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4.2 练习1　等差数列的概念与通项公式
1. 在等差数列{an}中，a2＝0，公差d＝4，则a5等于(　B　)
A. 25 B. 12
C. 16 D. 8
【解析】 由等差数列的通项公式可得a2＝a1＋d，则a1＋4＝0，∴a1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4×4＝12.　
2. lg(＋2)与lg(－2)的等差中项是(　B　)
A. B. 0 C. lg D. lg 2
【解析】 lg(＋2)与lg(－2)的等差中项是＝＝0.
3. 等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　C　)
A. an＝a＋(n－1)d B. an＝a＋(n－3)d
C. an＝a＋2(n－2)d D. an＝a＋2nd
【解析】 数列的首项为a－2d，公差为2d，
∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
4. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　B　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【解析】 由题意知，2n＋m＝8，2m＋n＝10，
两式相加得3m＋3n＝18，m＋n＝6，∴m和n的等差中项是3.
5. 若等差数列{an}的首项是－24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是(　D　)
A. B. (－∞，3)
C. D.
【解析】 ∵等差数列{an}的首项是－24，∴an＝－24＋(n－1)d.
若从第10项开始大于0，则解得＜d≤3.
6. 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则(　D　)
A. an＝3n B. an＝
C. an＝n－ D. an＝3n2
【解析】 ∵对任意大于1的正整数n，
点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，又＝，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴数列{}的通项公式为＝＋(n－1)×＝n，
∴an＝3n2.
7. (2024·北京北理工附中检测)已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　A　)
A. a6 B. a4 C. a10 D. a12
【解析】 由4a3＝3a2得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，∴a6＝0.
8. (多选)已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 数列{an}是递增数列 B. 数列{nan}是递增数列
C. 数列是递减数列 D. 数列{an＋3nd}是递增数列
【解析】 等差数列{an}的首项为a1，公差d＞0，则an＋1－an＝d＞0，
∴数列{an}是递增数列，A正确；nan＝dn2＋(a1－d)n，
(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)d＋an，不一定是正实数，B错误；
－＝＝，不一定是正实数，C错误；
an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d＞0，数列{an＋3nd}是递增数列，
D正确.
9. (多选)在等差数列{an}中，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a3＋λa9＋a15＝15，则实数λ的可能取值为(　AB　)
A. － B. － C. － D. －2
【解析】 等差数列{an}中，a1＝1，公差d∈[1，2]，
且a3＋λa9＋a15＝15，∴1＋2d＋λ(1＋8d)＋1＋14d＝15，
整理得d＝，∴解得－≤λ≤－.
10. 设a＞0，b＞0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝　2　.
【解析】 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b，
∴32＝32a＋b，∴2a＋b＝2.
11. 写出一个同时具有性质①2an＋1＝an＋an＋2，②an＋1＜an的数列{an}的通项公式：an＝　－n(答案不唯一)　.
【解析】 ∵2an＋1＝an＋an＋2，∴数列{an}为等差数列，
又an＋1＜an，∴数列{an}为递减数列，则an＝－n满足题意.
12. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为　an＝　.
【解析】 ∵＝＋(n∈N*)，
∴数列{}是等差数列，又－＝ 2－1＝1，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
13. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　D　)
A. 132项 B. 133项 C. 134项 D. 135项
【解析】 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7，令an＝15n－7≤2 023，解得n≤135，∴该数列共有135项.
14. (2024·福建漳州高二期中)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求a2 024.
(2)2 024是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解： (1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋a5＝24，a17＝66，得
解得
∴数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2，
∴a2 024＝4×2 024－2＝8 094.
(2)令4n－2＝2 024，解得n＝506.5，又n∈N*，
∴2 024不是数列{an}中的项.
15. 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
解： (1)由＝＝＝＝＝＋，
得－＝，n∈N＋，故数列{}是等差数列.
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，
∴an＝，n∈N*.
16. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，λ是常数.
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)请判断是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列，并说明理由.
解： (1)∵an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈ N*)，且a1＝1，
∴当a2＝－1时，得－1＝2－λ，解得λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)不存在实数λ，使得{an}为等差数列.
理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，
a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).
若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)·(2－λ)＝－24，
a2－a1≠a4－a3，这与{an}为等差数列矛盾.
∴不存在实数λ使得{an}为等差数列.(共25张PPT)
二、 等差数列
练习1　等差数列的概念与通项公式
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
必备知识练
1. 在等差数列{an}中，a2＝0，公差d＝4，则a5等于(　B　)
A. 25 B. 12
C. 16 D. 8
【解析】 由等差数列的通项公式可得a2＝a1＋d，则a1＋4＝0，
∴a1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4×4＝12.　
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2. lg(＋2)与lg(－2)的等差中项是(　B　)
A. B. 0 C. lg D. lg 2
【解析】 lg(＋2)与lg(－2)的等差中项
是 ＝ ＝0.
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3. 等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　C　)
A. an＝a＋(n－1)d B. an＝a＋(n－3)d
C. an＝a＋2(n－2)d D. an＝a＋2nd
【解析】 数列的首项为a－2d，公差为2d，
∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
C
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4. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等
差中项是(　B　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【解析】 由题意知，2n＋m＝8，2m＋n＝10，
两式相加得3m＋3n＝18，m＋n＝6，∴m和n的等差中项是3.
B
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5. 若等差数列{an}的首项是－24，且从第10项开始大于0，则公差d的
取值范围是(　D　)
A. B. (－∞，3)
C. D.
【解析】 ∵等差数列{an}的首项是－24，∴an＝－24＋(n－1)d.
若从第10项开始大于0，则 解得 ＜d≤3.
D
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6. 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，
)在直线x－y－ ＝0上，则(　D　)
A. an＝3n B. an＝
C. an＝n－ D. an＝3n2
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【解析】 ∵对任意大于1的正整数n，
点(， )在直线x－y－ ＝0上，
∴ － ＝ ，又 ＝ ，
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴数列{ }的通项公式为 ＝ ＋(n－1)× ＝ n，
∴an＝3n2.
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7. (2024·北京北理工附中检测)已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}
中一定为零的项是(　A　)
A. a6 B. a4 C. a10 D. a12
【解析】 由4a3＝3a2得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，∴a6＝0.
A
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8. (多选)已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列说法中，正确的
是(　AD　)
A. 数列{an}是递增数列 B. 数列{nan}是递增数列
C. 数列 是递减数列 D. 数列{an＋3nd}是递增数列
AD
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【解析】 等差数列{an}的首项为a1，公差d＞0，则an＋1－an＝d＞0，
∴数列{an}是递增数列，A正确；nan＝dn2＋(a1－d)n，
(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)d＋an，不一定是正实数，B错误；
－ ＝ ＝ ，不一定是正实数，C错误；
an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d＞0，数列{an＋3nd}是递增数列，
D正确.
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9. (多选)在等差数列{an}中，a1＝1，公差d∈[1，2]，
且a3＋λa9＋a15＝15，则实数λ的可能取值为(　AB　)
A. － B. － C. － D. －2
AB
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【解析】 等差数列{an}中，a1＝1，公差d∈[1，2]，
且a3＋λa9＋a15＝15，∴1＋2d＋λ(1＋8d)＋1＋14d＝15，
整理得d＝ ，∴ 解得－ ≤λ≤－ .
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10. 设a＞0，b＞0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
则2a＋b＝ .
【解析】 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b，
∴32＝32a＋b，∴2a＋b＝2.
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11. 写出一个同时具有性质①2an＋1＝an＋an＋2，②an＋1＜an的数列
{an}的通项公式：an＝ .
【解析】 ∵2an＋1＝an＋an＋2，∴数列{an}为等差数列，又an＋1＜an，
∴数列{an}为递减数列，则an＝－n满足题意.
－n(答案不唯一)　
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12. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝ ， ＝ ＋ (n∈N*)，则该数
列的通项公式为 .
【解析】 ∵ ＝ ＋ (n∈N*)，
∴数列{ }是等差数列，又 － ＝ 2－1＝1，
∴ ＝1＋(n－1)＝n，∴an＝ .
an＝ 　
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必备知识练
关键能力练
关键能力练
13. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三
三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1
到2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”
的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　D　)
A. 132项 B. 133项 C. 134项 D. 135项
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【解析】 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数
列，记为{an}，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7，令an＝15n－7≤2 023，
解得n≤135 ，∴该数列共有135项.
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14. (2024·福建漳州高二期中)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝24，
a17＝66.
(1)求a2 024.
(2)2 024是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解： (1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋a5＝24，a17＝66，得解得
∴数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2，
∴a2 024＝4×2 024－2＝8 094.
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(2)令4n－2＝2 024，解得n＝506.5，又n∈N*，
∴2 024不是数列{an}中的项.
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15. 已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3(n∈N＋).
(1)证明：数列 是等差数列；
解： (1)由 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＋ ，得 － ＝ ，n∈N＋，故数列{ }是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(2)由(1)知 ＝ ＋(n－1)× ＝ ，
∴an＝ ，n∈N*.
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16. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，λ是常数.
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解： (1)∵an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈ N*)，且a1＝1，
∴当a2＝－1时，得－1＝2－λ，解得λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)请判断是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列，并说明理由.
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(2)不存在实数λ，使得{an}为等差数列.
理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，
a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).
若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)·(2－λ)＝－24，
a2－a1≠a4－a3，这与{an}为等差数列矛盾.
∴不存在实数λ使得{an}为等差数列.
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164.2 练习1　等差数列的概念与通项公式
1. 在等差数列{an}中，a2＝0，公差d＝4，则a5等于(　 　)
A. 25 B. 12
C. 16 D. 8
2. lg(＋2)与lg(－2)的等差中项是(　 　)
A. B. 0 C. lg D. lg 2
3. 等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　 　)
A. an＝a＋(n－1)d B. an＝a＋(n－3)d
C. an＝a＋2(n－2)d D. an＝a＋2nd
4. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　 　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5. 若等差数列{an}的首项是－24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是(　 　)
A. B. (－∞，3)
C. D.
6. 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则(　 　)
A. an＝3n B. an＝
C. an＝n－ D. an＝3n2
7. (2024·北京北理工附中检测)已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　 　)
A. a6 B. a4 C. a10 D. a12
8. (多选)已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 数列{an}是递增数列 B. 数列{nan}是递增数列
C. 数列是递减数列 D. 数列{an＋3nd}是递增数列
9. (多选)在等差数列{an}中，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a3＋λa9＋a15＝15，则实数λ的可能取值为(　 　)
A. － B. － C. － D. －2
10. 设a＞0，b＞0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝ .
11. 写出一个同时具有性质①2an＋1＝an＋an＋2，②an＋1＜an的数列{an}的通项公式：an＝ .
12. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为 .
13. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　 　)
A. 132项 B. 133项 C. 134项 D. 135项
14. (2024·福建漳州高二期中)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求a2 024.
(2)2 024是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
15. 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
16. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，λ是常数.
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)请判断是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列，并说明理由.

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