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4.3 练习4　等比数列的前n项和公式
1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　B　)
A. ×(510－1) B. ×(510－1) C. ×(59－1) D. ×(511－1)
【解析】 设数列的前n项和为Sn，则S10＝＝×(510－1).
2. (2025·天津红桥高二检测)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则S5等于(　D　)
A. B. 31 C. 31或－11 D. 31或11
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4＝q4＝16，
解得q＝－2，或q＝2，∴S5＝＝11，或S5＝＝31.
3. (2025·河北石家庄高二期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2＝－3，S3＝7，则公比q等于(　D　)
A. －3 B. － C. 3或 D. －3或－
【解析】 由a2＝－3，S 3＝7可得a1＋a3＝10，则＋a2q＝10 －3q＝10，化简可得3q2＋10q＋3＝0，解得q＝－3，或q＝－.
4. (2025·湖南张家界高二检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝20，
2a6＋a5＝a4，则S4等于(　C　)
A. 50 B. C. D. 60
【解析】 设数列{an}的公比为q(q＞0)，则2a1q5＋a1q4＝a1q3，
由于a1≠0，q≠0，∴2q2＋q＝1，解得q＝(q＝－1舍去)，
∴S4＝＝.
5. (2024·黑龙江牡丹江二中高二期末)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k(n∈N*)，则k的值为(　C　)
A. －1 B. 1 C. － D.
【解析】 方法一　∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k，
∴a1＝S1＝k＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1＋k)－(2n－2＋k)＝2n－2，∴当n＝1时也满足上式，即a1＝21－2＝＝k＋1，
∴k＝－.
方法二　∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k＝×2n＋k，
∴＋k＝0，∴k＝－.
6. 已知等比数列{an}的前3项和为28，an＞0，且a5－a2＝56，则a6等于(　D　)
A. 28 B. 56 C. 64 D. 128
【解析】 ∵an＞0，∴a1＞0，q＞0，又{an}的前3项和为28，
即S3＝＝28①，又a5－a2＝a1q·＝56②，
②式比①式可得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍)，或q＝2，
代入②式得a1＝4，则a6＝a1q5＝4×32＝128.
7. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(k为常数)，则下列说法中，正确的是(　B　)
A. 当k为任意实数时，{an}都是等比数列
B. 当k＝－1时，{an}是等比数列
C. 当k＝0时，{an}是等比数列
D. {an}不可能是等比数列
【解析】 ∵Sn＝3n＋k，∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.当n＝1时，a1＝3＋k，
若{an}是等比数列，则a1＝3＋k＝2×30，解得k＝－1.
当k＝－1时，an＝2×3n－1，此时＝3，{an}是等比数列.
8. (多选)(2024·江苏淮安涟水一中高二月考)在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则S5的值可能是(　AC　)
A. 35 B. － C. D. 1
【解析】 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则有a3＝a1q2＝7，
即a1＝，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝＝21，
即2q2－q－1＝0，解得q＝1，或q＝－.
当q＝1时，an＝a3＝7，故S5＝5×7＝35；当q＝－时，
an＝a3qn－3＝7×＝28×，则a1＝28，
S5＝＝＝.
9. (多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子的值为定值的是(　ABC　)
A. B. C. D.
【解析】 由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，
∴q3＝－8，∴q＝－2.对于A，＝q2＝4；
对于B，＝＝＝；
对于C，＝＝＝；
对于D，＝与n有关，不是定值.
10. 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝　　5　，a1＝　　3　.
【解析】 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得解得
11. (2025·江苏南京高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，＝a6，则S5＝　　.
【解析】 设{an}的公比为q，∵a1＝，∴由＝a6得q6＝a1q5，即a1q＝1，
解得q＝2，∴S5＝＝＝.
12. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝24，a6＝96，且a9＞0，则使得不等式Sn＞93成立的正整数n的最小值是　　6　.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，∵a4＝24，a6＝96，
∴q2＝＝＝4，又a9＝a4q5＞0，∴q＞0，故q＝2.
将q＝2代入a4＝a1q3＝24，得a1＝3，∴Sn＝，
令Sn＞93，得2n＞32，∴n＞5，又n∈N*，∴n的最小值是6.
13. 等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是　　(－1，0)∪(0，＋∞)　.
【解析】 ∵数列{an}为等比数列，Sn＞0，∴a1＝S1＞0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1＞0；
当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，
∴或∴－1＜q＜1，或q＞1.
综上，q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
14. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解： (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝×[1－(－)n].
15. (2024·河北邯郸永年二中高二月考)在等比数列{an}中，
a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解： (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，或q＝－2，或q＝2.
故an＝(－2)n－1，或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝，由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1，由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，
3Sn＋1＋an＝3Sn＋5an＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，判断数列{Sn}是递增数列还是递减数列，并证明 Sn＜1.
解： (1)由题意得3Sn＋1－3Sn＋an＝3an＋1＋an＝5an＋1，得＝，则{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴{an}的通项公式为an＝×＝.
(2)由题意得，Sn＝＋＋…＋＝＝1－，
易知数列{Sn}是递增数列，∵－＜0，∴Sn＝1－＜1.4.3 练习4　等比数列的前n项和公式
1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　 　)
A. ×(510－1) B. ×(510－1) C. ×(59－1) D. ×(511－1)
2. (2025·天津红桥高二检测)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则S5等于(　 　)
A. B. 31 C. 31或－11 D. 31或11
3. (2025·河北石家庄高二期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2＝－3，S3＝7，则公比q等于(　 　)
A. －3 B. － C. 3或 D. －3或－
4. (2025·湖南张家界高二检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝20，
2a6＋a5＝a4，则S4等于(　 　)
A. 50 B. C. D. 60
5. (2024·黑龙江牡丹江二中高二期末)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k(n∈N*)，则k的值为(　 　)
A. －1 B. 1 C. － D.
6. 已知等比数列{an}的前3项和为28，an＞0，且a5－a2＝56，则a6等于(　 　)
A. 28 B. 56 C. 64 D. 128
7. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(k为常数)，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 当k为任意实数时，{an}都是等比数列
B. 当k＝－1时，{an}是等比数列
C. 当k＝0时，{an}是等比数列
D. {an}不可能是等比数列
8. (多选)(2024·江苏淮安涟水一中高二月考)在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则S5的值可能是(　 　)
A. 35 B. － C. D. 1
9. (多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子的值为定值的是(　 　)
A. B. C. D.
10. 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝ ，a1＝ .
11. (2025·江苏南京高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，＝a6，则S5＝ .
12. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝24，a6＝96，且a9＞0，则使得不等式Sn＞93成立的正整数n的最小值是 .
13. 等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是 .
14. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
15. (2024·河北邯郸永年二中高二月考)在等比数列{an}中，
a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，
3Sn＋1＋an＝3Sn＋5an＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，判断数列{Sn}是递增数列还是递减数列，并证明 Sn＜1.(共24张PPT)
三、等比数列
练习4　等比数列的前n项和公式
数列
第四章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
关键能力练
必备知识练
1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　B　)
A. ×(510－1) B. ×(510－1)
C. ×(59－1) D. ×(511－1)
【解析】 设数列的前n项和为Sn，则S10＝ ＝ ×(510－1).
B
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2. (2025·天津红桥高二检测)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，
则S5等于(　D　)
A. B. 31 C. 31或－11 D. 31或11
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4＝q4＝16，
解得q＝－2，或q＝2，∴S5＝ ＝11，或S5＝ ＝31.
D
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3. (2025·河北石家庄高二期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，
a2＝－3，S3＝7，则公比q等于(　D　)
A. －3 B. － C. 3或 D. －3或－
【解析】 由a2＝－3，S 3＝7可得a1＋a3＝10，则 ＋a2q＝10 －
3q＝10，化简可得3q2＋10q＋3＝0，解得q＝－3，或q＝－ .
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4. (2025·湖南张家界高二检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，
a1＝20，2a6＋a5＝a4，则S4等于(　C　)
A. 50 B. C. D. 60
【解析】 设数列{an}的公比为q(q＞0)，则2a1q5＋a1q4＝a1q3，
由于a1≠0，q≠0，∴2q2＋q＝1，解得q＝ (q＝－1舍去)，
∴S4＝ ＝ .
C
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5. (2024·黑龙江牡丹江二中高二期末)已知等比数列{an}的前n项和
Sn＝2n－1＋k(n∈N*)，则k的值为(　C　)
A. －1 B. 1 C. － D.
【解析】 方法一　∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k，
∴a1＝S1＝k＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1＋k)－(2n－2＋k)
＝2n－2，∴当n＝1时也满足上式，即a1＝21－2＝ ＝k＋1，
∴k＝－ .
C
方法二　∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋k＝ ×2n＋k，
∴ ＋k＝0，∴k＝－ .
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6. 已知等比数列{an}的前3项和为28，an＞0，且a5－a2＝56，则a6等
于(　D　)
A. 28 B. 56 C. 64 D. 128
【解析】 ∵an＞0，∴a1＞0，q＞0，又{an}的前3项和为28，
即S3＝ ＝28①，又a5－a2＝a1q· ＝56②，
②式比①式可得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍)，或q＝2，
代入②式得a1＝4，则a6＝a1q5＝4×32＝128.
D
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7. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(k为常数)，则下列说法中，正
确的是(　B　)
A. 当k为任意实数时，{an}都是等比数列
B. 当k＝－1时，{an}是等比数列
C. 当k＝0时，{an}是等比数列
D. {an}不可能是等比数列
B
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【解析】 ∵Sn＝3n＋k，∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.当n＝1时，a1＝3＋k，
若{an}是等比数列，则a1＝3＋k＝2×30，解得k＝－1.
当k＝－1时，an＝2×3n－1，此时 ＝3，{an}是等比数列.
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8. (多选)(2024·江苏淮安涟水一中高二月考)在等比数列{an}中，
a3＝7，前三项之和S3＝21，则S5的值可能是(　AC　)
A. 35 B. － C. D. 1
AC
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【解析】 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则有a3＝a1q2＝7，
即a1＝ ，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝ ＝21，
即2q2－q－1＝0，解得q＝1，或q＝－ .
当q＝1时，an＝a3＝7，故S5＝5×7＝35；当q＝－ 时，
an＝a3qn－3＝7× ＝28× ，则a1＝28，
S5＝ ＝ ＝ .
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9. (多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子
的值为定值的是(　ABC　)
A. B. C. D.
ABC
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【解析】 由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，
∴q3＝－8，∴q＝－2.对于A， ＝q2＝4；
对于B， ＝ ＝ ＝ ；
对于C， ＝ ＝ ＝ ；
对于D， ＝ 与n有关，不是定值.
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10. 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
则项数n＝ ，a1＝ .
【解析】 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得 解得
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11. (2025·江苏南京高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和，
若a1＝ ， ＝a6，则S5＝ 　 　.
【解析】 设{an}的公比为q，∵a1＝ ，∴由 ＝a6得 q6＝a1q5，
即a1q＝1，解得q＝2，∴S5＝ ＝ ＝ .
　
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12. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝24，a6＝96，且a9＞0，则
使得不等式Sn＞93成立的正整数n的最小值是 .
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，∵a4＝24，a6＝96，
∴q2＝ ＝ ＝4，又a9＝a4q5＞0，∴q＞0，故q＝2.
将q＝2代入a4＝a1q3＝24，得a1＝3，∴Sn＝ ，
令Sn＞93，得2n＞32，∴n＞5，又n∈N*，∴n的最小值是6.
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必备知识练
关键能力练
关键能力练
13. 等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3，…)，则q
的取值范围是 .
(－1，0)∪(0，＋∞)　
【解析】 ∵数列{an}为等比数列，Sn＞0，∴a1＝S1＞0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1＞0；
当q≠1时，Sn＝ ＞0，即 ＞0，
∴ 或 ∴－1＜q＜1，或q＞1.
综上，q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
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14. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；
解： (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－ .
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
(2)由已知可得a1－a1(－ )2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝ ＝ ×[1－(－ )n].
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15. (2024·河北邯郸永年二中高二月考)在等比数列{an}中，
a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
解： (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，或q＝－2，或q＝2.
故an＝(－2)n－1，或an＝2n－1.
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
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(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝ ，由Sm＝63得(－2)m＝－188，
此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1，由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
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16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝ ，3Sn＋1＋an＝3Sn＋5an＋1.
(1)求{an}的通项公式；
解： (1)由题意得3Sn＋1－3Sn＋an＝3an＋1＋an＝5an＋1，得 ＝ ，
则{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴{an}的通项公式为an＝ × ＝ .
(2)求Sn，判断数列{Sn}是递增数列还是递减数列，并证明 Sn＜1.
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(2)由题意得，Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ ，
易知数列{Sn}是递增数列，∵－ ＜0，∴Sn＝1－ ＜1.
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