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4.2 练习3　等差数列的前n项和公式
1. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k等于(　D　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【解析】 由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.
又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，
∴2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.
2. (2025·天津高二阶段检测)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于(　B　)
A. 95 B. 100 C. 135 D. 80
【解析】 在等差数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等差数列，后者等差数列的公差为d＝a3＋a4－(a1＋a2)＝60－40＝20，则a7＋a8＝a1＋a2＋3d＝40＋3×20＝100.
3. (2025·福建龙岩高三期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4＝8，S8＝72，则a5的值为(　C　)
A. 64 B. 14 C. 10 D. 3
【解析】 由等差数列前n项和公式Sn＝，
可知S8＝＝72，∴a1＋a8＝18，
由等差数列的性质可知a4＋a5＝a1＋a8，
∴a5＝18－a4＝18－8＝10.
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12等于(　B　)
A. 144 B. 120 C. 108 D. 96
【解析】 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则S3，S6－S3，
S9－S6，S12－S9也是等差数列.由于S6＝24，S9＝21S3，
则S3，24－S3，21S3－24，S12－21S3成等差数列，
则S3＋21S3－24＝2(24－S3)，解得S3＝3.则3，21，39，
S12－63成等差数列.故S12－63＝57，则S12＝120.
5. (2025·河北衡水开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，＝3，则等于(　B　)
A. B. 7 C. 14 D.
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由＝3，得＝3，
解得a1＝－d，则＝＝＝＝＝7.
6. (2025·河北沧州高二检测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若－S1＝1，m≥2，且m∈N*，则－S1等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
【解析】 由等差数列的性质可得为等差数列，
∴－＝－S1，则－S1＝2＝2.
7. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，若 S7＝7，S15＝75，则Tn等于(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 方法一　设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴解得
则Sn＝－2n＋×1＝，
∴＝，∴是首项为－2，公差为的等差数列，
∴Tn＝－2n＋×＝.
方法二　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴数列 是等差数列，设其公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，∴＝1，＝5，
∴d＝＝，∴＝－6d＝1－6×＝－2，
∴Tn＝－2n＋×＝.
方法三　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴设Sn＝An2＋Bn，又S7＝7，S15＝75，
∴解得
∴Sn＝，则＝，
∴＝－2，∴Tn＝＝.
8. (多选)(2025·江苏徐州高二期中)已知等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a7＝3a5，则(　ABD　)
A. a1＜0 B. a2＋a7＞0
C. S3＜S4 D. S8＞0
【解析】 对于A，由等差数列{an}是递增数列，
则该等差数列的公差d＞0，由a7＝3a5，则a1＋6d＝3(a1＋4d)，
a1＋3d＝0，由d＞0，则a1＜0，A正确；
对于B，由A可知a1＝－3d，则a2＋a7＝a1＋d＋a1＋6d＝2a1＋7d＝－6d＋7d＝d＞0，B正确；
对于C，由S4－S3＝a4＝a1＋3d＝0，则S4＝S3，C错误；
对于D，S8＝＝4(a1＋a1＋7d)＝4d＞0，D正确.
9. (多选)(2025·江苏苏州高二期中)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，则(　ACD　)
A. 点(n， an)在同一条直线上
B. 点(n， Sn)在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点(n，k均为正整数，且k为常数)在同一条直线上
【解析】 ∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0，
∴点(n， an)都在直线y＝dx＋a1－d上，A正确；
∵Sn＝na1＋d＝n2＋n，
∴点(n，Sn)都在二次函数y＝x2＋x上，B错误；
∵＝n＋，
∴点都在直线y＝x＋上，C正确；
∵S(n＋1)k－Snk＝(n＋1)ka1＋d－nka1－d＝ka1－＋
k2d(n＋1)，
∴点(n＋1，S(n＋1)k－Snk)都在直线y＝ka1－＋k2dx上，
D正确.
10. (2024·广东中山高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝　　100　.
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由
得∴S10＝10a1＋d＝10×1＋×2＝100.
11. (2025·山东枣庄高三检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＋a3＝8，2a2＋a5＝21，则S6＝　　51　.
【解析】 由a1＋a3＝8，得a2＝4，
∴由2a2＋a5＝21，得a2＋a5＝17，
∴S6＝＝＝51.
12. (2024·江苏南通高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若am＋an＋3＝5，
am＋3＋an＋2＝9，则－＝　　1　.
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由am＋an＋3＝5①，
am＋3＋an＋2＝9②，②－①得3d－d＝4，解得d＝2，
又Sn＝，∴＝，
∴－＝－＝(an＋1－an)＝d＝1.
13. (2025·河北沧州高二检测)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且
2S6＝a1a2，a6＝a4＋a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求使Sn＞an成立的n的最小值.
解： (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
∵∴解得d＝3，a1＝－6，故an＝3n－9.
(2)Sn＝n×(－6)＋×3＝.
∵Sn＞an，∴＞3n－9，整理可得(n－1)·(n－6)＞0，解得n＜1，或n＞6.∵n为正整数，∴n的最小值是7.
14. 已知一个等差数列的项数为奇数，且所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的中间项以及项数.
解： 设该等差数列的项数为2n－1(n∈N*).
设所有奇数项的和为S，则S＝＝nan，
设所有偶数项的和为T，则T＝＝(n－1)·an，
∴＝＝＝，解得n＝10，
故此数列的项数为19，中间项为a10.由S＝10a10＝290，
得a10＝29，∴此数列的中间项是29，项数为19.
15. (2025·湖南长沙高二期中)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 022＝20 220，则b1b2 022的最大值是　　100　.
【解析】 由题意，正项数列为“调和数列”，
则bn＋1－bn＝d (d为常数)，∴正项数列{bn}为等差数列，
公差为d，则b1＋b2＋…＋b2 022＝＝20 220，
则b1＋b2 022＝20，则b1b2 022≤＝＝100(当且仅当b1＝b2 022＝10时，等号成立)，∴b1b2 022的最大值是100.
16. (2024·山东青岛高二期中)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝14n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn.
解： (1)Sn＝14n－n2(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝14×1－12＝13，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝14n－n2－[14(n－1)－(n－1)2]＝15－2n，又a1＝13满足上式，
∴an＝15－2n.
(2)∵an＝15－2n，∴当1≤n≤7时，an＞0，当n＞7时，an＜0.当1≤n≤7时，
Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；
当n＞7时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋
an)＝2(a1＋a2＋…＋a7)－(a1＋a2＋…＋a7＋a8＋a9＋…＋an)＝2S7－Sn＝n2－
14n＋98.
综上， Tn＝4.2 练习3　等差数列的前n项和公式
1. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k等于(　 　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
2. (2025·天津高二阶段检测)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于(　 　)
A. 95 B. 100 C. 135 D. 80
3. (2025·福建龙岩高三期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4＝8，S8＝72，则a5的值为(　 　)
A. 64 B. 14 C. 10 D. 3
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12等于(　 　)
A. 144 B. 120 C. 108 D. 96
5. (2025·河北衡水开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，＝3，则等于(　 　)
A. B. 7 C. 14 D.
6. (2025·河北沧州高二检测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若－S1＝1，m≥2，且m∈N*，则－S1等于(　 　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
7. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，若 S7＝7，S15＝75，则Tn等于(　 　)
A. B. C. D.
8. (多选)(2025·江苏徐州高二期中)已知等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a7＝3a5，则(　 　)
A. a1＜0 B. a2＋a7＞0
C. S3＜S4 D. S8＞0
9. (多选)(2025·江苏苏州高二期中)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，则(　 　)
A. 点(n， an)在同一条直线上
B. 点(n， Sn)在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点(n，k均为正整数，且k为常数)在同一条直线上
10. (2024·广东中山高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝ .
11. (2025·山东枣庄高三检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＋a3＝8，2a2＋a5＝21，则S6＝ .
12. (2024·江苏南通高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若am＋an＋3＝5，
am＋3＋an＋2＝9，则－＝ .
13. (2025·河北沧州高二检测)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且
2S6＝a1a2，a6＝a4＋a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求使Sn＞an成立的n的最小值.
14. 已知一个等差数列的项数为奇数，且所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的中间项以及项数.
15. (2025·湖南长沙高二期中)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 022＝20 220，则b1b2 022的最大值是 .
16. (2024·山东青岛高二期中)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝14n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn.(共29张PPT)
二、 等差数列
练习3　等差数列的前n项和公式
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，
Sk＋2－Sk＝24，则k等于(　D　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【解析】 由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，
∴2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.
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2. (2025·天津高二阶段检测)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，
a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于(　B　)
A. 95 B. 100 C. 135 D. 80
【解析】 在等差数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成
等差数列，后者等差数列的公差为d＝a3＋a4－(a1＋a2)＝60－40＝20，
则a7＋a8＝a1＋a2＋3d＝40＋3×20＝100.
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3. (2025·福建龙岩高三期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
a4＝8，S8＝72，则a5的值为(　C　)
A. 64 B. 14 C. 10 D. 3
【解析】 由等差数列前n项和公式Sn＝ ，
可知S8＝ ＝72，∴a1＋a8＝18，
由等差数列的性质可知a4＋a5＝a1＋a8，
∴a5＝18－a4＝18－8＝10.
C
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4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12等
于(　B　)
A. 144 B. 120 C. 108 D. 96
【解析】 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则S3，S6－S3，
S9－S6，S12－S9也是等差数列.由于S6＝24，S9＝21S3，
则S3，24－S3，21S3－24，S12－21S3成等差数列，
则S3＋21S3－24＝2(24－S3)，解得S3＝3.则3，21，39，
S12－63成等差数列.故S12－63＝57，则S12＝120.
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5. (2025·河北衡水开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
a1≠0， ＝3，则 等于(　B　)
A. B. 7 C. 14 D.
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由 ＝3，得 ＝3，
解得a1＝－d，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝7.
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6. (2025·河北沧州高二检测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若
－S1＝1，m≥2，且m∈N*，则 －S1等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
【解析】 由等差数列的性质可得 为等差数列，
∴ － ＝ －S1，则 －S1＝2 ＝2.
B
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7. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列 的前n项和，
若 S7＝7，S15＝75，则Tn等于(　A　)
A. B. C. D.
A
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【解析】 方法一　设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴ 解得
则Sn＝－2n＋ ×1＝ ，
∴ ＝ ，∴ 是首项为－2，公差为 的等差数列，
∴Tn＝－2n＋ × ＝ .
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方法二　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴数列 是等差数列，设其公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，∴ ＝1， ＝5，
∴d＝ ＝ ，∴ ＝ －6d＝1－6× ＝－2，
∴Tn＝－2n＋ × ＝ .
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方法三　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴设Sn＝An2＋Bn，又S7＝7，S15＝75，
∴ 解得
∴Sn＝ ，则 ＝ ，
∴ ＝－2，∴Tn＝ ＝ .
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8. (多选)(2025·江苏徐州高二期中)已知等差数列{an}是递增数列，
前n项和为Sn，且a7＝3a5，则(　ABD　)
A. a1＜0 B. a2＋a7＞0
C. S3＜S4 D. S8＞0
ABD
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【解析】 对于A，由等差数列{an}是递增数列，
则该等差数列的公差d＞0，由a7＝3a5，则a1＋6d＝3(a1＋4d)，
a1＋3d＝0，由d＞0，则a1＜0，A正确；
对于B，由A可知a1＝－3d，则a2＋a7＝a1＋d＋a1＋6d＝2a1＋7d＝
－6d＋7d＝d＞0，B正确；
对于C，由S4－S3＝a4＝a1＋3d＝0，则S4＝S3，C错误；
对于D，S8＝ ＝4(a1＋a1＋7d)＝4d＞0，D正确.
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9. (多选)(2025·江苏苏州高二期中)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，则(　ACD　)
A. 点(n， an)在同一条直线上
B. 点(n， Sn)在同一条直线上
C. 点 在同一条直线上
D. 点 (n，k均为正整数，且k为常数)在同一条
直线上
ACD
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【解析】 ∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0，
∴点(n， an)都在直线y＝dx＋a1－d上，A正确；
∵Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n，
∴点(n，Sn)都在二次函数y＝ x2＋ x上，B错误；
∵ ＝ n＋ ，
∴点 都在直线y＝ x＋ 上，C正确；
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∵S(n＋1)k－Snk＝(n＋1)ka1＋ d－nka1－ d＝
ka1－ ＋k2d(n＋1)，
∴点(n＋1，S(n＋1)k－Snk)都在直线y＝ka1－ ＋k2dx上，D正确.
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10. (2024·广东中山高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝
5，a7＝13，则S10＝ .
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由
得 ∴S10＝10a1＋ d＝10×1＋ ×2＝100.
100　
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11. (2025·山东枣庄高三检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且
a1＋a3＝8，2a2＋a5＝21，则S6＝ .
【解析】 由a1＋a3＝8，得a2＝4，
∴由2a2＋a5＝21，得a2＋a5＝17，
∴S6＝ ＝ ＝51.
51　
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12. (2024·江苏南通高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，
若am＋an＋3＝5，am＋3＋an＋2＝9，则 － ＝ .
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由am＋an＋3＝5①，
am＋3＋an＋2＝9②，②－①得3d－d＝4，解得d＝2，
又Sn＝ ，∴ ＝ ，
∴ － ＝ － ＝ (an＋1－an)＝ d＝1.
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13. (2025·河北沧州高二检测)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且2S6＝a1a2，a6＝a4＋a5.
(1)求{an}的通项公式；
解： (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
∵ ∴
解得d＝3，a1＝－6，故an＝3n－9.
(2)求使Sn＞an成立的n的最小值.
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(2)Sn＝n×(－6)＋ ×3＝ .
∵Sn＞an，∴ ＞3n－9，整理可得(n－1)·(n－6)＞0，解得n＜
1，或n＞6.∵n为正整数，∴n的最小值是7.
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14. 已知一个等差数列的项数为奇数，且所有奇数项的和为290，所有
偶数项的和为261，求此数列的中间项以及项数.
解： 设该等差数列的项数为2n－1(n∈N*).
设所有奇数项的和为S，则S＝ ＝nan，
设所有偶数项的和为T，则T＝ ＝(n－1)·an，
∴ ＝ ＝ ＝ ，解得n＝10，
故此数列的项数为19，中间项为a10.由S＝10a10＝290，
得a10＝29，∴此数列的中间项是29，项数为19.
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15. (2025·湖南长沙高二期中)若数列{an}满足 － ＝d(n∈N*，
d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列 为“调和
数列”，且b1＋b2＋…＋b2 022＝20 220，则b1b2 022的最大值是 .
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【解析】 由题意，正项数列 为“调和数列”，
则bn＋1－bn＝d (d为常数)，∴正项数列{bn}为等差数列，
公差为d，则b1＋b2＋…＋b2 022＝ ＝20 220，
则b1＋b2 022＝20，则b1b2 022≤ ＝ ＝100(当且仅当
b1＝b2 022＝10时，等号成立)，∴b1b2 022的最大值是100.
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16. (2024·山东青岛高二期中)已知Sn是数列{an}的前n项和，
且Sn＝14n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
解： (1)Sn＝14n－n2(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝14×1－12＝13，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝14n－n2－[14(n－1)－(n－1)2]＝15－2n，又a1＝13满足上式，∴an＝15－2n.
(2)若Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn.
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解： (2)∵an＝15－2n，∴当1≤n≤7时，an＞0，当n＞7时，an＜0.
当1≤n≤7时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋
an＝Sn＝14n－n2；
当n＞7时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋a7－
(a8＋a9＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a7)－(a1＋a2＋…＋a7＋a8＋a9＋…＋
an)＝2S7－Sn＝n2－14n＋98.
综上， Tn＝
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