0,
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4,
所以此时相交弦过圆心C1(0,0),
即r2=9(r>0),解得r=3.
(2)设过圆C1与圆C2的交点的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),
即(1+λ)x2+(1+λ)·y2-2x-4y+4(1-λ)=0,
所以+=,
由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径,
可得=,解得λ=1,
故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.
三、拓展提高
15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R,工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1,O2,O3放在与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示),则R=　　　　 mm.
答案　
解析　如图,设两圆O1,O2外切于点M,连接OM,作O1N⊥OO2交OO2于点N,
点D为线段OO2与圆O2的交点,
则|DE|=h=6,所以|NE|=10,|O2M|=10,|O2N|=10-|DN|=h=6,
因为∠O1NO2=∠OMO2=90°,
∠O1O2N=∠OO2M,
所以△O1NO2∽△OMO2,
所以=,
所以=,解得R=.
16.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.
(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;
(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线 若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由.
解　(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),
则半径r==,两圆的圆心距为=|a-1|=r,
因为两圆外切,所以r=r+9,
所以r=+1.
(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),
①若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,
由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线.
②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),
则d==r=对任意的a都成立,
即=,则=,
两边平方并化简得k2-8k+7=0,
解得k=1或k=7,
当k=1时,直线与l1重合,
当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,
故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.

展开更多......

收起↑