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周测卷4　(范围:§2.3)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:ax-8y-7=0间的距离为(　　)
A. B. C. D.1
2.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则过A点的中线长为(　　)
A. B.2 C.11 D.3
3.已知实数a,b,c,d满足3a-4b+3=0,3c-4d-7=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程为(　　)
A.y=x-1 B.y=x-
C.y=x+ D.y=x+1
5.已知点A(3,-1),B(5,-2),且点P在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
6.过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+3a-2=0交于点P,则||+||的最大值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.8
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的值可以为(　　)
A.10 B.6 C.-3 D.-5
8.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.不论m取何实数,直线(m+2)x-(m+1)y+m+1=0恒过定点　　　　. 10.已知点A(-,0),B(cos α,sin α)且|AB|=2,则α的一个值为　　　　.(写出符合题意的一个答案即可)
11.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)已知P(-1,2),M(1,3),直线l:y=2x+1.
(1)求点P关于直线l对称点R的坐标;
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
13.(15分)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.
14.(15分)已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(-1,2),B(0,-1),C(4,1).
(1)求顶点D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
周测卷4　(范围:§2.3)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:ax-8y-7=0间的距离为(　　)
A. B. C. D.1
答案　A
解析　∵两直线平行,∴3×(-8)-a×(-4)=0,解得a=6,
将直线l2:6x-8y-7=0化为3x-4y-=0,
∴两条平行线间的距离为==.故选A.
2.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则过A点的中线长为(　　)
A. B.2 C.11 D.3
答案　B
解析　设D为BC的中点,过A点的中线即为线段AD.
由B(3,-6),C(5,2),得D,
即D(4,-2),∴|AD|===2,故选B.
3.已知实数a,b,c,d满足3a-4b+3=0,3c-4d-7=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　由题意得,点A(a,b)在直线3x-4y+3=0上,点B(c,d)在直线3x-4y-7=0上,
所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线间距离的平方,
即=4.
4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程为(　　)
A.y=x-1 B.y=x-
C.y=x+ D.y=x+1
答案　B
解析　由得
即所求直线过点(-1,-1).
又直线y=2x+1上一点(0,1)关于直线y=x对称的点(1,0)在所求直线上,
所以所求直线方程为=,
即y=x-.
5.已知点A(3,-1),B(5,-2),且点P在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A'(1,-3),直线A'B与直线x+y=0的交点即为所求的点.
直线A'B的方程为=,
即y=x-,与x+y=0联立解得x=,y=-,
即点P,所以点P.
6.过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+3a-2=0交于点P,则||+||的最大值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　由题意可得,定点M(0,1),定点N(2,3),
∵直线ax+y-1=0垂直于直线x-ay+3a-2=0且两直线交于点P,
∴PM⊥PN,
∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=(0-2)2+(1-3)2=8,
∴(|PM|+|PN|)2=|PM|2+|PN|2+2|PM|·|PN|=8+2|PM|·|PN|≤8+|PM|2+|PN|2=8+8=16,
当且仅当|PM|=|PN|=2时,等号成立,
故||+||的最大值为4.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的值可以为(　　)
A.10 B.6 C.-3 D.-5
答案　AD
解析　由题意得>3,即|3a-6|>15.
故3a-6>15或3a-6<-15,
即a>7或a<-3.结合选项,故选AD.
8.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
答案　BC
解析　对A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离
d==3>4,
故直线y=x+1不是“切割型直线”;
对B,点M(5,0)到直线y=2的距离d=2<4,故直线y=2是“切割型直线”;
对C,点M(5,0)到直线y=x的距离d==4,
故直线y=x是“切割型直线”;
对D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离d==>4,
故直线y=2x+1不是“切割型直线”.故选BC.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.不论m取何实数,直线(m+2)x-(m+1)y+m+1=0恒过定点　　　　.
答案　(0,1)
解析　直线(m+2)x-(m+1)y+m+1=0变形为m(x-y+1)+(2x-y+1)=0.
由解得
所以该直线过定点(0,1).
10.已知点A(-,0),B(cos α,sin α)且|AB|=2,则α的一个值为　　　　.(写出符合题意的一个答案即可)
答案　(答案不唯一,符合+kπ,k∈Z即可)
解析　根据两点间的距离公式,
得=2,
即sin2α+cos2α+3+2cos α=4,
所以cos α=0,所以α可以为.
11.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为　　　　.
答案　(-4,0)
解析　设C(m,n),则△ABC的重心坐标为,代入欧拉线方程x-y+2=0得-+2=0,
整理得m-n+4=0.①
AB的中点坐标为(1,2),kAB==-2,
∴AB的垂直平分线方程为y-2=(x-1),
即x-2y+3=0.
联立解得
∴△ABC的外心为(-1,1),
∴(m+1)2+(n-1)2=[2-(-1)]2+(0-1)2,
整理得m2+n2+2m-2n=8,②
联立①②得或
当时,B,C重合,舍去,
∴顶点C的坐标是(-4,0).
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)已知P(-1,2),M(1,3),直线l:y=2x+1.
(1)求点P关于直线l对称点R的坐标;
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x,y),
则有解得R.
(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程,
又点P关于直线l的对称点为R,
则直线MR即为所求的直线,由两点式得所求直线方程为11x+2y-17=0.
13.(15分)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.
解　由点M(3,5)及直线l,可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).
同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(-3,5).
由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
解方程组得交点P.
令x=0,得M1M2与y轴的交点Q.
所以当P和Q的坐标分别为,时,△MPQ的周长最小.
14.(15分)已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(-1,2),B(0,-1),C(4,1).
(1)求顶点D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
解　(1)如图,设AC与BD的交点为M,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以对角线互相平分,
又A(-1,2),C(4,1),
所以M,
又B(0,-1),所以顶点D的坐标为(3,4).
(2)依题意可得kBC==,
故直线BC的方程为y=x-1,
即x-2y-2=0.
又|BC|==2,点A到直线BC的距离d==.
所以四边形ABCD的面积S=|BC|d=2×=14.

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