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(共28张PPT)
三、等比数列
练习3　等比数列与等差数列的综合应用
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
必备知识练
1. 已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，首项a1＝1，则它的
前2 026项的和等于(　C　)
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 0
【解析】 ∵{an}既是等差数列又是等比数列，且a1＝1，
∴an＝1(n∈N*) (常数数列)，∴前2 026项的和等于2 026.
C
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2. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2等
于(　C　)
A. －10 B. －6 C. 4 D. －4
【解析】 ∵数列{an}是公差为2的等差数列，
∴a1＝a2－2，a4＝a2＋4，∵a1，a2，a4成等比数列，
∴ ＝a1a4，即 ＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝4.
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3. 若a1，a2，a3，…为等差数列，则数列 ， ， ，…一定
是(　A　)
A. 等比数列
B. 等差数列
C. 既是等比数列又是等差数列
D. 既不是等比数列，也不是等差数列
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【解析】 ∵对任意n∈N*， ＝ ，a1，a2，a3，
…为等差数列，∴an＋1－an为常数，即 也为常数，
故{ }一定是等比数列.
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4. 已知等差数列{an}满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同
一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为(　A　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定
【解析】 ∵a1＝－8，a2＝－6，∴数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，
则an＝2n－10，∴a4＝－2，a5＝0.设a1，a4，a5都加上同一个数x，
得到的三个新数依次为x－8，x－2，x，则(x－8)·x＝(x－2)2，
解得x＝－1.
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5. 已知数列{an}的首项a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am·an＝am＋n，则当n≥1时，log3a1＋log3a2＋…＋log3a2n－1的值为(　A　)
A. n(2n－1) B. (n＋1)2
C. n2 D. n(n＋1)
【解析】 令m＝1，得到a1·an＝a1＋n＝3an，故数列{an}是等比数列，
an＝3·3n－1＝3n， log3a1＋log3a2＋…＋log3a2n－1＝1＋2＋…＋
(2n－1)＝n(2n－1).
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6. 已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4
的值为(　A　)
A. 23 B. 32 C. 36 D. 40
【解析】 设bn＝an＋n，则{bn}为等比数列，设公比为q，
则b2＝a2＋2＝3，b3＝a3＋3＝9，∴q＝3，
∴b4＝b3·3＝9×3＝27，即a4＋4＝27，∴a4＝23.
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7. (2025·山东日照模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，
， ， 是公比为3的等比数列，则k3等于(　C　)
A. 14 B. 34 C. 41 D. 86
【解析】 ∵a1，a2， ， ， 是公比为3的等比数列，
可得a2＝3a1，∴ ＝a1·34＝81a1，又数列{an}为等差数列，
∴公差d＝a2－a1＝2a1，
∴ ＝a1＋(k3－1)d＝a1＋2(k3－1)a1＝(2k3－1)a1，
∴(2k3－1)a1＝81a1，解得k3＝41.
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8. (多选)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，下列说法中，正确
的是(　CD　)
A. 数列{3an＋an＋1}是等比数列
B. 数列{an＋1－an}是等差数列
C. 数列{anan＋1}是等比数列
D. 数列{log3｜an｜}是等差数列
CD
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【解析】 在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，
3an＋an＋1＝3[(－3)n－1]＋(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，
∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，A错误；
an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝ ·(－3)n，是等比数列，B错误；
anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，C正确；
log3｜an｜＝log3｜(－3)n－1｜＝n－1，是等差数列，D正确.
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9. (多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*，都有 ＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k为公差比，下列说法中，正确的
是(　BC　)
A. 等比数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列
D. 若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2
BC
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【解析】 对于数列{an}，若an＝1，则an＋1＝1，an＋2＝1，
{an}是等比数列，但 无意义，
∴A错误；若等差比数列的公差比为0，即 ＝0，
则an＋2－an＋1＝0，则在 中分母为0，无意义，
∴B正确；若an＝－3n＋2，
则 ＝ ＝ ＝3，
故数列{an}是等差比数列，
∴C正确；若等差数列是等差比数列，设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，则an＋2－an＋1＝d，an＋1－an＝d，
∴ ＝ ＝1，∴D错误.
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10. 在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－ ＋2a11＝0，数列{bn}是
等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝ .
【解析】 ∵2a3－ ＋2a11＝2(a3＋a11)－ ＝4a7－ ＝0，
b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝ ＝16.
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11. 已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和，若
a3·a11＝4a7，b7＝a7，则a7＝ ，T13＝ .
【解析】 方法一　∵数列{an}是等比数列，a3a11＝4a7，
∴ ＝4a7，解得a7＝4，或a7＝0(舍去).
又{bn}是等差数列，b7＝a7＝4，
∴T13＝ ＝ ＝13×4＝52.
4　
52　
方法二　∵数列{an}是等比数列，设公比为q，a3a11＝4a7，
∴a1q6＝a7＝4，又b7＝a7，{bn}为等差数列，设公差为d，
∴b1＋6d＝4，∴T13＝13b1＋ d＝13(b1＋6d)＝13×4＝52.
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12. 设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝16d ， 若ak是a1与a2k的等比
中项，则k＝ .
【解析】 ∵ak是a1与a2k的等比中项，∴ ＝a1·a2k，
∴[a1＋(k－1)d]2＝a1·[a1＋(2k－1)d]，又a1＝16d，
整理得k2－2k－15＝0，解得k＝5，或k＝－3 (舍去).
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关键能力练
拓展突破练
关键能力练
13. 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且
b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
解： (1)∵bn＝log2an，
∴bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2 ＝log2q(q＞0)为常数，
∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
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(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又a1＞1，∴b1＝log2a1＞0，b1b3b5＝0，
∴b5＝0，即 即 解得
∴Sn＝4n＋ ×(－1)＝ .
又d＝log2q＝－1，∴q＝ ，又b1＝log2a1＝4，
∴a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*).
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14. 已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝
a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
解： (1)设数列{an}的公差为d，
则 即
解得b1＝a1＝ .
(2)若a1＝1，求数列 {an}，{bn}的通项公式；
(2)若a1＝1，则d＝2，b1＝1，∴an＝2n－1，bn＝2n－1.
(3)若集合M＝{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤50}，求集合M中的元素个数.
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(3)由(1)知b1＝a1＝ ，由bk＝am＋a1，
得a1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，
∵a1≠0，∴m＝2k－2∈[1，50]，解得2≤k≤log250＋2＝3＋log225，
又24＝16，25＝32，故4＜log225＜5，即7＜3＋log225＜8，
∴满足等式的k的值为2，3，4，5，6，7，故集合M中的元素个数为6.
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必备知识练
关键能力练
拓展突破练
拓展突破练
15. 在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数
列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数
值为 .
275或8　
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【解析】 设数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8①，
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)·(a4＋1)，整理得d2－a1d－d＝0②，
由①②解得d＝3，或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，
a92＝3×92－1＝275；当d＝0时，an＝8，a92＝8.
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16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝
，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的
值；若不存在，请说明理由.
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解： (1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝ ， － ＝ ，
∴数列{ }是首项为 ＝1，公差为 的等差数列，
∴ ＝1＋ (n－1)＝ (n＋1)，∴Sn＝ .
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n.
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
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(2)由(1)知an＝n，Sn＝ .
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则 ＝ak·a4k，即[ 2]＝k·4k.
∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4，得2k＋1＝2，或2k＋1＝－2，
解得k＝ ，或k＝－ ，与k为正整数矛盾，
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.
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164.3 练习3　等比数列与等差数列的综合应用
1. 已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，首项a1＝1，则它的前2 026项的和等于(　 　)
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 0
2. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2等于(　 　)
A. －10 B. －6 C. 4 D. －4
3. 若a1，a2，a3，…为等差数列，则数列，，，…一定是(　 　)
A. 等比数列
B. 等差数列
C. 既是等比数列又是等差数列
D. 既不是等比数列，也不是等差数列
4. 已知等差数列{an}满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定
5. 已知数列{an}的首项a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am·an＝am＋n，则当n≥1时，log3a1＋log3a2＋…＋log3a2n－1的值为(　 　)
A. n(2n－1) B. (n＋1)2 C. n2 D. n(n＋1)
6. 已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4的值为(　 　)
A. 23 B. 32 C. 36 D. 40
7. (2025·山东日照模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，，，是公比为3的等比数列，则k3等于(　 　)
A. 14 B. 34 C. 41 D. 86
8. (多选)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 数列{3an＋an＋1}是等比数列
B. 数列{an＋1－an}是等差数列
C. 数列{anan＋1}是等比数列
D. 数列{log3｜an｜}是等差数列
9. (多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k为公差比，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 等比数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列
D. 若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2
10. 在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝ .
11. 已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和，若a3·a11＝4a7，b7＝a7，则a7＝ ，T13＝ .
12. 设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝16d ， 若ak是a1与a2k的等比中项，则
k＝ .
13. 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
14. 已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝
b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)若a1＝1，求数列 {an}，{bn}的通项公式；
(3)若集合M＝{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤50}，求集合M中的元素个数.
15. 在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 .
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.4.3 练习3　等比数列与等差数列的综合应用
1. 已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，首项a1＝1，则它的前2 026项的和等于(　C　)
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 0
【解析】 ∵{an}既是等差数列又是等比数列，且a1＝1，
∴an＝1(n∈N*) (常数数列)，∴前2 026项的和等于2 026.
2. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2等于(　C　)
A. －10 B. －6 C. 4 D. －4
【解析】 ∵数列{an}是公差为2的等差数列，
∴a1＝a2－2，a4＝a2＋4，∵a1，a2，a4成等比数列，
∴＝a1a4，即＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝4.
3. 若a1，a2，a3，…为等差数列，则数列，，，…一定是(　A　)
A. 等比数列
B. 等差数列
C. 既是等比数列又是等差数列
D. 既不是等比数列，也不是等差数列
【解析】 ∵对任意n∈N*，＝，a1，a2，a3，…为等差数列，
∴an＋1－an为常数，即也为常数，
故{}一定是等比数列.
4. 已知等差数列{an}满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为(　A　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定
【解析】 ∵a1＝－8，a2＝－6，∴数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，则an＝2n－10，∴a4＝－2，a5＝0.设a1，a4，a5都加上同一个数x，得到的三个新数依次为x－8，x－2，x，则(x－8)·x＝(x－2)2，解得x＝－1.
5. 已知数列{an}的首项a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am·an＝am＋n，则当n≥1时，log3a1＋log3a2＋…＋log3a2n－1的值为(　A　)
A. n(2n－1) B. (n＋1)2 C. n2 D. n(n＋1)
【解析】 令m＝1，得到a1·an＝a1＋n＝3an，故数列{an}是等比数列，an＝3·3n－1＝3n， log3a1＋log3a2＋…＋log3a2n－1＝1＋2＋…＋(2n－1)＝n(2n－1).
6. 已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4的值为(　A　)
A. 23 B. 32 C. 36 D. 40
【解析】 设bn＝an＋n，则{bn}为等比数列，设公比为q，
则b2＝a2＋2＝3，b3＝a3＋3＝9，∴q＝3，
∴b4＝b3·3＝9×3＝27，即a4＋4＝27，∴a4＝23.
7. (2025·山东日照模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，，，是公比为3的等比数列，则k3等于(　C　)
A. 14 B. 34 C. 41 D. 86
【解析】 ∵a1，a2，，，是公比为3的等比数列，可得a2＝3a1，∴＝a1·34＝81a1，又数列{an}为等差数列，
∴公差d＝a2－a1＝2a1，∴＝a1＋(k3－1)d＝a1＋2(k3－1)a1＝(2k3－1)a1，
∴(2k3－1)a1＝81a1，解得k3＝41.
8. (多选)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 数列{3an＋an＋1}是等比数列
B. 数列{an＋1－an}是等差数列
C. 数列{anan＋1}是等比数列
D. 数列{log3｜an｜}是等差数列
【解析】 在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n－1]＋
(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，A错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝·(－3)n，是等比数列，B错误；
anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，C正确；log3｜an｜＝log3`
｜(－3)n－1｜＝n－1，是等差数列，D正确.
9. (多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k为公差比，下列说法中，正确的是(　BC　)
A. 等比数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列
D. 若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2
【解析】 对于数列{an}，若an＝1，则an＋1＝1，an＋2＝1，
{an}是等比数列，但无意义，∴A错误；
若等差比数列的公差比为0，即＝0，则an＋2－an＋1＝0，则在中分母为0，无意义，∴B正确；
若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，故数列{an}是等差比数列，∴C正确；
若等差数列是等差比数列，设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，则an＋2－an＋1＝d，an＋1－an＝d，
∴＝＝1，∴D错误.
10. 在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝　　16　.
【解析】 ∵2a3－＋2a11＝2(a3＋a11)－＝4a7－＝0，b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝＝16.
11. 已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和，若a3·a11＝4a7，b7＝a7，则a7＝　　4　，T13＝　　52　.
【解析】 方法一　∵数列{an}是等比数列，a3a11＝4a7，
∴＝4a7，解得a7＝4，或a7＝0(舍去).
又{bn}是等差数列，b7＝a7＝4，
∴T13＝＝＝13×4＝52.
方法二　∵数列{an}是等比数列，设公比为q，a3a11＝4a7，
∴a1q6＝a7＝4，又b7＝a7，{bn}为等差数列，设公差为d，
∴b1＋6d＝4，∴T13＝13b1＋d＝13(b1＋6d)＝13×4＝52.
12. 设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝16d ， 若ak是a1与a2k的等比中项，则
k＝　　5　.
【解析】 ∵ak是a1与a2k的等比中项，∴＝a1·a2k，
∴[a1＋(k－1)d]2＝a1·[a1＋(2k－1)d]，又a1＝16d，
整理得k2－2k－15＝0，解得k＝5，或k＝－3 (舍去).
13. 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
解： (1)∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q＞0)为常数，
∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又a1＞1，∴b1＝log2a1＞0，b1b3b5＝0，∴b5＝0，
即即解得
∴Sn＝4n＋×(－1)＝.
又d＝log2q＝－1，∴q＝，又b1＝log2a1＝4，
∴a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*).
14. 已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝
b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)若a1＝1，求数列 {an}，{bn}的通项公式；
(3)若集合M＝{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤50}，求集合M中的元素个数.
解： (1)设数列{an}的公差为d，
则即
解得b1＝a1＝.
(2)若a1＝1，则d＝2，b1＝1，∴an＝2n－1，bn＝2n－1.
(3)由(1)知b1＝a1＝，由bk＝am＋a1，得a1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，
∵a1≠0，∴m＝2k－2∈[1，50]，解得2≤k≤log250＋2＝3＋log225，又24＝16，25＝32，故4＜log225＜5，即7＜3＋log225＜8，∴满足等式的k的值为2，3，4，5，6，7，故集合M中的元素个数为6.
15. 在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　275或8　.
【解析】 设数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8①，
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)·(a4＋1)，整理得d2－a1d－d＝0②，
由①②解得d＝3，或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，
a92＝3×92－1＝275；当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
解： (1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，－＝，
∴数列{}是首项为＝1，公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
(2)由(1)知an＝n，Sn＝.
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则＝ak·a4k，即2＝k·4k.
∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4，得2k＋1＝2，或2k＋1＝－2，
解得k＝，或k＝－，与k为正整数矛盾，
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.

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