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4.2 练习4　等差数列前n项和的最值及应用
1. 在等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，当其前n项和Sn取最小值时，n的值为(　 　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或6
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－9，公差d＝2，则Sn的最小值是(　 　)
A. －45 B. －35 C. －25 D. －15
3. (2025·天津滨海新高二检测)若{an}是等差数列，Sn表示{an}的前n项和，a3＋a8＞0，S9＜0，则{Sn}中最小的项是(　 　)
A. S3 B. S5 C. S4 D. S6
4. 一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么落到地面所需要的时间为(　 　)
A. 20秒 B. 21秒 C. 19秒 D. 22秒
5. (2025·重庆渝中检测)神舟十八号载人飞船于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送神舟十八号载人飞船的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加3 km，在达到离地面222 km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是(　 　)
A. 10秒 B. 11秒 C. 12秒 D. 13秒
6. 在等差数列{an}中，a5＜0，a6＞0，且a6＞｜a5｜，Sn是数列{an}的前n项和，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0
B. S1，S2，S3，S4，S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C. S1，S2，…，S9均小于0，S10，S11，…均大于0
D. S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0
7. 已知等差数列{an}满足a2 022＋a2 023＜0，a2 022·a2 023＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　 　)
A. 4 043 B. 4 042 C. 4 041 D. 4 040
8. (多选)(2025·浙江宁波高二期中)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a6＞a7，S7＝S8，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. a8＝0 B. d＞0
C. S7与S8均为Sn的最大值 D. S8为Sn的最小值
9. (多选)(2025·山东烟台高二期末)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问：五人各得多少钱？”关于这个问题，下列说法中正确的是(　 　)
A. 戊得钱是甲得钱的一半
B. 乙得钱比丁得钱多钱
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍
D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
10. 若当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是 (写出符合题意的一个通项公式即可).
11. 在等差数列{an}中，｜a5｜＝｜a14｜，且公差d＜0，则其前n项和取得最大值时n的值为 .
12. 中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，遂千五百二十岁……生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历.”某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为 岁.
13. 设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.
14. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否筑成第二道防线？
15. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则的值不可能为(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
16. (2024·江苏南通高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝10.
(1)若S20＝590，求{an}的公差；
(2)若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中唯一的最大项，求a1所有可能的值.(共29张PPT)
二、 等差数列
练习4　等差数列前n项和的最值及应用
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 在等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，当其前n项和Sn取最小值
时，n的值为(　D　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或6
【解析】 由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.
令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，
∴a6＝0.从而S5＝S6，均为最小值.
D
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2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－9，公差d＝2，则Sn的
最小值是(　C　)
A. －45 B. －35 C. －25 D. －15
【解析】 由题知an＝a1＋(n－1)d＝2n－11，令an＝2n－11≤0，可得n≤ ，又n∈N*，∴当n≤5时，an＜0，当n≥6时，an＞0，∴当n＝5时，Sn取得最小值，最小值是S5＝ ＝5a3＝5×(2×3－11)＝－25.　
C
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3. (2025·天津滨海新高二检测)若{an}是等差数列，Sn表示{an}的前n项
和，a3＋a8＞0，S9＜0，则{Sn}中最小的项是(　B　)
A. S3 B. S5 C. S4 D. S6
【解析】 由数列{an}为等差数列，则a3＋a8＝a5＋a6＞0，
且S9＝ ＝9a5＜0，即a5＜0，a6＞0，
∴当n＝5时，Sn取最小值，即数列{Sn}的最小项为S5.
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4. 一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前
一秒多降落9.80米，那么落到地面所需要的时间为(　A　)
A. 20秒 B. 21秒 C. 19秒 D. 22秒
【解析】 物体在降落过程中，每一秒降落的距离(单位：米)构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.设物体经过t秒后降落到地面，则4.90t＋ ×9.80＝1 960，可得t＝20，
∴落到地面所需要的时间为20秒.
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5. (2025·重庆渝中检测)神舟十八号载人飞船于2024年4月执行载人航天
飞行任务.运送神舟十八号载人飞船的长征二号F运载火箭，在点火第
一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加3 km，在达
到离地面222 km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到进入
转弯程序大约需要的时间是(　C　)
A. 10秒 B. 11秒 C. 12秒 D. 13秒
C
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【解析】 设每一秒钟的路程为数列{an}，
由题意可知{an}为等差数列， 则数列首项a1＝2，公差d＝3，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
由求和公式Sn＝ ＝ ＝222，解得n＝12.
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6. 在等差数列{an}中，a5＜0，a6＞0，且a6＞｜a5｜，Sn是数列{an}的
前n项和，则下列说法中，正确的是(　C　)
A. S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0
B. S1，S2，S3，S4，S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C. S1，S2，…，S9均小于0，S10，S11，…均大于0
D. S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0
C
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【解析】 a5＜0，a6＞0，且a6＞｜a5｜，故d＝a6－a5＞0，
故数列的前5项都为负数，a5＋a6＞0，2a5＜0，2a6＞0，
由等差数列的性质及求和公式可得S9＝ ＝9a5＜0，
S10＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＞0，由公差d＞0可知S1，S2，…，
S9均小于0，S10，S11，…均大于0.
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7. 已知等差数列{an}满足a2 022＋a2 023＜0，a2 022·a2 023＜0，且数列{an}
的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　A　)
A. 4 043 B. 4 042 C. 4 041 D. 4 040
A
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【解析】 ∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴数列{an}是递减的等差数列.又a2 022＋a2 023＜0，a2 022·a2 023＜0，
∴a2 022＞0＞a2 023，即数列的前2 022项为正数，从第2 023项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，
S4 043＝ ·(a1＋a4 043)＝4 043a2 022＞0，
S4 044＝ (a1＋a4 044)＝2 022·(a2 022＋a2 023)＜0，
∴当Sn取最小正值时，n＝4 043.
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8. (多选)(2025·浙江宁波高二期中)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的
和，且a6＞a7，S7＝S8，则下列说法中，正确的是(　AC　)
A. a8＝0 B. d＞0
C. S7与S8均为Sn的最大值 D. S8为Sn的最小值
【解析】 ∵S7＝S8，∴a8＝S8－S7＝0，A正确；
∵{an}是等差数列且a6＞a7，∴公差d＝a7－a6＜0，B错误；
∵d＜0，且a8＝0，∴当n＜8时，an＞0；当n≥9时，an＜0，
则S7与S8均为Sn的最大值，C正确，D错误.
AC
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9. (多选)(2025·山东烟台高二期末)《九章算术》是我国古代的数学名
著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.
问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次
成等差数列，问：五人各得多少钱？”关于这个问题，下列说法中正确
的是(　AD　)
AD
A. 戊得钱是甲得钱的一半 B. 乙得钱比丁得钱多 钱
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱
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【解析】 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，
a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，
即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，d＝－ ，即a－2d＝1－2× ＝ ，
a－d＝1－ ＝ ，a＋d＝1＋ ＝ ，
a＋2d＝1＋2× ＝ ，
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∴甲得 钱，乙得 钱，丙得1钱，丁得 钱，戊得 钱，则有如下结
论：戊得钱是甲得钱的一半，A正确；乙得钱比丁得钱多 － ＝ 钱，
B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的 ＝2倍，C错误；丁、戊得钱的
和比甲得钱多 ＋ － ＝ 钱，D正确.
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10. 若当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数
列{an}的通项公式可以是 (写出符合题
意的一个通项公式即可).
【解析】 ∵当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴a8＞0，a9＜0，故an＝17－2n满足题意.
an＝17－2n(答案不唯一)　
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11. 在等差数列{an}中，｜a5｜＝｜a14｜，且公差d＜0，则其前n项和
取得最大值时n的值为 .
【解析】 由等差数列{an}的公差d＜0，｜a5｜＝｜a14｜知，
a5＋a14＝0，∴a9＋a10＝0，故a9＞0，a10＜0，则数列{an}的
前n项和取得最大值时n的值为9.
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12. 中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之
数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一
遂，遂千五百二十岁……生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历.”某
老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且
他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为 岁.
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【解析】 设这些老人的年龄依次构成数列{an}，设最年长者
的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，
且S19＝1 520，则S19＝19a1＋ ×(－1)＝1 520，解得a1＝89，
故最年长者的年龄为89岁.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
解： (1)依题意 即
由a3＝12，得a1＋2d＝12③.
将③分别代入②①，得 解得－ ＜d＜－3.
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.
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(2)由d＜0可知{an}是递减数列，∴在1≤n≤12中，使an＞0，
且an＋1＜0，则Sn最大.由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
可得a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
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14. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指
挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除
现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车
工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，
每隔20分钟有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否
筑成第二道防线？
解： 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，
a2，…，a25.由题意，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－ .25
辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－ )＝
500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480，∴在24小时内
能筑成第二道防线.
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拓展突破练
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拓展突破练
15. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*，
均有S6≤Sn成立，则 的值不可能为(　A　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a7≠0，
当n＝6时，Sn取得最小值，∴a1＜0，d＞0，a6≤0，a7＞0.
若a6＝a1＋5d＝0，则 ＝ ＝ ＝4；若a6＝a1＋5d＜0，
a7＝a1＋6d＞0，则－6＜ ＜－5，
则 ＝ ＝ ＝1＋ ＞4.综上， ≥4.
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16. (2024·江苏南通高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
且a4＝10.
(1)若S20＝590，求{an}的公差；
(1)由
解得 即{an}的公差为3.
(2)若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中唯一的最大项，求a1所有可能的值.
解： 设等差数列{an}的公差为d.
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(2)∵a4＝a1＋3d＝10，∴d＝ ，又S7是数列{Sn}中最大的项，
∴d＝ ＜0，得a1＞10，
由 即 得
解得 ＜a1＜20，
又a1∈Z，∴a1的可能取值是18，19.
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164.2 练习4　等差数列前n项和的最值及应用
1. 在等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，当其前n项和Sn取最小值时，n的值为(　D　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或6
【解析】 由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，∴a6＝0.从而S5＝S6，均为最小值.
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－9，公差d＝2，则Sn的最小值是(　C　)
A. －45 B. －35 C. －25 D. －15
【解析】 由题知an＝a1＋(n－1)d＝2n－11，令an＝2n－11≤0，可得n≤，又n∈N*，∴当n≤5时，an＜0，当n≥6时，an＞0，∴当n＝5时，Sn取得最小值，最小值是S5＝＝5a3＝5×(2×3－11)＝－25.　
3. (2025·天津滨海新高二检测)若{an}是等差数列，Sn表示{an}的前n项和，a3＋a8＞0，S9＜0，则{Sn}中最小的项是(　B　)
A. S3 B. S5 C. S4 D. S6
【解析】 由数列{an}为等差数列，则a3＋a8＝a5＋a6＞0，
且S9＝＝9a5＜0，即a5＜0，a6＞0，
∴当n＝5时，Sn取最小值，即数列{Sn}的最小项为S5.
4. 一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么落到地面所需要的时间为(　A　)
A. 20秒 B. 21秒 C. 19秒 D. 22秒
【解析】 物体在降落过程中，每一秒降落的距离(单位：米)构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.设物体经过t秒后降落到地面，则4.90t＋×9.80＝
1 960，可得t＝20，
∴落到地面所需要的时间为20秒.
5. (2025·重庆渝中检测)神舟十八号载人飞船于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送神舟十八号载人飞船的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加3 km，在达到离地面222 km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是(　C　)
A. 10秒 B. 11秒 C. 12秒 D. 13秒
【解析】 设每一秒钟的路程为数列{an}，
由题意可知{an}为等差数列， 则数列首项a1＝2，公差d＝3，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
由求和公式Sn＝＝＝222，解得n＝12.
6. 在等差数列{an}中，a5＜0，a6＞0，且a6＞｜a5｜，Sn是数列{an}的前n项和，则下列说法中，正确的是(　C　)
A. S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0
B. S1，S2，S3，S4，S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C. S1，S2，…，S9均小于0，S10，S11，…均大于0
D. S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0
【解析】 a5＜0，a6＞0，且a6＞｜a5｜，故d＝a6－a5＞0，
故数列的前5项都为负数，a5＋a6＞0，2a5＜0，2a6＞0，
由等差数列的性质及求和公式可得S9＝＝9a5＜0，
S10＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＞0，由公差d＞0可知S1，S2，…，
S9均小于0，S10，S11，…均大于0.
7. 已知等差数列{an}满足a2 022＋a2 023＜0，a2 022·a2 023＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　A　)
A. 4 043 B. 4 042 C. 4 041 D. 4 040
【解析】 ∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴数列{an}是递减的等差数列.又a2 022＋a2 023＜0，a2 022·a2 023＜0，
∴a2 022＞0＞a2 023，即数列的前2 022项为正数，从第2 023项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，S4 043＝·(a1＋a4 043)＝4 043a2 022＞0，S4 044＝(a1＋a4 044)＝2 022·(a2 022＋a2 023)＜0，∴当Sn取最小正值时，n＝4 043.
8. (多选)(2025·浙江宁波高二期中)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a6＞a7，S7＝S8，则下列说法中，正确的是(　AC　)
A. a8＝0 B. d＞0
C. S7与S8均为Sn的最大值 D. S8为Sn的最小值
【解析】 ∵S7＝S8，∴a8＝S8－S7＝0，A正确；
∵{an}是等差数列且a6＞a7，∴公差d＝a7－a6＜0，B错误；
∵d＜0，且a8＝0，∴当n＜8时，an＞0；当n≥9时，an＜0，
则S7与S8均为Sn的最大值，C正确，D错误.
9. (多选)(2025·山东烟台高二期末)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问：五人各得多少钱？”关于这个问题，下列说法中正确的是(　AD　)
A. 戊得钱是甲得钱的一半
B. 乙得钱比丁得钱多钱
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍
D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【解析】 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，
∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：戊得钱是甲得钱的一半，A正确；乙得钱比丁得钱多－＝钱，B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，C错误；丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，D正确.
10. 若当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是　　an＝17－2n(答案不唯一)　(写出符合题意的一个通项公式即可).
【解析】 ∵当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴a8＞0，a9＜0，故an＝17－2n满足题意.
11. 在等差数列{an}中，｜a5｜＝｜a14｜，且公差d＜0，则其前n项和取得最大值时n的值为　　9　.
【解析】 由等差数列{an}的公差d＜0，｜a5｜＝｜a14｜知，
a5＋a14＝0，∴a9＋a10＝0，故a9＞0，a10＜0，则数列{an}的
前n项和取得最大值时n的值为9.
12. 中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，遂千五百二十岁……生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历.”某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为　　89　岁.
【解析】 设这些老人的年龄依次构成数列{an}，设最年长者
的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，
且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89，
故最年长者的年龄为89岁.
13. 设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.
解： (1)依题意
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12③.
将③分别代入②①，得解得－＜d＜－3.
(2)由d＜0可知{an}是递减数列，∴在1≤n≤12中，使an＞0，且an＋1＜0，则Sn最大.由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，可得a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
14. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否筑成第二道防线？
解： 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－)＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480，∴在24小时内能筑成第二道防线.
15. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则的值不可能为(　A　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a7≠0，
当n＝6时，Sn取得最小值，∴a1＜0，d＞0，a6≤0，a7＞0.
若a6＝a1＋5d＝0，则＝＝＝4；若a6＝a1＋5d＜0，
a7＝a1＋6d＞0，则－6＜＜－5，
则＝＝＝1＋＞4.综上，≥4.
16. (2024·江苏南通高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝10.
(1)若S20＝590，求{an}的公差；
(2)若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中唯一的最大项，求a1所有可能的值.
解： 设等差数列{an}的公差为d.
(1)由
解得即{an}的公差为3.
(2)∵a4＝a1＋3d＝10，∴d＝，又S7是数列{Sn}中最大的项，∴d＝＜0，得a1＞10，
由即
得解得＜a1＜20，
又a1∈Z，∴a1的可能取值是18，19.

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