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周测卷5　(范围:§2.4~§2.5)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.方程x2+y2+2x-2y-7=0所表示的圆的圆心和半径是(　　)
A.(1,-1),3 B.(1,-1),9
C.(-1,1),9 D.(-1,1),3
2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(　　)
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
3.经过点M(2,1)作圆O:x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　)
A.x+y-5=0 B.x+y+5=0
C.2x+y-5=0 D.2x+y+5=0
4.两圆x2+y2-1=0与x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦长为(　　)
A. B. C. D.1
5.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
6.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直,若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线l:x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x+y-8=0 D.x+y-10=0
8.若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则(　　)
A.公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0
B.线段AB中垂线方程为x-y+1=0
C.公共弦AB的长为2
D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点,且过点(1,2)的圆的方程为　　　　.
10.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为　　　　.
11.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示(单位:cm),四边形AFED为矩形,AB,CD,FE均与圆O相切,B,C为切点,零件的截面BC段为圆O的一段弧,已知tan α=,tan β=,则该零件的截面的周长为　　　　cm.(结果保留π)
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足PA⊥PB.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若过点Q(1,2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点,求直线l的方程.
13.(15分)已知圆C经过点(2,5),(5,2),(2,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设点P(x,y)在圆C上运动,求(x+2)2+(y+1)2的最大值与最小值.
14.(15分)在直角坐标系Oxy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况 说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
周测卷5　(范围:§2.4~§2.5)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.方程x2+y2+2x-2y-7=0所表示的圆的圆心和半径是(　　)
A.(1,-1),3 B.(1,-1),9
C.(-1,1),9 D.(-1,1),3
答案　D
解析　原方程配方可化为(x+1)2+(y-1)2=9,故圆心为(-1,1),半径为3,选D.
2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(　　)
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
答案　B
解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程,得圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=4,则O1(1,0),O2(0,2),r1=1,r2=2,
|O1O2|==又r2-r1<,所以两圆相交.
3.经过点M(2,1)作圆O:x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　)
A.x+y-5=0 B.x+y+5=0
C.2x+y-5=0 D.2x+y+5=0
答案　C
解析　∵M(2,1)在圆上,∴切线与MO垂直.
又kMO=,∴切线斜率为-2.
又过点M(2,1),
∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
4.两圆x2+y2-1=0与x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦长为(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为x+3y+1=0,圆x2+y2-1=0的圆心为(0,0),半径长为1,
又(0,0)到直线x+3y+1=0的距离为,
所以公共弦长为2=.
5.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　C
解析　由题意易知圆心C(-1,2),半径长r=,点(a,b)在直线y=x-3上,
所以点(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d,
易求d==3,
所以切线长的最小值为==4.
6.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直,若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
答案　A
解析　由题意,得圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径r=2.
因为直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直,
所以直线l的斜率为-1,方程为y-0=-(x-1),即为x+y-1=0.
又圆心(0,-1)到直线l的距离d==,
所以弦长|AB|=2=2=2.
又坐标原点O到弦AB的距离为=,
所以△OAB的面积为×2×=1.故选A.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线l:x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x+y-8=0 D.x+y-10=0
答案　AD
解析　根据题意,圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,其圆心C(3,3),半径r=6,
若直线l:x+y-m=0是垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,
则圆心到直线的距离为2,
则有d==2,
变形可得|6-m|=4,解得m=2或10,
即l的方程为x+y-2=0或x+y-10=0.
8.若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则(　　)
A.公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0
B.线段AB中垂线方程为x-y+1=0
C.公共弦AB的长为2
D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1
答案　AD
解析　将圆C1和C2的方程相减,得x+y-3=0,即为公共弦AB所在直线的方程,故选项A正确;
因为两圆的公共弦的中垂线一定经过两圆的圆心,而两圆的圆心C1和C2(1,1)都不在直线x-y+1=0上,故选项B错误;
圆心C2(1,1)到公共弦x+y-3=0的距离d==,圆C2的半径r=,所以公共弦长|AB|=2=2×=,故选项C错误;
因为圆C1的半径为,所以AB是圆C1的直径,故选项D正确.故选AD.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点,且过点(1,2)的圆的方程为　　　　.
答案　x2+y2-x-y-=0
解析　由已知可设所求圆的方程为x2+y2-2+λ(x+y+1)=0,将(1,2)代入,可得λ=-,
故所求圆的方程为x2+y2-x-y-=0.
10.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为　　　　.
答案　1
解析　根据题意,
得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3,-1),半径r=2,
O(0,0),A(0,2),OA所在的直线是y轴,当M到直线AO的距离最小时,△OAM的面积最小,
则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1,
则△OAM面积的最小值为
S=×|OA|×d=1.
11.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示(单位:cm),四边形AFED为矩形,AB,CD,FE均与圆O相切,B,C为切点,零件的截面BC段为圆O的一段弧,已知tan α=,tan β=,则该零件的截面的周长为　　　　cm.(结果保留π)
答案　84+6π
解析　以A为原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,
则直线AB的方程为4x+3y=0,直线CD的方程为3x-4y-105=0,
直线EF的方程为y=12,
设圆心为O(a,b),则圆心到直线AB,直线CD,直线y=12的距离均相等且等于r,
则r===|12-b|,
解得a=15,b=0,r=12,
易得AB==9,CD==16,
对应弧长为圆的周长,
故该零件的截面的周长为9+16+24+35+=84+6π(cm).
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足PA⊥PB.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若过点Q(1,2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点,求直线l的方程.
解　(1)法一　设P(x,y),因为PA⊥PB,
所以·=0,得(x+1,y)·(x-1,y)=x2-1+y2=0,
所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).
法二　由题意得|AB|=2,PA⊥PB,所以点P的轨迹是以AB的中点(0,0)为圆心,1为半径的圆去掉点A,B得到的,
所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).
(2)因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图),
①当斜率不存在时,此时直线l的方程为x=1,与圆x2+y2=1切于点B;
②当斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0,
根据圆心到切线距离等于半径可得=1,得k=,
所以此时直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.
13.(15分)已知圆C经过点(2,5),(5,2),(2,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设点P(x,y)在圆C上运动,求(x+2)2+(y+1)2的最大值与最小值.
解　(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把已知的三点的坐标代入可得,
解得
可得圆C的方程为x2+y2-4x-4y-1=0.
(2)由(1)可得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=9,∴该圆的圆心为C(2,2),半径为3.
而(x+2)2+(y+1)2表示圆上的点P到点M(-2,-1)的距离的平方,
|CM|==5>3,
故(x+2)2+(y+1)2的最大值为(|CM|+3)2=64,
(x+2)2+(y+1)2的最小值为(|CM|-3)2=4.
14.(15分)在直角坐标系Oxy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况 说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解　不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),
则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.
又点C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为
·=-≠-1,
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明　BC的中点坐标为,
可得BC的中垂线方程为y-=x2.
由(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-.
联立
又+mx2-2=0,
可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.
故圆在y轴上截得的弦长为2=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

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