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江苏省扬州市高邮市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列调查中最适合采用全面调查普查的是( )
A. 检测一批灯泡的使用寿命 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况
C. 调查某班学生的身高情况 D. 调查某条河流水质污染情况
2.在正常条件下，“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定
3.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是( )
A. B. C. D.
6.若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根( )
A. B. C. D.
7.如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、若菱形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.函数的大致图像为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.若式子有意义，则的取值范围是 ．
10.因式分解： ．
11.“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查头盔的数量
合格头盔的数量
合格头盔的频率
估计抽查一个头盔，是合格头盔的概率为 结果保留小数点后两位．
12.如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则、两地之间的距离为
13.已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
14.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
15.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为 ．
16.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 用“”连接．
17.如图，正方形，直线经过的中点，分别交、于点、，将线段绕点顺时针旋转到处，连接，若，，则的面积为 ．
18.如图，一次函数与反比例函数的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、若，则的值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
19.计算：
；
．
20.解方程：
；
．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简，再代入求值：．
22.本小题分
为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长单位：小时，得到以下两幅图表：
睡眠时长情况统计表
等级 睡眠时长 频数 频率
严重不足
不充足
基本充足
充足
根据以上信息，解答下列问题：
计算： ， ；
扇形统计图中的 ；
根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议．
23.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
24.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求四边形的面积．
25.本小题分
年，“复兴号”动车组投入运营，这是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条铁路干线上的甲、乙两地相距约，已知“复兴号”动车组列车速度约为普通动车组列车的倍，从甲地到乙地“复兴号”动车组列车比普通动车组列车少用，求普通动车组列车和“复兴号”动车组列车的速度．
26.本小题分
用无刻度直尺和圆规作图保留作图的痕迹，写出必要的文字说明，已知，点为内一点．
如图，点在上，求作菱形，使点在上；
如图，分别在、上求作点、，在内求作点，使四边形为平行四边形，且对角线、交于点．
27.本小题分
定义：若分式与的和为为正整数，则称分式、互为“阶分式”例如：分式与的和为，分式与互为“阶分式”．
分式与互为“ 阶分式”；
设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”；
分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为
28.本小题分
已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且，
如图，若，则的度数为 ；
如图，若，求的面积；
如图，在点的运动过程中．
直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由；
、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为__________．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
．

20.【答案】【小题】
解：，
，
或，
解得：，；
【小题】
解：，
方程两边同乘最简公分母去分母得：，
展开整理得：，
化简得，
解得，
检验：当时，分母，原分式无意义，
是分式方程的增根，
因此原分式方程无解．

21.【答案】解：
，
当时，原式．
22.【答案】【小题】

【小题】
【小题】
合理建议：家庭教育方面：、控制孩子使用电子产品的时间，睡前避免接触手机、平板等设备；、营造安静、舒适的睡眠环境，督促孩子养成规律的作息习惯；
学校管理方面：、合理控制作业量，减轻学生学业负担，避免占用过多休息时间；、开展睡眠健康主题教育，引导学生认识充足睡眠的重要性．

23.【答案】【小题】
证明：已知一元二次方程为，
可得，，，
，
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根．
【小题】
解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，，
又，
可得方程组
解得
将，代入，得，即，
解得．

24.【答案】【小题】
四边形是平行四边形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题】
解：过点作于点，
，，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，，
平分，
，
，
，
，
由知，
，
四边形的面积．

25.【答案】解：设普通动车组列车速度为，则“复兴号”动车组列车速度为
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
“复兴号”动车组列车速度为
答：普通动车组列车速度为，“复兴号”动车组列车速度为．

26.【答案】【小题】
如图菱形即为所求，

【小题】
如图，平行四边形即为所求，

27.【答案】【小题】
【小题】
证明：，互为倒数，
，
，
，
分式与互为“阶分式”．
【小题】
或

28.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，连接，过点作于点，
同可得是等边三角形，
，
，
【小题】
不变，垂直，理由如下，
如图，连接，，

由可得
由四边形是菱形
，
直线与的位置关系不发生变化；
如图，连接
分别为对角线，的中点，则分别过点，
分别平分，，
，
同可得是等边三角形，
设，则，，，

时，有最小值，最小值为

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