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4.3 练习2　等比数列的判定与性质
1. (2025·湖南永州阶段练习)已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，则b4的值为(　 　)
A. 9 B. －9 C. ±9 D. 81
2. (2025·福建漳州高二期中)等比数列{an}中，a1·a2·a3＝8，a2＋a4＝10，则a6等于(　 　)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
3. (2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知等比数列{an}满足：a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为(　 　)
A. 20 B. 10 C. 5 D.
4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出了半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　 　)
A. f B. f C. f D. f
5. 若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　 　)
A. 22n－1 B. 2n C. 22n＋1 D. 22n－3
6. (2025·甘肃武威高二检测)已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为13，前3项的积为27，则a1的值为(　 　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7. 等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　 　)
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
8. (多选)设{an}是等比数列，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. {}是等比数列 B. {anan＋1}是等比数列
C. {}是等比数列 D. {lg｜an｜}是等比数列
9. (多选)四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有(　 　)
A. － B. －2 C. －16 D. －32
10. (2025·湖南永州高二期中)在正项数列{an}中，ln an＋1－ln an＝2，且a1a5＝e6，则a2＝ .
11. 假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗 次，才能使存留的污垢在1％以下.
12. 已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值是 .
13. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…).证明：数列{}是等比数列.
14.从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水后摇匀，再倒出1升混合溶液，又用水添满后摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10％？
15. (多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 0＜q＜1 B. a7＝1
C. K9＞K5 D. K6与K7均为Kn的最大值
16. 已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数.
(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列.(共25张PPT)
三、等比数列
练习2　等比数列的判定与性质
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. (2025·湖南永州阶段练习)已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，
则b4的值为(　A　)
A. 9 B. －9 C. ±9 D. 81
【解析】 等比数列{bn}的公比为q，则b4＝b2q2＞0，
又 ＝b2b6＝3×27，∴b4＝9.
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2. (2025·福建漳州高二期中)等比数列{an}中，a1·a2·a3＝8，a2＋a4＝10，则a6等于(　D　)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【解析】 由a1·a2·a3＝8，可得(a2)3＝8，即a2＝2，
又a2＋a4＝10，∴a4＝8，由a2·a6＝ ，可得a6＝32.
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3. (2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知等比数列{an}满足：a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则 ＋ ＋ ＋ 的值为(　B　)
A. 20 B. 10 C. 5 D.
【解析】 在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝2，∴ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝10.
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4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计
算出了半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”
将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音
起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第
一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　)
A. f B. f C. f D. f
【解析】 由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为 的等
比数列，则第八个单音的频率为()7f＝ f.
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5. 若正项数列{an}满足a1＝2， －3an＋1an－4 ＝0，则数列{an}
的通项公式an等于(　A　)
A. 22n－1 B. 2n C. 22n＋1 D. 22n－3
【解析】 由 －3an＋1an－4 ＝0，得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，∴an＋1－4an＝0， ＝4.由等比数列的定义知数
列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得
an＝2×4n－1＝22n－1.
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6. (2025·甘肃武威高二检测)已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为
13，前3项的积为27，则a1的值为(　A　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
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【解析】 设递增的等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由前3项的和为13，得a1＋a1q＋a1q2＝13，由前3项的积为27，
得a1a2a3＝ ＝27，即a2＝3，则a1＝ ，代入a1＋a1q＋a1q2＝13，
得 ＋ ·q＋ ·q2＝13，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3，
或q＝ ，∵{an}为递增的等比数列，∴q＝3，则a1＝ ＝1.
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7. 等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15
等于(　C　)
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
【解析】 ∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，
∴a10a11a12a13＝4.又a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又{an}为递减数列，
∴q＞0，∴a8a15＝2.
C
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8. (多选)设{an}是等比数列，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. { }是等比数列 B. {anan＋1}是等比数列
C. { }是等比数列 D. {lg｜an｜}是等比数列
ABC
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【解析】 由{an}是等比数列可得 ＝q(q为定值，n＞1，n∈N*).
对于A， ＝()2＝q2为常数，A正确；
对于B， ＝ ＝q2为常数，B正确；
对于C， ＝ ＝ 为常数，C正确；
对于D， 不一定为常数，D错误.
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9. (多选)四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则
xy的可能取值有(　ABD　)
A. － B. －2 C. －16 D. －32
ABD
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【解析】 等比数列的所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相
同. 当－1，2对应等比数列的第一项与第二项时，则第三、四项分别为
－4，8，此时xy＝－32；当－1，2对应等比数列的第一项与第四项
时，xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第三项与第四项时，则第一、
二项分别为－ ， ，此时xy＝－ ；当－1，2对应等比数列的第三项
与第二项时，xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第二项与第三项时，
xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第二项与第一项时，则第三、四项
分别为 ，－ ，xy＝－ ；当－1，2对应等比数列的第四项与第三项
时，则第一、二项分别为8，－4，此时xy＝－32；当－1，2对应等比
数列的第四项与第一项时，xy＝－2.
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10. (2025·湖南永州高二期中)在正项数列{an}中，ln an＋1－ln an＝2，且
a1a5＝e6，则a2＝ .
【解析】 ln an＋1－ln an＝ln ＝2，可得 ＝e2，
∴数列{an}是公比为e2的等比数列，
∵a1a5＝ ＝e6，且a3＞0，则a3＝e3，
∴a2＝ ＝e.
e　
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11. 假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的
，那么至少要清洗 次，才能使存留的污垢在1％以下.
【解析】 设一件衣服上初始污垢为a，洗涤次数为n，
由题意可知， 存留的污垢y是以 a为首项， 为公比的等比数列，
∴y＝ ·a.由题意可知 ·a≤1％·a，则n≥log4100＝log210，
得n≥4，∴至少要清洗4次，才能使存留的污垢在1％以下.
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12. 已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞ 的最大正整数n的值是 .
【解析】 设数列{an}的公比为q(q＞0)，∵a2·a4＝4＝ ，
且a3＞0，∴a3＝2，又a1＋a2＋a3＝ ＋ ＋2＝14，
∴ ＝－3(舍去)，或 ＝2，即q＝ ，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×()n－1＝()n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝()3n－9＞ ，即23n－9＜9，
∵n∈N*，∴n的最大值是4.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn(n＝1，2，
3，…).证明：数列{ }是等比数列.
解： 由a1＝1，an＋1＝ Sn，得an＞0，Sn＞0.
由an＋1＝ Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴ ＝2· ，则 ＝2.
∵ ＝ ＝1，
∴数列{ }是以1为首项，2为公比的等比数列.
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14. 从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水后摇匀，再
倒出1升混合溶液，又用水添满后摇匀，如此继续下去，问：第n次操
作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的
浓度低于10％？
解： 设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－ .
设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度
为an＋1＝an(1－ )，
∴{an}是以a1＝1－ 为首项，q＝1－ 为公比的等比数列，
∴an＝a1qn－1＝(1－ )n，即第n次操作后酒精的浓度是 .
当a＝2时，由an＝()n＜ (n∈N*)，解得n≥4，故至少应操作
4次后才能使酒精的浓度小于10％.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. (多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是
其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列说法中，正确的
是(　ABD　)
A. 0＜q＜1 B. a7＝1
C. K9＞K5 D. K6与K7均为Kn的最大值
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【解析】 根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝ ＝1，
B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝ ＞1，则q＝ ∈(0，1)，
A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数
列单调递减，∴a8＜a7＝1，则 ＝a6a7a8a9＝(a7a8)2＝(a8)2＜1，
则有K9＜K5，C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，D正确.
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16. 已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝ an＋n－4，
bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数.
(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列.
解： (1)∵an＋1＝ an＋n－4，且a1＝λ，
∴a2＝ λ－3，a3＝ λ－4.
假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则 ＝a1·a3，
即(λ－3)2＝λ(λ－4)，即 λ2－4λ＋9＝ λ2－4λ，该方程无解，
∴{an}不是等比数列.
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(2)∵bn＝(－1)n(an－3n＋21)，
∴bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·( an－2n＋14)＝
－ (－1)n(an－3n＋21)＝－ bn，
∵b1＝－(λ＋18)，
∴当λ＝－18时，b1＝0，此时数列{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1≠0，此时 ＝－ (n∈N*)，数列{bn}是等比数列.
综上，当λ＝－18时，{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，
{bn}是等比数列.
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164.3 练习2　等比数列的判定与性质
1. (2025·湖南永州阶段练习)已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，则b4的值为(　A　)
A. 9 B. －9 C. ±9 D. 81
【解析】 等比数列{bn}的公比为q，则b4＝b2q2＞0，
又＝b2b6＝3×27，∴b4＝9.
2. (2025·福建漳州高二期中)等比数列{an}中，a1·a2·a3＝8，a2＋a4＝10，则a6等于(　D　)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【解析】 由a1·a2·a3＝8，可得(a2)3＝8，即a2＝2，
又a2＋a4＝10，∴a4＝8，由a2·a6＝，可得a6＝32.
3. (2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知等比数列{an}满足：a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为(　B　)
A. 20 B. 10 C. 5 D.
【解析】 在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝2，∴＋＋
＋＝＋＝＝＝10.
4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出了半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　)
A. f B. f C. f D. f
【解析】 由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.
5. 若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　A　)
A. 22n－1 B. 2n C. 22n＋1 D. 22n－3
【解析】 由－3an＋1an－4＝0，得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，∴an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
6. (2025·甘肃武威高二检测)已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为13，前3项的积为27，则a1的值为(　A　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【解析】 设递增的等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由前3项的和为13，得a1＋a1q＋a1q2＝13，由前3项的积为27，
得a1a2a3＝＝27，即a2＝3，则a1＝，代入a1＋a1q＋a1q2＝13，
得＋·q＋·q2＝13，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3，
或q＝，∵{an}为递增的等比数列，∴q＝3，则a1＝＝1.
7. 等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　C　)
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
【解析】 ∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，∴a10a11a12a13＝4.又a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又{an}为递减数列，
∴q＞0，∴a8a15＝2.
8. (多选)设{an}是等比数列，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. {}是等比数列 B. {anan＋1}是等比数列
C. {}是等比数列 D. {lg｜an｜}是等比数列
【解析】 由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1，n∈N*).
对于A，＝()2＝q2为常数，A正确；
对于B，＝＝q2为常数，B正确；
对于C，＝＝为常数，C正确；
对于D，不一定为常数，D错误.
9. (多选)四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有(　ABD　)
A. － B. －2 C. －16 D. －32
【解析】 等比数列的所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同. 当－1，2对应等比数列的第一项与第二项时，则第三、四项分别为－4，8，此时xy＝－32；当－1，2对应等比数列的第一项与第四项时，xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第三项与第四项时，则第一、二项分别为－，，此时xy＝－；当－1，2对应等比数列的第三项与第二项时，xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第二项与第三项时，xy＝－2；当－1，2对应等比数列的第二项与第一项时，则第三、四项分别为，－，xy＝－；当－1，2对应等比数列的第四项与第三项时，则第一、二项分别为8，－4，此时xy＝－32；当－1，2对应等比数列的第四项与第一项时，xy＝－2.
10. (2025·湖南永州高二期中)在正项数列{an}中，ln an＋1－ln an＝2，且a1a5＝e6，则a2＝　　e　.
【解析】 ln an＋1－ln an＝ln＝2，可得＝e2，
∴数列{an}是公比为e2的等比数列，∵a1a5＝＝e6，且a3＞0，则a3＝e3，
∴a2＝＝e.
11. 假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗　　4　次，才能使存留的污垢在1％以下.
【解析】 设一件衣服上初始污垢为a，洗涤次数为n，
由题意可知， 存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，
∴y＝·a.由题意可知·a≤1％·a，则n≥log4100＝log210，
得n≥4，∴至少要清洗4次，才能使存留的污垢在1％以下.
12. 已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值是　4　.
【解析】 设数列{an}的公比为q(q＞0)，∵a2·a4＝4＝，
且a3＞0，∴a3＝2，又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)，或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×()n－1＝()n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝()3n－9＞，即23n－9＜9，
∵n∈N*，∴n的最大值是4.
13. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…).证明：数列{}是等比数列.
解： 由a1＝1，an＋1＝Sn，得an＞0，Sn＞0.
由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·，则＝2.
∵＝＝1，
∴数列{}是以1为首项，2为公比的等比数列.
14.从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水后摇匀，再倒出1升混合溶液，又用水添满后摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10％？
解： 设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－.
设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－)，
∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列，
∴an＝a1qn－1＝(1－)n，即第n次操作后酒精的浓度是.
当a＝2时，由an＝()n＜(n∈N*)，解得n≥4，故至少应操作
4次后才能使酒精的浓度小于10％.
15. (多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列说法中，正确的是(　ABD　)
A. 0＜q＜1 B. a7＝1
C. K9＞K5 D. K6与K7均为Kn的最大值
【解析】 根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，
则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，
则q＝∈(0，1)，A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等
比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，
∴a8＜a7＝1，则＝a6a7a8a9＝(a7a8)2＝(a8)2＜1，则有K9＜K5，
C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，D正确.
16. 已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数.
(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列.
解： (1)∵an＋1＝an＋n－4，且a1＝λ，
∴a2＝λ－3，a3＝λ－4.
假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则＝a1·a3，
即(λ－3)2＝λ(λ－4)，即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，该方程无解，∴{an}不是等比数列.
(2)∵bn＝(－1)n(an－3n＋21)，
∴bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·(an－2n＋14)＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn，
∵b1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b1＝0，此时数列{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1≠0，此时＝－(n∈N*)，数列{bn}是等比数列.
综上，当λ＝－18时，{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，{bn}是等比数列.

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