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(共27张PPT)
三、等比数列
练习1　等比数列的概念及通项公式
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 在等比数列{an}中，a4＝1，a8＝16，则a6等于(　B　)
A. ±4 B. 4 C. －2 D. －4
【解析】 由已知得 ＝a4a8＝16，解得a6＝±4，又a4，a6，a8同号，
∴a6＝4.
B
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2. 下列数列中，为等比数列的是(　D　)
A. 0，1，2，4，…
B. 22，42，62，82，…
C. q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…
D. ， ， ， ，…
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【解析】 对于A，∵等比数列的各项都不为0，
∴该数列不是等比数列；
对于B，∵ ≠ ，∴该数列不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；
对于D，该数列是首项为 ，公比为 的等比数列.
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3. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　B　)
A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9
C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9
【解析】 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
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4. 一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则
公比q等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2，
∵a1≠0，且各项均为正数，
∴q2＋q－1＝0，∴q＝ ，或q＝ (舍去).
C
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5. 已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足(　D　)
A. q＜－1 B. －1＜q＜0
C. q＞1 D. 0＜q＜1
【解析】 ∵{an}是等比数列，∴an＝a1qn－1，当q＜0时，
{an}为摆动数列，故q＞0，显然q≠1.由a2＝a1q＜0得a1＜0，
又{an}是递增的等比数列，∴0＜q＜1.
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6. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a2＝3，a5－a3＝18，则a5
等于(　C　)
A. 16 B. C. 24 D.
【解析】 在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a2＝3，
a5－a3＝18，∴a1q2－a1q＝3，a1q4－a1q2＝18，解得q＝2，
a1＝ ，∴a5＝a1q4＝24.
C
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7. 已知数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6等于(　A　)
A. 1 984 B. 1 920 C. 992 D. 960
【解析】 ∵数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，
∴a1＋21＝2，a2＋22＝8，数列{an＋2n}的公比q＝ ＝ ＝4，
∴{an＋2n}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴a6＋26＝2×45＝211＝2 048，
∴a6＝2 048－26＝1 984.
A
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8. (多选)已知数列{an}，则下列说法中，错误的是(　ABD　)
A. 若 ＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B. 若anan＋2＝ ，n∈N*，则{an}为等比数列
C. 若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D. 若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
ABD
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【解析】 对于A，由 ＝4n知｜an｜＝2n，
则数列{an}不一定是等比数列，A错误；
对于B，若an＝0，满足anan＋2＝ ，n∈N*，
但数列{an}不是等比数列，B错误；同理，D错误；
对于C，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，
两式相除得 ＝2(n∈N*)，故数列{an}是等比数列，C正确.
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9. (多选)(2024·河南濮阳高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，
(anan＋1－1)(2an＋1－an)＝0，则a1 314的值可能为(　AC　)
A. 1 B. 1 314 C. 2－1 313 D. 2－521
AC
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【解析】 (anan＋1－1)(2an＋1－an)＝0，故anan＋1－1＝0，
或2an＋1－an＝0.当anan＋1－1＝0时，a1＝1，故an＝1，a1 314＝1；
当2an＋1－an＝0时，an＋1＝ an，又a1＝1，故an＝ ，
a1 314＝2－1 313.综上，a1 314＝1，或a1 314＝2－1 313.
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10. 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个
数依次为 .
【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，
∴q5＝ ，∴q＝ ，∴这4个数依次为80，40，20，10.
80，40，20，10　
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11. 若数列a1， ， ，…， ，…是首项为1，公比为－ 的等比
数列，则a5＝ .
【解析】 由题意，得 ＝(－ )n－1(n≥2)，
∴ ＝－ ， ＝(－ )2， ＝(－ )3， ＝(－ )4，
将上面的四个式子两边分别相乘， 得 ＝(－ )1＋2＋3＋4＝32.
∵a1＝1，∴a5＝32.
32　
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12. 记Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则an＝ .
【解析】 Sn＝2an＋1①，当n＝1时，a1＝2a1＋1，
解得a1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1②，
①－②得Sn－Sn－1＝2an＋1－2an－1－1，即an＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，故{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，
an＝－1×2n－1＝－2n－1.
－2n－1　
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拓展突破练
关键能力练
13. (1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正
数，求an；
解： (1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知q＞0.
由已知得 解得
∵q＞0，∴q＝ ，∴an＝128× ＝ .
(2)若等比数列{an}的首项a1＝ ，末项an＝ ，公比q＝ ，求项数n；
(3)在等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
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(2)由an＝a1·qn－1，得 ＝ ×()n－1，即(＝()3，解得n＝4.
(3)∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，∴当n为偶数时，q＝±1；
当n为奇数时，q＝1.
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14. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，
－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
解： (1)当n＝1时， －(2a2－1)a1－2a2＝0，
把a1＝1代入上式，得a2＝ ；
当n＝2时， －(2a3－1)a2－2a3＝0，把a2＝ 代入上式，得a3＝ .
(2)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式.
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(2)由 －(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
∵{an}的各项都为正数，∴ ＝ ，
故{an}是首项为1，公比为 的等比数列，∴an＝ .
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拓展突破练
15. (2025·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，
2a6成等比数列，则数列 的前2 025项和为(　D　)
A. －1 013 B. －505 C. 505 D. 1 013
D
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【解析】 已知等差数列{an}的公差d＝1，设首项为a1，
∵a3，a5＋1，2a6成等比数列，∴(a5＋1)2＝a3×2a6，
则(a1＋5)2＝(a1＋2)×2(a1＋5)，解得a1＝1，或a1＝－5，
当a1＝－5时，a6＝0，此时与a3，a5＋1，2a6成等比数列矛盾，
故排除，当a1＝1时，an＝1＋n－1＝n，
此时令bn＝(－1)n＋1an＝(－1)n＋1n，而其前2 025项和为1－2＋3－
4＋…－2 024＋2 025＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 023－2 024)＋2 025＝
1 012×(－1)＋2 025＝1 013.
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16. 如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数
字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个
数，bn是第n行数字2的个数，则a6＋a7＝ ，
a2n＋b2n＋1＝ .
第一行　1　2
第二行　2　1　1
第三行　1　1　2　2
第四行　2　2　1　1　1　1
……
16　
2n＋ 1
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【解析】 由题意可知an＋1＝2bn，bn＋1＝an，且a2＝2b1＝2，b2＝a1＝1，则an＋2＝2bn＋1＝2an，∴a2n－1＝a1·2n－1＝2n－1，a2n＝a2·2n－1＝2n，
b2n＋1＝a2n＝2n，∴a6＋a7＝8＋8＝16，a2n＋b2n＋1＝2n＋1.
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164.3 练习1　等比数列的概念及通项公式
1. 在等比数列{an}中，a4＝1，a8＝16，则a6等于(　 　)
A. ±4 B. 4 C. －2 D. －4
2. 下列数列中，为等比数列的是(　 　)
A. 0，1，2，4，… B. 22，42，62，82，…
C. q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D. ，，，，…
3. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　 　)
A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9
C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9
4. 一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q等于(　 　)
A. B. C. D.
5. 已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足(　 　)
A. q＜－1 B. －1＜q＜0
C. q＞1 D. 0＜q＜1
6. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a2＝3，a5－a3＝18，则a5等于(　 　)
A. 16 B. C. 24 D.
7. 已知数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6等于(　 　)
A. 1 984 B. 1 920 C. 992 D. 960
8. (多选)已知数列{an}，则下列说法中，错误的是(　 　)
A. 若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B. 若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列
C. 若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D. 若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
9. (多选)(2024·河南濮阳高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，(anan＋1－1)(2an＋1－
an)＝0，则a1 314的值可能为(　 　)
A. 1 B. 1 314 C. 2－1 313 D. 2－521
10. 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 .
11. 若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5＝ .
12. 记Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则an＝ .
13. (1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)在等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
14. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式.
15. (2025·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，2a6成等比数列，则数列的前2 025项和为(　 　)
A. －1 013 B. －505 C. 505 D. 1 013
16. 如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6＋a7＝ ，a2n＋b2n＋1＝ .
第一行　1　2
第二行　2　1　1
第三行　1　1　2　2
第四行　2　2　1　1　1　1
……4.3 练习1　等比数列的概念及通项公式
1. 在等比数列{an}中，a4＝1，a8＝16，则a6等于(　B　)
A. ±4 B. 4 C. －2 D. －4
【解析】 由已知得＝a4a8＝16，解得a6＝±4，又a4，a6，a8同号，∴a6＝4.
2. 下列数列中，为等比数列的是(　D　)
A. 0，1，2，4，… B. 22，42，62，82，…
C. q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D. ，，，，…
【解析】 对于A，∵等比数列的各项都不为0，
∴该数列不是等比数列；
对于B，∵≠，∴该数列不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；
对于D，该数列是首项为，公比为的等比数列.
3. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　B　)
A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9
C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9
【解析】 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
4. 一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2，
∵a1≠0，且各项均为正数，
∴q2＋q－1＝0，∴q＝，或q＝(舍去).
5. 已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足(　D　)
A. q＜－1 B. －1＜q＜0
C. q＞1 D. 0＜q＜1
【解析】 ∵{an}是等比数列，∴an＝a1qn－1，当q＜0时，
{an}为摆动数列，故q＞0，显然q≠1.由a2＝a1q＜0得a1＜0，
又{an}是递增的等比数列，∴0＜q＜1.
6. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a2＝3，a5－a3＝18，则a5等于(　C　)
A. 16 B. C. 24 D.
【解析】 在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a2＝3，
a5－a3＝18，∴a1q2－a1q＝3，a1q4－a1q2＝18，解得q＝2，
a1＝，∴a5＝a1q4＝24.
7. 已知数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6等于(　A　)
A. 1 984 B. 1 920 C. 992 D. 960
【解析】 ∵数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，
∴a1＋21＝2，a2＋22＝8，数列{an＋2n}的公比q＝＝＝4，∴{an＋2n}是首项为2，公比为4的等比数列，∴a6＋26＝2×45＝211＝2 048，∴a6＝2 048－26＝1 984.
8. (多选)已知数列{an}，则下列说法中，错误的是(　ABD　)
A. 若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B. 若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列
C. 若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D. 若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
【解析】 对于A，由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}不一定是等比数列，A错误；
对于B，若an＝0，满足anan＋2＝，n∈N*，但数列{an}不是等比数列，B错误；同理，D错误；
对于C，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2(n∈N*)，故数列{an}是等比数列，C正确.
9. (多选)(2024·河南濮阳高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，(anan＋1－1)(2an＋1－
an)＝0，则a1 314的值可能为(　AC　)
A. 1 B. 1 314 C. 2－1 313 D. 2－521
【解析】 (anan＋1－1)(2an＋1－an)＝0，故anan＋1－1＝0，
或2an＋1－an＝0.当anan＋1－1＝0时，a1＝1，故an＝1，a1 314＝1；
当2an＋1－an＝0时，an＋1＝an，又a1＝1，故an＝，
a1 314＝2－1 313.综上，a1 314＝1，或a1 314＝2－1 313.
10. 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为　　80，40，20，10　.
【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，∴这4个数依次为80，40，20，10.
11. 若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5＝　　32　.
【解析】 由题意，得＝(－)n－1(n≥2)，
∴＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，
将上面的四个式子两边分别相乘， 得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.
∵a1＝1，∴a5＝32.
12. 记Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则an＝　　－2n－1　.
【解析】 Sn＝2an＋1①，当n＝1时，a1＝2a1＋1，
解得a1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1②，
①－②得Sn－Sn－1＝2an＋1－2an－1－1，即an＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，故{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，
an＝－1×2n－1＝－2n－1.
13. (1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)在等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
解： (1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知q＞0.
由已知得解得
∵q＞0，∴q＝，∴an＝128×＝.
(2)由an＝a1·qn－1，得＝×()n－1，即(＝()3，解得n＝4.
(3)∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，∴当n为偶数时，q＝±1；
当n为奇数时，q＝1.
14. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式.
解： (1)当n＝1时，－(2a2－1)a1－2a2＝0，
把a1＝1代入上式，得a2＝；
当n＝2时，－(2a3－1)a2－2a3＝0，把a2＝代入上式，
得a3＝.
(2)由－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
∵{an}的各项都为正数，∴＝，
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝.
15. (2025·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}的公差d＝1，且a3，a5＋1，2a6成等比数列，则数列的前2 025项和为(　D　)
A. －1 013 B. －505 C. 505 D. 1 013
【解析】 已知等差数列{an}的公差d＝1，设首项为a1，
∵a3，a5＋1，2a6成等比数列，∴(a5＋1)2＝a3×2a6，
则(a1＋5)2＝(a1＋2)×2(a1＋5)，解得a1＝1，或a1＝－5，
当a1＝－5时，a6＝0，此时与a3，a5＋1，2a6成等比数列矛盾，
故排除，当a1＝1时，an＝1＋n－1＝n，
此时令bn＝(－1)n＋1an＝(－1)n＋1n，而其前2 025项和为1－2＋3－4＋…－2 024＋
2 025＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 023－2 024)＋2 025＝1 012×(－1)＋2 025＝1 013.
16. 如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6＋a7＝　16　，a2n＋b2n＋1＝　2n＋1　.
第一行　1　2
第二行　2　1　1
第三行　1　1　2　2
第四行　2　2　1　1　1　1
……
【解析】 由题意可知an＋1＝2bn，bn＋1＝an，且a2＝2b1＝2，b2＝a1＝1，则an＋2＝2bn＋1＝2an，∴a2n－1＝a1·2n－1＝2n－1，a2n＝a2·2n－1＝2n，b2n＋1＝a2n＝2n，∴a6＋a7＝
8＋8＝16，a2n＋b2n＋1＝2n＋1.

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