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(共28张PPT)
一、导数的概念及其意义
练习1　变化率问题
一元函数的导数及其应用
第五章
高中数学 选择性必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 对于函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋kΔx(k为常数)时，函数
值的改变量Δy等于(　D　)
A. f(x0＋kΔx) B. f(x0)＋kΔx
C. f(x0)·kΔx D. f(x0＋kΔx)－f(x0)
D
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2. 在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则
等于(　C　)
A. Δx＋ ＋2 B. Δx－ －2
C. 2＋Δx D. 2＋Δx－
【解析】 ＝ ＝2＋Δx.
C
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3. 若函数f(x)＝x2－c在区间[1， m]上的平均变化率为4，则m等
于(　B　)
A. B. 3 C. 5 D. 16
【解析】 ＝ ＝ ＝m＋1＝4，则m＝3.
B
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4. 曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为(　C　)
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
【解析】 设f(x)＝3x2，则曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线斜率为 ＝ ＝ ＝
(3Δx＋6)＝6.
C
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5. 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是
5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出
枪口时的瞬时速度为(　A　)
A. 800 m/s B. 600 m/s
C. 200 m/s D. 400 m/s
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【解析】 位移公式为s＝ at2，
∵Δs＝ a(t0＋Δt)2－ a ＝at0Δt＋ a(Δt)2，∴ ＝at0＋ aΔt，
∴ ＝ (at0＋ aΔt)＝at0，
∵a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s，
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
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6. 某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近
似满足函数关系：V(t)＝H(10－ t)3(H为常数)，其图象
如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为
(单位：m3/h).那么瞬时融化速度等于 (单位：m3/h)的
时刻是图中的(　C　)
A. t1 B. t2 C. t3 D. t4
C
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【解析】 平均融化速度为 ＝ ，反映的是V(t)
图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.
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7. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图
象如图所示.记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平
均速度的大小分别为 ， ， ， ，则平均速度最小的是(　C　)
A. B. C. D.
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【解析】 由题意知，汽车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为 ， ， ， ，设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则 ＝ ，即 为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理， 为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2， 为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，
为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如
图所示，由图可知，k3最小，即 最小.
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8. (多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，
则(　ABD　)
A. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值是43
D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70
ABD
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【解析】 该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝ ＝28，A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δt)＝56，B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δt)＝70，
D正确.
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9. (多选)八年来，甲工厂某种产品年产量y与时间x(单位：年)的函数关
系如图所示.下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 前四年该产品产量增长速度越来越快
B. 前四年该产品产量增长速度越来越慢
C. 第四年后该产品停止生产
D. 第四年后该产品年产量保持不变
BD
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【解析】 设产量与时间的函数关系为y＝f(x)，由题图可知f(3)－
f(2)＜f(2)－f(1)，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，A错误，B正
确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，C错
误，D正确.
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10. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则
x0＝ .
【解析】 该点处切线斜率k＝ ＝
(4Δx＋8x0)＝8x0＝8，解得x0＝1.
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11. 一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为 ，其在
t＝ 时的瞬时速度为1.
【解析】 平均速度为 ＝ ＝7t，当t趋向于0时，平均速
度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，知v＝ ＝
＝14t，∴当v＝1时，t＝ .
0　
　
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12. 已知定义在R上的函数f(x)＝ax2－2x－1，且曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为4，则a＝ .
【解析】 ∵ ＝ ＝
[aΔx＋2(a－1)]＝2a－2，
∴由题意可得2a－2＝4，解得a＝3.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 某飞行器发射后的一段时间内，时间t与飞行器高度h的关系为
h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
解： (1)h(0)表示飞行器未发射时的高度，h(1)表示飞行器发射1 s后的
高度.
(2)求t＝0 s到t＝1 s这段时间内飞行器的平均速度.
(2) ＝ ＝80 m/s，即t＝0 s到t＝1 s这段时间内飞行器的
平均速度为80 m/s.
(3)求t＝1 s时飞行器的瞬时速度.
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(3)v＝ ＝ [5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120 m/s，
即t＝1 s时飞行器的瞬时速度为120 m/s.
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14. 曲线y＝x2在哪一点处的切线分别满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，即x0＝2，
∴y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解： 设P(x0，y0)是曲线y＝x2上的点，则曲线y＝x2在点P(x0，y0)处
切线的斜率k＝ ＝2x0.
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(3)∵切线的倾斜角为135°，∴切线的斜率为－1，即2x0＝－1，
得x0＝－ ，∴y0＝ ，即P 是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0× ＝－1，得x0＝－ ，
∴y0＝ ，即P 是满足条件的点.
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拓展突破练
15. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率
为 ，则m的值为 .
【解析】 体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ (m3－1)，
∴ ＝ ＝ ，∴m2＋m＋1＝7，∴m＝2，或m＝－3(舍).
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16. 若一物体运动方程如下(位移单位：m，时间单位：s)：
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
解： (1)∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×
(52－32)＝48，∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为 ＝ ＝24 m/s.
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
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(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵ ＝ ＝ ＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18 m/s.
(3)∵ ＝ ＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为 (3Δt－12)＝－12 m/s.
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165.1 练习1　变化率问题
1. 对于函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋kΔx(k为常数)时，函数值的改变量Δy等于(　 　)
A. f(x0＋kΔx) B. f(x0)＋kΔx
C. f(x0)·kΔx D. f(x0＋kΔx)－f(x0)
2. 在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于(　 　)
A. Δx＋＋2 B. Δx－－2 C. 2＋Δx D. 2＋Δx－
3. 若函数f(x)＝x2－c在区间[1， m]上的平均变化率为4，则m等于(　 　)
A. B. 3 C. 5 D. 16
4. 曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为(　 　)
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
5. 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　 　)
A. 800 m/s B. 600 m/s C. 200 m/s D. 400 m/s
6. 某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(10－t)3(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h).那么瞬时融化速度等于 (单位：m3/h)的时刻是图中的(　 　)
A. t1 B. t2 C. t3 D. t4
7. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图所示.记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是(　 　)
A. B. C. D.
8. (多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　 　)
A. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值是43
D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70
9. (多选)八年来，甲工厂某种产品年产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示.下列说法中，正确的是(　 　)
A. 前四年该产品产量增长速度越来越快
B. 前四年该产品产量增长速度越来越慢
C. 第四年后该产品停止生产
D. 第四年后该产品年产量保持不变
10. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝ .
11. 一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为 ，其在t＝ 时的瞬时速度为1.
12. 已知定义在R上的函数f(x)＝ax2－2x－1，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，则a＝ .
13. 某飞行器发射后的一段时间内，时间t与飞行器高度h的关系为h(t)＝5t3＋
30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
(2)求t＝0 s到t＝1 s这段时间内飞行器的平均速度.
(3)求t＝1 s时飞行器的瞬时速度.
14. 曲线y＝x2在哪一点处的切线分别满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
15. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 .
16. 若一物体运动方程如下(位移单位：m，时间单位：s)：
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.5.1 练习1　变化率问题
1. 对于函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋kΔx(k为常数)时，函数值的改变量Δy等于(　D　)
A. f(x0＋kΔx) B. f(x0)＋kΔx
C. f(x0)·kΔx D. f(x0＋kΔx)－f(x0)
2. 在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于(　C　)
A. Δx＋＋2 B. Δx－－2 C. 2＋Δx D. 2＋Δx－
【解析】 ＝＝2＋Δx.
3. 若函数f(x)＝x2－c在区间[1， m]上的平均变化率为4，则m等于(　B　)
A. B. 3 C. 5 D. 16
【解析】 ＝＝＝m＋1＝4，则m＝3.
4. 曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为(　C　)
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
【解析】 设f(x)＝3x2，则曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线斜率
为＝＝＝(3Δx＋6)＝6.
5. 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　A　)
A. 800 m/s B. 600 m/s C. 200 m/s D. 400 m/s
【解析】 位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－a＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，
∴＝(at0＋aΔt)＝at0，
∵a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s，
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
6. 某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(10－t)3(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h).那么瞬时融化速度等于 (单位：m3/h)的时刻是图中的(　C　)
A. t1 B. t2 C. t3 D. t4
【解析】 平均融化速度为＝，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的
斜率，
观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.
7. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图所示.记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意知，汽车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为，，，，设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理，为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图所示，
由图可知，k3最小，即最小.
8. (多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　ABD　)
A. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值是43
D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70
【解析】 该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确；物体在
t＝4时的瞬时速度是＝(56＋7Δt)＝56，B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是＝(70＋7Δt)＝70，D正确.
9. (多选)八年来，甲工厂某种产品年产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示.下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 前四年该产品产量增长速度越来越快
B. 前四年该产品产量增长速度越来越慢
C. 第四年后该产品停止生产
D. 第四年后该产品年产量保持不变
【解析】 设产量与时间的函数关系为y＝f(x)，由题图可知f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，C错误，D正确.
10. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝　　1　.
【解析】 该点处切线斜率k＝＝(4Δx＋8x0)＝8x0＝8，
解得x0＝1.
11. 一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为　　0　，其在t＝　　时的瞬时速度为1.
【解析】 平均速度为＝＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，知v＝＝＝14t，
∴当v＝1时，t＝.
12. 已知定义在R上的函数f(x)＝ax2－2x－1，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，则a＝　　3　.
【解析】 ∵＝＝[aΔx＋2(a－1)]＝2a－2，
∴由题意可得2a－2＝4，解得a＝3.
13. 某飞行器发射后的一段时间内，时间t与飞行器高度h的关系为h(t)＝5t3＋
30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
(2)求t＝0 s到t＝1 s这段时间内飞行器的平均速度.
(3)求t＝1 s时飞行器的瞬时速度.
解： (1)h(0)表示飞行器未发射时的高度，h(1)表示飞行器发射1 s后的高度.
(2)＝＝80 m/s，即t＝0 s到t＝1 s这段时间内飞行器的平均速度为80 m/s.
(3)v＝＝[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120 m/s，即t＝1 s时飞行器的瞬时速度为120 m/s.
14. 曲线y＝x2在哪一点处的切线分别满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解： 设P(x0，y0)是曲线y＝x2上的点，则曲线y＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率
k＝＝2x0.
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，即x0＝2，
∴y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0×＝－1，得x0＝－，
∴y0＝，即P是满足条件的点.
(3)∵切线的倾斜角为135°，∴切线的斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，
∴y0＝，即P是满足条件的点.
15. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为　　2　.
【解析】 体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，
∴＝＝，∴m2＋m＋1＝7，∴m＝2，或m＝－3(舍).
16. 若一物体运动方程如下(位移单位：m，时间单位：s)：
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解： (1)∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵＝＝＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝＝(3Δt－18)＝－18 m/s.
(3)∵＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为(3Δt－12)＝－12 m/s.

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